Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки

1.

Тема/Theme

2.

Цель обучения /learning objectives
11.4.1.4 находить интеграл, используя метод замены
переменной

3.

Критерии успеха/Success criteria
Учащийся достиг цели обучения, если:
– умеет применять метод подстановки (замена переменной)
для нахождения неопределенного интеграла

4.

Метод замены переменной в неопределённом интеграле
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести
нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод
называется методом подстановки или методом замены переменной. Он
основан на следующей теореме:
Теорема. Пусть функция x (t ) определена и дифференцируема на некотором
промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором
определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет
первообразную, то на множестве Т справедлива формула
f ( x)d x f (t ) (t )dt
Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение
представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от
этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной
или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.

5.

Интегрирование методом замены переменной
Integration by substitution
1
3
2
1
1 t
1
1) x 3 x 2 1 dx t 2 dt C 3 x 2 1 3 x 2 1 C.
6
6 3
9
2
1
2
Пусть 3 x 1 t , тогда 6 x dx dt , т. е. x dx dt .
6
t 2 1
1 4 2
1 5 1 3
2) x 2 x 1 dx
t t dt t t dt t t C
2
2
10
6
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Пусть
2 x 1 t , тогда
t 2 1
x
, dx t dt .
2

6.

Интегрирование методом замены переменной
Integration by substitution
3 2
x dx
2 t 3t 2 dt
12
3
3) 3
3 4t 4t 4 t 7 dt 6t 2 t 5 t 8 C
t
5
8
2 x
12
3
2
2
2
2
3
3
6 2 x 2 x 2 x 2 x 3 2 x C.
5
8
2
Пусть
3
2 x t , тогда
x 2 t 3 , т. е. dx 3t 2 dt .
sin 2 x dx
1 7
1 t 6
1
4)
t dt
C
C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
1
Пусть cos 2 x t , тогда dt 2 sin 2 x dx, т. е. sin 2 x dx dt .
2

7.

Multiplying and dividing by a constant
Evaluate
2 x dx
1. x 1
2
2
du
u 2x 2x
3
2
3
x 1
u
C
C
3
3
2
Evaluate
2. x sin x dx
2
3
Let u = x2 + 1
du = 2x dx
du
dx
2x
u = x3
du = 3x2 dx
du
dx
2
3x
2
x sin u du 1 sin u du 1 ( cos u ) C 1 cos x 3 C
2
3
3
3
3x

8.

Multiplying and dividing by a constant
Evaluate
3. sin 3 x cos 3 x dx
2
Let u = sin 3x
du = 3cos 3x dx
rewritten as
sin 3x cos3x dx
du
dx
3 cos 3 x
2
u cos 3 x
2
du
3 cos 3 x
1 2
u du
3
u3
sin 3 3 x
C
C
9
9