Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1.

2.

Определение:
Определение:
Определение:

3.

в матричном виде:
или с помощью расширенной матрицы: A ( A B ),
то есть

4.

,
зависящих от (n – r) свободных переменных.

5.

1.

6.

Замечание 1:
Метод Крамера подходит для СЛАУ с квадратной матрицей A.
Замечание 2:

7.

2.
Замечание 1:
Метод обратной матрицы подходит только для СЛАУ с квадратной матрицей A.
Замечание 2:
Если определитель матрицы A равен нулю, то СЛАУ может быть несовместной или
неопределенной.

8.

3.
Замечание:
Метод Гаусса подходит для решения любых СЛАУ.

9.

Пример:

10.

Пример:

11.

Пример:

12.

Пример:

13.

Пример:

14.

Пример:
1. Прямой ход метода Гаусса (запишем расширенную матрицу A ( A B),
и
приведем ее к ступенчатому виду):
2 3 1 7 1 4 2 1 1 4
2 1 1 4 2 1 1 4 2 1
1
4
2
1
2
3
1
7
0
11
3
5
0
11
3
5
0
11
3
5
1 4 0 5
1 4 0 5 0 8 2 4 0 4 1 2 0 0 1 2
2. Обратный ход метода Гаусса (запишем из расширенной матрицы систему и
решим ее снизу вверх):
x1 4 x2 2 x3 1;
x1 1;
11
x
3
x
5;
x2 1;
2
3
x3 2. x3 2.

15.

Определение:
Определение:
Определение:
Определение:

16.

Пример:
1. Запишем расширенную матрицу A ( A B), и приведем ее к ступенчатому виду:
1
3
1
2 1 1 1
1 1 4 3 4
5 9 8 1 0
1
1 1 2 1 1 1
0
4
7
7
0
1
0 4 7 7 0 1
1 1 2 1 1 1
0
4
7
7
0
1
0 0 0 0 0 0
1 1 2 1 1 1
0 4 7 7 0 1
Получаем, R ( A) R ( A) 2 r , n=5, то есть r < n. Значит, по теореме КронекераКапелли СЛАУ имеет бесконечное множество решений, зависящих от (n – r)=5–2=3
свободных переменных.

17.

2. Запишем из расширенной матрицы систему и решим ее снизу вверх:
x1 x2 2 x3 x4 x5 1;
4 x2 7 x3 7 x4 1.
Пусть свободными переменными будут неизвестные x3 , x4 , x5 , тогда базисными
переменными будут x1 , x2 .
1
3
5
x
s
v
t
;
1
4
4
4
x 7 s 7 v 1 ;
2 4
4
4
Получим общее решение СЛАУ:
x3 s;
x4 v;
7
x t.
x
;
1
5
4
x 1 ;
2
4
Обозначим s = 4, v = – 4, t = 1, получим частное решение СЛАУ:
x3 4;
x4 4;
x 1.
5