Неопределённый интеграл.
Метод подстановки (замены переменной)
Пример 1. Вычислить интеграл
Пример 2. Вычислить интеграл
Пример 3. Вычислить интеграл
Пример 4. Вычислить интеграл
Пример 5. Вычислить интеграл
Пример 6. Вычислить интеграл
Пример 7. Вычислить интеграл
Пример 8. Вычислить интеграл
Пример 9. Вычислить интеграл
Пример 10. Вычислить интеграл
Ещё некоторые формулы.
Пример 11. Вычислить интеграл
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.
Пример 12. Вычислить интеграл
Пример 13. Вычислить интеграл
Пример 14. Вычислить интеграл
Пример 15. Вычислить интеграл
601.50K
Category: mathematicsmathematics

Неопределённый интеграл. Метод подстановки (замены переменной)

1. Неопределённый интеграл.

2. Метод подстановки (замены переменной)

Найти
f ( x) dx
пусть x (t ) , тогда dx t dt
f ( x) dx f (t ) (t ) dt
Функцию x (t ) следует выбирать так,
чтобы можно было вычислить неопределенный
интеграл, стоящий в правой части равенства.

3.

Замечание. Иногда целесообразнее подбирать
замену переменного в виде t x
Пример.
x
( x) dx
пусть x t , тогда
x dx dt
x
dt
( x) dx t ln t C ln ( x) C

4. Пример 1. Вычислить интеграл

10
2
x
1
dx
2x 1 t
d 2 x 1 dt
2 dx dt
dt
dx
2
2 x 1
10
1 10
1 t
2 x 1
dx t dt
C
C
2
2 11
22
11
11

5. Пример 2. Вычислить интеграл

4 x 5 dx
4x 5 t
d 4 x 5 dt
4 dx dt
dt
dx
5
1
2
3
2
1
1
1 t
4 x 5 dx t dt t dt C
5
5
5 3
2
2 t3
2t t
2 4 x 5 4 x 5
C
C
C
15
15
15

6. Пример 3. Вычислить интеграл

sin 2 3x dx
2 3x t
d 2 3 x dt
3 dx dt
dt
dx
3
1
1
1
sin 2 3x dx 3 sin t dt 3 cos t C 3 cos 2 3x C

7. Пример 4. Вычислить интеграл

ln 5 x
x dx
ln x t
d ln x dt
1
dx dt
x
6
6
ln 5 x
t
ln
x
5
x dx t dt 6 C 6 C

8. Пример 5. Вычислить интеграл

1
x sin
x dx
x2
1
1
x sin
sin
x dx dx
x dx
x2
x x2
1
ln x sin t dt ln x cos t C ln x cos C
x
1
t
x
1
d dt
x
dx
2 dt
x

9. Пример 6. Вычислить интеграл

sin
3
x cos x dx
sin x t
d sin x dt
cos x dx dt
4
4
t
sin x
sin x cos x dx t dt 4 C 4 C
3
3

10. Пример 7. Вычислить интеграл

dx
25 4 x 2
dx
dx
25 4 x 2 52 2 x 2
1
dt
1 1
t
1
2x
2 2 arctan C arctan
C
2 5 t
2 5
5
10
5
2x t
d 2 x dt
2 dx dt
dt
dx
2

11. Пример 8. Вычислить интеграл

tan x dx
sin x
tan x dx cos x dx
dt
ln t C ln cos x C
t
cos x t
d cos x dt
sin x dx dt

12. Пример 9. Вычислить интеграл

x
4
x
4
t
t
e
dx
4
e
dt
4
e
C 4e C
x
t
4
x 4t
dx d 4t
dx 4 dt
e
x
4
dx

13. Пример 10. Вычислить интеграл

dx
sin x
dx
sin x
sin x
2 dx
dx
2
sin x
sin x
1 cos x
dt
dt
1 t 1
1 cos x 1
2
ln
C ln
C
2
1 t
t 1 2 t 1
2 cos x 1
cos x t
d cos x dt
sin x dx dt

14. Ещё некоторые формулы.

kx b
1
a
1) a kx b dx
C
k ln a
e
kx b
1 kx b
dx e
C
k
1
2) sin kx b dx cos kx b C
k
1
3) cos kx b dx sin kx b C
k
dx
1
4)
ln kx b C
kx b k

15.

dx
1
5)
tan kx b C
2
cos kx b k
dx
1
6) 2
cot kx b C
sin kx b
k
7)
dx
1
n
arcsin x C
2
2 2
n
k
k n x
dx
1
n
8) 2
arctan x C
2 2
k n x
kn
k
9)
2
a
x x 2
2
2
a x dx arcsin
a x2 C
2
a 2

16. Пример 11. Вычислить интеграл

a x dx
2
2
x
x a sin t t arcsin
a
dx a cos t dt
a 2 x 2 a 2 a 2 sin 2 t a 2 1 sin 2 t a 2 cos 2 t a cos t

17.

1 cos 2t
a x dx a cos t a cos t dt a cos t dt a
dt
2
2
2
2
2
2
a2
a2
a2
a2 1
dt cos 2t dt t sin 2t C
2
2
2
2 2
a2
a2 1
a2
x 1
t 2 sin t cos t C arcsin x a 2 x 2 C
2
2 2
2
a 2

18. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

dx
1. 2
ax bx c
0
2
2
b
c
b
b
c
b
2
2
2
ax bx c a x x a x 2 x
a
a
2
a
2
a
a
2
a
2
2
2
b
c
b
b
2
a x 2 a x k
2a a 4a
2a
k

19.

dx
1
dx
1
dt
ax 2 bx c a b 2 2 a t 2 k 2
x
k
2a
b
x
t
2a
dx dt
табличный интеграл

20.

0
2.
dx
ax bx c
2
2
2
b
c
b
b
c
b
2
2
2
ax bx c a x x a x 2 x
a
a
2
a
2
a
a
2
a
2
2
2
b
c
b
b
2
a x 2 a x k
2a a 4a
2a
k

21.

при а>0
dx
1
2
a
ax bx c
dx
2
b
2
x k
2a
1
a
dt
t2 k2
табличный интеграл
b
x
t
2a
dx dt
при а<0:
dt
k2 t2

22. Пример 12. Вычислить интеграл

dx
x2 2x 5
x 2 2 x 5 x 2 2 x 1 5 1 x 1 4
2
dx
dx
dt
1
t
2
arctan C
2
2
2
x 2x 5
2
x 1 4 t 2 2
x 1 t
dx dt
1
x 1
arctan
C
2
2

23. Пример 13. Вычислить интеграл

dx
2
11 10 x x
11 10 x x 2 ( x 2 10 x 11) ( x 2 10 x 25 11 25)
x 5
2
36
dx
dx
dt
1 t 6
2 2 ln
C
2
2
11 10 x x
t 6
12 t 6
x 5 36
x 5 t
dx dt
1
x 5 6
1
x 11
ln
C ln
C
12 x 5 6
12
x 1

24. Пример 14. Вычислить интеграл

dx
x 2 6 x 10
x 6 x 10 x 6 x 9 10 9 x 3 1
2
2
2
dx
x 2 6 x 10
x 3 t
dx dt
dx
x 3 2 1
dt
2
ln
t
t
1 C
2
t 1
ln x 3 x 2 6 x 10 C

25. Пример 15. Вычислить интеграл

dx
5 4x x2
5 4 x x 2 ( x 2 4 x 5) x 2 4 x 4 5 4
x 2 9 9 x 2
dx
5 4x x
2 x t
dx dt
2
dx
3 2 x
2
2
2
dt
2
t
arcsin C
2
2
3
3 t
2 x
arcsin
C
3
English     Русский Rules