Специальные случайные распределения, используемые в математической статистике

1. Специальные случайные распределения, используемые в математической статистике

2. Гамма-функция

Интегральное представление:
( x)
0
t x 1
e t
dt

3.

Основное свойство :
(x+1) = x (x)
где х – любое действительное число.
Частные свойства.
(n+1) = n ! , где n - натуральное число.
(1) = (2) = 1.
(1 / 2 ) 1, 77245 ...
( 3 / 2 ) / 2 0 ,88623 ...

4.

Асимптотика
( x ) e
x
x x
x
2 / x

5.

График функции (x).
Интервал: [ - 1; 1].

6.

10
5
4
2
2
4
5
10
График функции (x).
Интервал: [ - 5; 5].

7.

4
2
4
2
2
4
2
4
График функции
1 / (x).

8.

Нормированная функция Гаусса
2
1
x
f Gn ( x )
exp
2
2

9. Случайная величина «хи-квадрат»

v
2
2
i
i 1
где i – независимые случайные величины, каждая из
которых имеет нормальное нормированное
распределение вероятностей, имеющее плотность вида
2
1
x
f Gn ( x )
exp
2
2

10.

Вид распределения зависит от целочисленного параметра
, который называется число степеней свободы и
принимает значения натурального ряда чисел.
1
f 2 ( x)
x
(v / 2)
v
x
1
2
2
e
2
v
2
x 0
Математическое ожидание и дисперсия
M( 2 ) = v
D( 2 ) = 2v

11.

v=1
1
f 1 ( x)
2 x
x
e 2

12.

v=2
f x
0.5
0.4
f 2 ( x)
0.3
0.2
x
1 2
e
2
0.1
2
4
6
8
10
x

13.

v=3
x
f 3 ( x)
2
x
e 2

14.

v=4
f 4 ( x)
x
x 2
e
4

15.

v=5
f x
0.2
0.15
0.1
0.05
5
10
15
20
x

16.

v = 10
f x
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
5
10
15
20
25
30
x

17.

v = 20
f x
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
10
20
30
40
50
x

18.

v = 50
f x
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
20
40
60
80
100
x

19.

v = 100
f x
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
50
100
150
200
x

20.

v = 200
f x
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
150
200
250
300
x

21.

v = 500
f x
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
450
500
550
600
x

22.

v = 1000
f x
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
900
1000
1100
x
1200

23.

2
Случайная величина
v
2v
при v превращается в гауссову
нормированную случайную величину.

24. Случайная величина Стьюдента

Tv
1
v
v
2
i
i 1
где все ( + 1) случайные величины i независимы и
имеют нормальное нормированное распределение
вероятностей.
Параметр называется числом степеней свободы
и принимает значения натурального ряда чисел.

25.

Плотность случайной величины Стьюдента
v 1
2 2
x
1 (( v 1) / 2)
f v ( x)
1
v
v (v / 2)
Вид распределения зависит от числа степеней свободы
Математическое ожидание и дисперсия
M(Tv) = 0
D (T )
2

26.

v=1
0.5
0.4
1
f 1 ( x)
2
(1 x )
0.3
0.2
0.1
4
2
2
4

27.

v=2
0.5
0.4
f 2 ( x)
1
2 2(1 x / 2)
2
0.3
0.2
0.1
4
2
2
4
3

28.

v=3
0.5
0.4
2
f 3 ( x)
2
2
3(1 x / 3)
0.3
0.2
0.1
4
2
2
4

29.

v=5
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
4
2
2
4

30.

v = 10
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
4
2
2
4

31.

v = 40
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
4
2
2
4

32. Нормированная функция Гаусса

33.

Случайная величина Стьюдента
при v превращается в гауссову
нормированную случайную величину.