Дифференциальное уравнение теплопроводности

1. Современные проблемы теплоэнергетики

Теплопроводность:
● Дифференциальное уравнение
теплопроводности
● Условия однозначности

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

dQz dz
z
dQx
dz
dQy dy
dQy
0
x
dQx dx dy
dQz
dx
y

3. Метод математической физики

Для вывода дифференциального уравнения
теплопроводности используется
метод математической физики,
когда процесс изучается в элементарном объеме
d
dv за бесконечно малый промежуток времени
,
что позволяет упростить вывод.
Принимаются допущения:
● тело – однородно и изотропно, то есть его
физические свойства изменяются одинаково
во всех направлениях;
● физические свойства тела постоянны;

4. Допущения

● изменение объема тела от температуры
пренебрежимо мало, по сравнению с его объемом,
как величина 2 порядка малости;
● распределение внутренних источников теплоты
равномерно и может быть задано как
qv f ( x, y, z, .)
Тогда по закону сохранения энергии
уравнение теплового баланса запишется в виде:
dQ dQ1 dQ2
,
(1)
где изменение внутренней энергии элементарного объема
d
dv за бесконечно малый промежуток времени
(2)
dQ c t dvd ;

5. Уравнения (3 – 7)

тепловыделения внутренних источников:
dQ2 qv dvd
;
(3)
теплота, вошедшая теплопроводностью в элементарный объем
dv за бесконечно малый промежуток времени d вдоль осей
координат x, y, z:
(4)
dQ dQ dQ dQ .
1
x1
y1
z1
Разность подведенной и отведенной теплоты вдоль оси х:
dQx1 dQx dQx dx
,
где:
;
dQ q dydzd
x
(5)
(6)
x
dQx dx qx dx dydzd .
(7)

6. Уравнения (8 - 11)

Функцию
qx dx можно разложить в ряд Тейлора:
2
qx dx q x dx 2 ...
qx dx qx
x 1! x 2 2!
.
(8)
Пренебрегаем величиной 2 порядка малости в (8).
После подстановки (8) в (7), а (6) и (7) – в (5) имеем:
dQx1 (qx qx
Аналогично
по осям у и z:
qx
q
q
dx)dydzd x dxdydzd x dvd .
x
x
x
dQy1 dQy dQy dy
q y
dvd
y
q
dQz1 dQz dQz dz z dvd
z
(9)
;
(10)
.
(11)

7. Уравнения (12 – 13)

Уравнения (9), (10), (11) подставляем в (4):
qx q y qz
dQ1 (
)dvd
x y z
,
(12)
а уравнения (2), (3), (12) – в (1):
qx q y qz
t
c dvd (
)dvd qv dvd .
x y z
После сокращения на
dvd
и деления на
q
t
1 q q q
( x y z ) v
c x y z
c
По закону Фурье:
qx
c
получим:
t
t
t
; qy ; qz
x
y
z
.
.
(13)

8. Уравнения (14 – 17)

Производные от тепловых потоков по координатам:
qx
2t q y
2t qz
2t
2 ;
2 ;
2 .
x
x y
y z
z
(14)
После подстановки (14) в (13) дифференциальное уравнение
теплопроводности будет иметь вид (15):
t 2t 2t 2t qv
( 2 2 2)
.
c x y z
c
(15)
Введя обозначения коэффициента температуропроводности
(16)
a /(c ) и оператора Лапласа 2t 2t 2t 2t
Получим окончательное выражение
x 2 y 2 z 2
дифференциального уравнения
t
2t qv
a
теплопроводности:
(17)
c

9. Полярная (цилиндрическая) система координат

Оператор Лапласа в
полярных координатах:
2t
z
2t 1 t 1 2t 2t
2 2 2
2
r r r r z
r
x rCos
y rSin
x2 y 2
arctg( y / x)
z z
z
0
r – радиус – вектор
- полярный угол
r
y
x
y
0
r
y
x
y
x
x

10. Условия однозначности

Дифференциальное уравнение теплопроводности (17)
справедливо для ортогональных и полярных координат,
с учетом выражений операторов Лапласа соответственно
(16) и приведенного на предыдущем слайде.
Дифференциальное уравнение теплопроводности (17)
описывает множество процессов теплопроводности.
Чтобы выделить конкретный процесс, надо задать условия
однозначности. Их бывает 4 вида: геометрические (геометрия
тела, его размеры, положение в пространстве);
физические (физические свойства тела); начальные [при 0
t f ( x, y, z)] и граничные условия, которые бывают 4 родов.

11. Граничные условия

I рода: t f ( x, y, z, ) ,
для стационарных процессов они принимают вид: t Const .
c
II рода: q f ( x, y, z, ) ,
или для стационарных процессов: qc Const .
III рода (для теплопроводности внутри ламинарного
пограничного слоя и конвекции вне его):
t
, откуда: t
.
q ( )c (tc tж )
n
(
n
)c (tc tж )
IV рода (для теплопроводности при контакте двух твердых
тел):
t1
t2 , откуда: ( t1 ) ( t2 ) .
q ( ) ( )
1
c
2
c
1
n
c
2
n
c
n
n

12. Вопросы к зачету

1.
2.
Дифференциальное уравнение
теплопроводности.
Условия однозначности для
процессов теплопроводности.