Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике

3.08M

Category:

physics

Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике

1. Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике

2.

1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция
f(x, y, z) ≡ 1, то из определения
КРИ-1 следует, что он равен
длине кривой, по которой
ведется интегрирование:
l ds.
l

3.

2) Масса кривой.
Если подынтегральная функция
γ (x, y, z) определяет плотность
в каждой точке кривой, то массу
кривой можно найти по формуле
M ( x, y, z )ds.
l

4.

• 3) Моменты кривой l:
статические моменты плоской
кривой l относительно осей Ох и
Оу:
M x y ( x, y)ds, M y x ( x, y, z )ds
l
l

момент инерции
пространственной кривой
относительно начала координат:
I 0 ( x y z )ds
2
2
2
l
моменты инерции кривой
относительно координатных
осей:
I x ( y 2 z 2 )ds, I y ( x 2 z 2 )ds, I z ( x 2 y 2 )ds
l
l
l

6.

4) Координаты центра масс
кривой вычисляются по
формулам
xc
zc
x
(
x
,
y
,
z
)
ds
l
M
z
(
x
,
y
,
z
)
ds
l
M
, yc
y
(
x
,
y
,
z
)
ds
l
M
,

7.

F {P, Q, R} ,
• 5) Работа силы
действующей на точку,
движущуюся по кривой (АВ):
Pdx
Qdy
Rdz
F
d
r
( AB )
( AB )

8.

Пример. Найти массу кривой
с
линейной плотностью ,
2
заданной в полярных
координатах уравнением ρ = 4φ,
где
3
3
.

9.

• Решение.
2
M ( ), d
2
2
1
2
3
4
3
4
4 2 1d
2
3
8 2
1d( 1) 1
3
2
2
3
2
2
3 3
2
3
3
3
8
2
2
2
2
4 9 9 .
81

10.

• Пример. Вычислить работу
2 3
2 3
векторного поля F x y , y z , xyz
вдоль отрезка прямой от точки
А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

11.

• Решение. Найдем канонические
и параметрические уравнения
прямой АВ:

12.

y y1
x x1
z z1
x 2 y 3 z 1
t
t,
x2 x1 y 2 y1 z2 z1
3
7
1
x 3t 2, dx 3dt ;
y 7t 3, dy 7 dt ;
z t 1, dz dt.
A
Fx dx Fy dy Fz dz
( AB )
1
t( A) 0,
t( B) 1
x 2 y 3dx y 2 z 3dy xyzdz
( AB )
3 3t 2 7t 3 7 7 t 3 t 1 3t 2 7 t 3 t 1 dt
2
3
2
3
0
1
5
4
3
2
9604
t
6056
t
25305
t
8177
t
993t 261 dt
0
1
9604t
6056t
25305t
8177 t
993t
261t 4225, 55.
5
4
3
2
6
0
6
5
4
3
2