Методы решения тригонометрических уравнений

1. Методы решения тригонометрических уравнений

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Методы решения
тригонометрических уравнений
Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

2. Содержание

Метод замены переменной 
Метод разложения на множители
Однородные тригонометрические уравнения
С помощью тригонометрических формул:
−Формул сложения
−Формул приведения
−Формул двойного аргумента

3. Метод замены переменной

С  помощью  замены  t  =  sinx  или  t  =  cosx,  где  t  ∈  [−1;1] 
решение  исходного  уравнения  сводится  к  решению 
квадратного или другого алгебраического уравнения.
См. примеры 1 – 3 
Иногда  используют  универсальную  тригонометрическую 
подстановку:  t = tg x
2
α
1 tg
1 t2
2
cos α
2
1
t
2 α
1 tg
2
2
sin α
α
2tg
2
1 tg 2
α
2
2t
1 t2

4. Пример 1

2 sin 2 x 5 sin x 2 0
Пусть sin x t , где t 1; 1 , тогда
2t 2 5t 2 0
t1 2, не удовлетвор яет условию t 1; 1
t 2 1 ;
2
Вернемся к исходной переменной
1
sin x
2
1
n
x 1 arcsin π n , n Z
2
n π
x 1
πn, n Z
6
n π
Ответ : 1
πn, n Z.
6

5. Пример 2

cos 2 x sin 2 x cos x 0
Поскольку sin 2 x 1 cos 2 x , то
cos 2 x 1 соs 2 x cos x 0
2cos 2 x cos x 1 0
Пусть соsx t , где t 1; 1 , тогда
2t 2 t 1 0
t1 1,
t 2 1 ;
2
Вернемся к исходной переменной :
x 2π k , k Z
соsx 1,
x 2π k , k Z
1
1
x arccos 2π n , n Z
cos x ;
x 2π 2π n , n Z
2
3
2
Ответ : 2π k , k Z ;
2π
2π n , n Z .
3

6. Пример 3

tg
x
x
3ctg 4
2
2
Пример 3
Вернемся к исходной переменной
x
x
tg
1
,
x
1
2
2 arctg1 π n , n Z
Поскольку ctg
, то
2 tg x
tg x 3;
x arctg 3 π k , k Z
2
x
3
2
2
tg
4
2 tg x
x
arctg1 π n , n Z
2
x
2
Пусть tg t , где t 0, тогда
2
x arctg 3 π k , k Z
2
3
t 4
t
t
x π
πn, n Z
2
2 4
t 4t 3 0
x 2arctg 3 π k , k Z
t1 1
t 3
π
2
x
2π n , n Z
2
x 2arctg 3 2π k , k Z
π
Ответ :
2π n ; 2arctg 3 2π k ; n , k Z .
2

7. Метод разложения на множители

Суть  этого  метода  заключается  в  том,  что 
произведение  нескольких  множителей  равно  нулю, 
если  хотя  бы  один  из  них  равен  нулю,  а  другие  при 
этом не теряют смысл:
f(x) ∙ g(x) ∙ h(x) ∙ … = 0    ⟺   f(x) = 0  или  g(x) = 0  или  h(x) = 0 
 
и  т.д. при условии существования каждого из сомножителей
См. примеры 4 – 5 

8. Пример 4

1
2
sin x cos x 0
3
5
1
sin x 3 0,
cos x 2 0;
5
x
x
1
sin
x
,
3
cos x 2 ;
5
1
1
n
n
x 1 arcsin π n , n Z
1 arcsin π n , n Z
3
3
2
x π arccos 2 2π k , k Z
arccos 2π k , k Z
5
5
Ответ : 1 arcsin
n
1
2
π n ; π arccos 2π k ; n , k Z .
3
5

9. Пример 5

2 sin x cos 5x cos 5x 0
cos 5x 2 sin x 1 0
2 sin x 1 0,
cos 5x 0;
1
sin
x
,
2
cos 5x 0;
1
n
x
1
arcsin
πn, n Z
2
5x π π k , k Z
2
n π
x
1
πn, n Z
6
x π π k , k Z
10
5
π πk
n π
Ответ : 1
πn, n Z ;
, k Z.
6
10
5

10. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют 
однородным тригонометрическим уравнением 
первой степени.
a sin x + b cos x = 0  
a sin x    b cos x         0  
+ cos x = cos x
cos x
    
a tg x + b = 0  
b
tg x = –   
a
: cos x
Замечание. 
Деление на cos x допустимо, поскольку решения 
уравнения cos x = 0 не являются решениями 
уравнения a sin x + b cos x = 0.

11. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 
называют однородным тригонометрическим 
уравнением второй степени.
: cos2x
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
a sin2x      b sin x cos x      c cos2x         0
+
+
=
2
cos2x
cos x
cos2x
cos2x
a tg2x + b tg x + c = 0 
 
Далее, вводим новую  переменную tg x  = t и 
решаем 
методом замены переменной.
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 
то, уравнение решается методом разложения 
на множители.

12. Пример 6

2 sin x 3 cos x 0
: cos x
2 sin x 3 cos x
0
cos x
cos x
cos x
2tgx 3 0
3
tgx
2
3
x arctg π n , n Z
2
Ответ : arctg
3
πn, n Z .
2
Пример 7
: cos 2x
sin 2x cos 2x 0
sin 2x cos 2x
0
cos 2x cos 2x cos 2x
tg 2x 1 0
tg 2x 1
π
2x π n , n Z
4
π πn
x
, n Z
8
2
π πn
Ответ :
, n Z.
8
2

13. Пример 8

sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x 0
sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x
0
2
2
2
cos x
cos x
cos x
: cos 2 x
tg 2 x 3tgx 2 0
Пусть tgx t , тогда
t 2 3t 2 0
t1 1
t 2
2
Вернемся к исходной переменной :
π
tgx 1,
x πn, n Z
4
tgx 2;
x arctg 2 π k , k Z
Ответ :
π
π n ; arctg 2 π k ; n ,k Z .
4

14. Пример 9

3 sin x cos x cos 2 x 0
cos x 3 sin x cos x 0
3 sin x cos x 0,
cos x 0;
: cos x
1
tgx
,
3
π
x
πn, n Z ;
2
1
π
arctg
πk, k Z ,
x πk, k Z ,
3
6
π
π
x πn, n Z .
πn, n Z ;
2
2
3tgx 1 0,
x π π n , n Z ;
2
x
x
Ответ :
π
πk ;
6
π
π n ; n ,k Z .
2

15. Пример 10

sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos 2 x 3 cos 3 x 0
: cos 3 x
sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos 2 x 3 cos 3 x
0
3
3
3
3
cos x
cos x
cos x
cos x
tg 3 x tg 2 x 3tgx 3 0
tg 2 x tgx 1 3 tgx 1 0
tg
2
x 3 tgx 1 0
tg x 3 0,
tgx 1 0;
2
tg x 3,
tgx 1;
2
x arctg 3 π k , k Z ,
x π π n , n Z ;
4
Ответ :
tgx 3 ,
x π π n , n Z ;
4
π
x
πk, k Z ,
3
x π π n , n Z .
4
π
π
πn ; πk ; n, k Z .
4
3

16. Пример 11

3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5 cos 2 3x 2
cos 2 3x sin 2 3x
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5 cos 2 3x 2 cos 2 3x sin 2 3x
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5 cos 2 3x 2cos 2 3x 2 sin 2 3x 0
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3 cos 2 3x 0
: cos 2 3x
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3 cos 2 3x
0
2
2
2
cos 3x
cos 3x
cos 3x
tg 2 3x 2 3tg 3x 3 0
Вернемся к исходной переменной
Пусть tg 3x t , тогда
tg 3x 3
3x arctg 3 π n , n Z
t 2 2 3t 3 0
3
t 3 0
π
πn, n Z
3
π πn
x
,n Z
9
3
t 3
Ответ :
t 2 3t
2
t 3
2
0
2
0
3x
π πn
, n Z.
9
3

17. С помощью тригонометрических формул

1. Формулы сложения:
sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny
sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny
cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny
cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny
tg (x + y) =
tg (x − y) =
tgx + tgy
1 − tgx tgy
tgx − tgy
1 + tgx tgy
сtgx  сtgy − 1 
сtg (x + y) =
сtgу + с tgх
сtgx  сtgy + 1 
сtg (x − y) =
сtgу − с tgх

18. Пример 12

3 cos x sin x 1
:2
3
1
1
cos x sin x
2
2
2
3
π 1
π
Заметим , что
cos ,
sin , тогда
2
6 2
6
π
π
1
cos cos x sin sin x
6
6
2
π
1
cos x
6
2
π
1
x arccos 2π n , n Z
6
2
π π
x 2π n , n Z
3 6
π π
Ответ : 2π n , n Z .
3 6

19. Пример 13

π
π
sin x cos x 3
3
6
π
π
π
π
π
π
sin x cos x sin cos x cos sin x cos cos x sin sin x
3
3
6
6
3
6
3
1
3
1
cos x sin x
cos x sin x 3 cos x
2
2
2
2
3 cos x 3
cos x 1
x 2π n , n Z
Ответ : 2π n , n Z

20. С помощью тригонометрических формул

2. Формулы приведения:
π
sin t cos t
2
sin π t sin t
π
cos t sin t
2
cos π t cos t
3π
sin
t cos t
2
3π
cos
t sin t
2
sin 2π t sin t
cos 2π t cos t
π
tg t ctg t
2
tg π t tg t
π
ctg t tg t
2
ctg π t ctg t
3π
tg
t ctg t
2
tg 2π t tg t
3π
ctg
t tg t
2
ctg 2π t ctg t

21. Лошадиное правило

В  старые  добрые  времена  жил 
рассеянный  математик,  который  при 
поиске  ответа  менять  или  не  менять 
название  функции  (синус  на  косинус), 
смотрел  на  свою  умную  лошадь,  а  она 
кивала  головой  вдоль  той  оси 
координат, 
которой 
принадлежала 
точка, 
соответствующая 
первому 
слагаемому аргумента π/ 2 + α или π  + α.
Если  лошадь  кивала  головой  вдоль  оси 
ОУ,  то  математик  считал,  что  получен 
ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, 
то «нет, не менять». 
 

22. С помощью тригонометрических формул

3. Формулы двойного аргумента:
sin 2x = 2sinx cosx
cos 2x = cos2x – sin2x
2tgx
tg 2x =
1 – tg2x
ctg2x – 1
ctg 2x =
2ctgx
cos 2x = 2cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2sin2x

23. Пример 14

sin 4x cos 2x 0
2 sin 2x cos 2x cos 2x 0
cos 2x 2 sin 2x 1 0
cos 2x 0,
2 sin 2x 1 0;
cos 2x 0,
sin 2x 1 ;
2
π
2
x
πn, n Z
2
2x 1 k arcsin 1 π k , k Z
2
Ответ :
π πn
,n Z;
4
2
1 k
π πn
x
,n Z
4
2
x 1 k π π k , k Z
12
2
π πk
, k Z.
12
2

24. С помощью тригонометрических формул

4. Формулы понижения степени:
sin 2 α
1
1 cos 2α
2
1
cos α 1 cos 2α
2
2
sin α cos α
1
sin 2α
2
sin α cos α 2 1 sin 2α
5. Формулы половинного угла:
α
1 cos α
sin
2
2
α
sin α
1 cos α
tg
2 1 cos α
sin α
α
1 cos α
2
2
α
sin α
1 cos α
ctg
2 1 cos α
sin α
cos

25. С помощью тригонометрических формул

6. Формулы суммы и разности:
cos α cos β 2cos
α β
α β
cos
2
2
cos α cos β 2 sin
α β
β α
sin
2
2
sin α sin β 2 sin
α β
α β
cos
2
2
α β
α β
sin α sin β 2 sin
cos
2
2
sin( α β )
tg α tg β
cos α cos β
sin( α β )
tg α tg β
cos α cos β
sin( α β )
ctg α ctg β
sin α sin β
ctg α ctg β
sin( β α )
sin α sin β

26. С помощью тригонометрических формул

7. Формулы произведения:
1
cos α cos β cos α β cos α β
2
1
sin α sin β cos α β cos α β
2
1
sin α cos β sin α β sin α β
2

27. Мнемоническое правило “Тригонометрия на ладони”

Очень часто требуется знать 
наизусть значения cos, sin, tg, ctg 
для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. 
Но если вдруг какое­либо значение 
забудется, то можно 
воспользоваться правилом руки.
Правило: Если провести линии 
через мизинец и большой палец,
то они пересекутся в точке, 
называемой “лунный бугор”. 
Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°. 
Проведя  лучи  из  “лунного  бугра”  через  безымянный,  средний, 
указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°. 
Подставляя  вместо  n:  0,  1,  2,  3,  4,  получаем  значения  sin,  для 
углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Для cos отсчет происходит в обратном порядке. 

28. Не закончено!