Тепломассообмен. Теплопроводность

1.

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурностроительный университет»
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции

2.

ТЕПЛОМАССООБМЕН
Курс лекций
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции

3.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Тепломассообмен – необратимый самопроизвольный процесс распространения
в
пространстве
теплоты
или
массы
одного
из
компонентов
вещества
относительно другого.
Существуют три механизма передачи теплоты - «простой» теплообмен:
- теплопроводность (Т) или кондукция,
- конвекцию (К),
-тепловое излучение (Л) или радиация.
Теплопроводность характерна для твердых тел, конвекция – для жидких и
газообразных, излучение – для поверхностей, разделенных лучепрозрачной
средой. Если в теплообмене участвует более чем одна составляющая, то такой
теплообмен называется «сложным», например, теплопроводность и конвекция;
конвекция и излучение; теплопроводность, конвекция и излучение.
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

4.

Перенос массы происходит следующими способами:
- диффузией,
- конвекцией.
В реальных процессах процессы теплообмена и массообмена обычно
сопутствуют друг другу. Теплопроводность и конвекция всегда связаны
переносом
массы
примеси
(диффузией),
т.е.
имеет
место
с
сложный
тепломассообмен.
Значительный вклад в создание и развитие теоретических и практических
основ тепломассообмена внесли такие известные Российские ученые как
М.В. Кирпичев, М.А. Михеев, А.А. Гухман, А.В. Лыков, Г.М. Кондратьев, С.С.
Кутателадзе, С.Н. Шорин, Л.С. Эйгенсон, В.Н. Богословский и др. Благодаря
их трудам сформировалась отечественная школа тепломассообмена.
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

5. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ

Теплопроводность – молекулярный перенос, обусловленный неоднородностью распределения
температуры в пространстве. В механизме любого процесса теплообмена выделяют
«переносимое» и «носитель». Тогда теплопроводность – процесс переноса теплоты путем
непосредственного
соприкосновения между частицами тела, имеющими
различную
температуру, и протекает на элементарном уровне. Механизм теплопроводности зависит от
природы вещества и его физического состояния :
в твердых телах (диэлектриках) – за счет упругих колебаний кристаллических решеток
(упругих волн);
в твердых телах (электрических проводниках) – основным «носителем» тепловой энергии
являются свободные электроны, а роль упругих колебаний кристаллических решеток второстепенна;
в жидкостях – за счет упругих колебаний молекул около равновесного состояния;
в газах – за счет обмена энергией путем диффузии при соударении между элементарными
частицами (молекулами, атомами) вещества.
Теплопроводность протекает на уровне элементарных частиц и зависит от неравномерности
распределения температур в теле. В «чистом» виде теплопроводность имеет место в твердых
телах.

6.

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
В общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью сопровождается
изменением температуры в пространстве и во времени. Для описания
пространственно-временного распределения температуры вводится понятие
температурного поля. Температурным полем
называется совокупность
мгновенных значений температур во всех точках рассматриваемого объема.
Общий вид температурного поля в декартовой системе координат:
в цилиндрических координатах:
t f ( x, y , z , )
1
- в сферических координатах:
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

7. Температурное поле

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
.
- в векторной форме:
Температурное поле в таком виде называется трехмерным нестационарным.
Если температурное поле не изменяется во времени, то оно называется
трехмерным стационарным:
Если
t
0
и
t
0
z
, то получаем двумерное уравнение: t f 1 ( x, y )

8.

Наиболее простым случаем является одномерное (линейное) стационарное
температурное поле
t f1 ( x )
Температура
является
при условии:
t
скалярной
0
и t
z
величиной,
t
0
y
таким
образом,
температурное поле – есть скалярное поле.
Непрерывное поле – такое поле, в котором бесконечно малому
приращению
координат
соответствует
бесконечно
малое
приращение
температуры, т.е. производные будут конечны.
Разрывное поле - поле, в котором бесконечно малому приращению
координат соответствует конечное приращение температуры.
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

9.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Градиент поля – вектор, определенный в каждой точке поля, имеющий
направление нормали к поверхности уровня в сторону возрастания величины и
U
n
численно равный частной производной по нормали
Градиент поля обозначается – grad U или
(набла, оператор Гамильтона).
U
- единичный вектор, перпендикулярный к поверхности уровня
n
gradU n0
0
n
U U U
gradU
i
j
k
x
y
z
i , j , k - орты декартовой системы координат (ортогональные единичные векторы,
ориентированные в пространстве).
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

10.

Модуль градиента:
2
2
U
U
U
gradU
x
z
y
2
Правила вычисления градиента:
gradC 0
(C=const)
grad (U 1 U 2 ) gradU 1 gradU 2
grad (cU ) c gradU
grad (U 1 U 2 ) U 1 gradU 2 U 2 gradU 1
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

11.

Дивергенция вектора V:
Vx V y Vz
divV
x
y
z
В цилиндрических координатах:
1 rVr 1 V Vz
divV
r r
r
z
Правила вычисления дивергенции (U- скаляр, V-вектор):
divC 0
(C=const)
div (V1 V2 ) divV1 divV2
div(cV ) c divV
div (U V ) U divV V divU
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

12.

Оператор Лапласа обозначается –
2
или
2U 2U 2U
U 2 2 2
x
y
z
2
В цилиндрических координатах:
2
2
2
U
1
U
1
U
U
2
U 2
2
2
2
r
r r r
z
Теорема Гаусса-Остроградского (переход от двойного интеграла к тройному):
Vds divVdv
s
v
Скалярный поток вектора V через замкнутую поверхность s равен интегралу от
divV, распространенному по объему v, заключенному внутри поверхности s.
ООО «Меди»
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции

13.

Всегда найдется такая вторая точка, в которой температура будет равна начальной
t1 = t2, далее будет третья точка - t1 = t2 = t3 и т.д. В конечном итоге можно получить
некоторую замкнутую кривую, в которой t = const.
Совокупность точек пространства, имеющих одинаковую температуру, образуют
изотермическую поверхность. Изотермические поверхности в пространстве не
пересекаются, поскольку одна и та же точка не может иметь в данный момент
разные температуры.
Изменение температуры наблюдается только в направлениях, пересекающих
изотермические поверхности. Максимальное изменение температуры имеет место
в направлении нормали к изотермическим поверхностям.
Градиент температуры - вектор, направленный по нормали к изотермической
t
К/м, (град/м)
gradt n
поверхности в сторону возрастания температуры:
n
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

14.

Изотермические поверхности
Градиент температуры
Нетрудно видеть, что во всех направлениях, отличных от нормали, grad t будет
меньше. Например, проекция вектора grad t на ось координат х:
gradt
x
t
t
cos n x
n
x
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

15.

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
В любом теле при отсутствии полного теплового равновесия возникает тепловой
поток. Для математического описания вводится вектор теплового потока в
соответствии с гипотезой Фурье: количество теплоты, проходящее через элемент
изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально
температурному градиенту:
dQ gradt dF d
, Дж
λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м∙К.
ПЛОТНОСТЬ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА:
q gradt
Вт/м2
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

16.

Коэффициент теплопроводности
Коэффициент теплопроводности - физическая характеристика данного вещества,
которая показывает интенсивность переноса теплоты через данное вещество, т.е.
представляет собой плотность теплового потока при grad t=1К/м.
Коэффициент теплопроводности зависит от следующих факторов:
1. Физических свойств вещества. Максимальное значение имеют металлы (электрические
проводники) - 35Вт/(м К); минимальное – газы, например, воздух: 0,03Вт/(м К)
2. Плотности данного материала, которая зависит от его пористости, т.е. наличия
воздушных включений (приведенное ниже уравнение справедливо только для одного и
того же материала):
0
Вт/(м К)
0
Объясняется это тем, что в сухом состоянии поры вещества заполнены воздухом,
имеющим минимальный коэффициент теплопроводности.
Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции
ООО «Меди»

17.

3. Температуры тела:
t 0 (1 t )
Вт/(м К)
где 0 - коэффициент теплопроводности материала при его температуре 0 оС.
β - коэффициент температурного расширения, К-1.
Известно, что температурный коэффициент β имеет отрицательное значение для
металлов и положительное для диэлектриков, т.е. с увеличением температуры
коэффициент теплопроводности диэлектриков возрастает, а металлов –
уменьшается. Для большинства строительных материалов коэффициент
теплопроводности λ увеличивается с повышением температуры.
4. Влажности материала, с увеличением которой коэффициент теплопроводности
растет за счет заполнения пор более теплопроводным, чем воздух, веществом –
) и конвективного переноса теплоты, связанного
водой
(20
вода
воздух
с капиллярным движением воды внутри пористого материала. Зависимость от
относительной влажности материала W обычно представляется в графической
форме (рис.1.4).

18.

Зависимость коэффициента теплопроводности древесины λ от температуры
t и влажности W

19.

5. Структуры материала. Это относится к материалам, имеющим неоднородное
(анизотропное) строение по разным направлениям. Коэффициент теплопроводности
зависит от направления вектора теплового потока относительно структуры материала.
Характерным примером этого является древесина, имеющая волокнистую структуру
с более плотными (и теплопроводными) волокнами. Для нее коэффициенты
теплопроводности могут отличаться примерно в два раза (например, для сосны:
поперек волокон λ ≤ 0.15Вт/м∙К, а вдоль – λ ≥ 0.3Вт/м∙К.

20.

Уравнение теплопроводности
Наиболее последовательная и законченная теория, позволяющая
аналитически определить коэффициент теплопроводности, создана для газов
на основе молекулярной теории. Для строительных материалов коэффициент
теплопроводности определяется экспериментальным путем и приводится в
справочных таблицах.
Для вывода уравнения теплопроводности принимаются следующие
допущения:
1. Теплопроводное тело является гомогенным.
2. Рассматривается изотропное тело.
3. Все теплофизические характеристики тела – величины постоянные и не
зависят от температуры.
4. Интенсивность процесса теплообмена достаточно мала.
Пусть имеется тело произвольной формы с элементарным объемом dV. Внутри
этого тела имеются источники теплоты мощностью W. Количество теплоты,
затраченное на изменение внутренней энергии тела и передаваемое
окружающей среде, определяется:
dQ1 W dV d
Q1 W dV d
V

21.

Количество теплоты, затраченное на изменение температуры:
t
dQ2 с P dV d
t
Q2 c P dV d
V
Количество теплоты, уходящее через поверхность:
Q3 gradt d dS
S
По теореме Гаусса-Остроградского:
Q3 div ( gradt d dV ) 2 t d dV
V
V

22.

Исходя из уравнения:
Q1 Q2 Q3
или с учетом
t
2
W
dV
d
c
dV
d
t d dV
P
V
V
V
получим:
W dV d c P
t
dV d 2 d dV

23.

и после сокращения на
(dV d )
t
W cP
2t
После преобразований
cP
t
W 2t
Окончательно получим:
t
W
2
t
с P
cP

24.

Выражение
сP
называется коэффициентом температуропроводности
a
сP
Коэффициент температуропроводности а [м2/с] – физическая характеристика данного
вещества, которая играет существенную роль при анализе нестационарных тепловых
процессов, т.к. является мерой теплогенерирующих свойств тела, поскольку
t
~а
Анализируя уравнение
t
W
2t
с P
cP
можно сделать следующие выводы, что это уравнение:
– частных производных;
– II-го порядка;
– линейное, т.е. температура входит в 1-ой степени;
– параболического типа.

25.

Частные случаи уравнения:
1. При W=0 получаем уравнение Фурье:
t
a 2t
2. Стационарный процесс – уравнение Пуассона:
2t W 0
3. При
t
0
t 0
2
и
W=0 – уравнение Лапласа:

26.

Из уравнения Фурье следует, что скорость распространения теплоты в теле
бесконечно велика, т.е. что градиент температуры gradt и плотность теплового потока q
для любого момента времени τ соответствуют друг другу.
Для высокоинтенсивных нестационарных процессов [4] это условие не соблюдается,
т.е. скорость распространения теплоты конечна. При резком изменении теплового потока
на поверхности тела вследствие тепловой инерции перестройка температурного поля и
изменение градиента температуры могут запаздывать во времени по сравнению с
условиями, когда распространение теплоты происходит при
UP
Время запаздывания называется временем релаксации. Связь между скоростью
распространения теплоты и временем релаксации можно выразить следующим
соотношением:
UP
~
a
P
где τP – время релаксации, т.е. равновесия между плотностью теплового потока (q) и
gradt.

27.

Из формулы следует, что время релаксации увеличивается с увеличением тепловой
инерции тел и уменьшается с увеличением скорости распространения теплоты. В этом
случае обобщенное выражение для теплового потока будет иметь вид:
q gradt P
q
а уравнение Фурье соответственно примет вид уравнения гиперболического типа:
t
2t
P 2 a 2t
Условия однозначности – условия, которые однозначно определяют конкретный
.
тип задачи, включают в себя:
1). Геометрические условия, характеризующие форму и размер тела;
2). Физические условия, характеризующие свойства среды и тела;
3). Временные или начальные условия, характеризующие распределение
температуры в начальный момент времени;
4). Граничные условия, которые необходимо задать по всей поверхности тела.
Граничные условия принято подразделять на ряд типов:
1). Граничные условия I-го рода – такие граничные условия, при которых в любой
момент времени задается распределение температуры на поверхности тела:
t C f ( x , y , z , )
Частный случай –
t C const

28.

2). Граничные условия II -го рода – такие граничные условия, при которых в любой
момент времени задается распределение теплового потока на поверхности тела:
q C f ( x, y , z , )
Частный случай –
qC const
Такие
условия
теплообмена
могут
создаваться
при
нагревании
тел
высокотемпературными источниками теплоты, когда теплообмен происходит главным
образом по закону Стефана-Больцмана, если при этом собственная температура тела
существенно меньше температуры излучающей поверхности.
3). Граничные условия III -го рода – такие граничные условия, при которых в любой
момент времени задается температура окружающей среды и закон теплообмена между
поверхностью тела и окружающей средой. В случае нагрева (охлаждения):
q (Tокр Tc )
где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2∙К);
Tокр ,Tс – температура окружающей среды и поверхности (стенки) тела.
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплового воздействия
среды заданной Tокр на поверхность тела. В нестационарных процессах температура
окружающей среды в общем случае изменяется во времени. Уравнение выражает
закон Ньютона. Плотность потока, подводимая (отводимая) за счет теплопроводности
к (от) поверхности тела, определяется по закону Фурье. Таким образом, на основании
закона сохранения энергии с учетом получаем:

29.

t
(Tокр Tc )
n C
Уравнение является аналитическим выражением граничного условия III -го рода,
которое широко применяется при аналитических исследованиях теплопроводности в
твердых телах, обтекаемых потоками жидкости или газа на границе между телом и
жидкостью.
В отличие от λ коэффициент теплоотдачи (теплообмена) не является физической
постоянной, характерной для того или иного вещества. В общем случае он отражает
совместное действие конвекции, теплопроводности и зависит от многих факторов,
например геометрической формы и размеров тела, физических свойств обтекающего
потока, направления и скорости потока, температурных условий.
Из граничных условий III -го рода можно получить граничные условия I и II -го рода.
0
– граничные условия I -го рода,
- граничные условия II -го рода.

30.

4). Граничные условия сопряжения (IY -го рода) соответствуют теплообмену тела с
окружающей средой (конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену
соприкасающихся твердых тел. Задаются они как условие равенства температуры и
плотности теплового потока на поверхности двух соприкасающихся тел:
T1C T2 C выражает условие непрерывности температурного поля
t
t
1 1 2 2
n C
n C
закон сохранения энергии на поверхности двух
соприкасающихся тел (условия идеального теплового
контакта).
Задачи с граничными условиями IY рода ставятся, например, при расчетах
многослойных теплоизоляционных покрытий.

31.

Теплопроводность при стационарном режиме
Теплопроводность однослойной и многослойной плоских стенок
Рассмотрим однородную и изотропную бесконечную стенку толщиной δ с
постоянным коэффициентом теплопроводности λ.
Считаем, что на наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные
температуры t c1 и t c 2
Все изотермические поверхности в толще ограждения – плоскости, параллельные друг
другу и граничным поверхностям. Следовательно, температурное поле может
рассматриваться как одномерное. Такие условия относятся к граничным условиям Iго рода. При этих условиях температура внутри стенки будет изменяться только в
направлении, перпендикулярном поверхности стенки, т.е. в направлении оси Ох.
Начало отсчета координат расположим на поверхности 1 (внутренней) как показано на
рис.
Однородная плоская стенка

32.

В направлении Оy и Оz температура будет неизменной:
2t 2t
t t
2 0
0 и
2
y
z
y z
Таким образом, температура внутри стенки будет функцией только одной координаты
x, и дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:
d 2t
0
2
dx
Из уравнения следует, что:
dt
const C1
dx
Интегрируя уравнение, получаем:
dt C dx C
1
2
или
t C1 x C 2

33.

Откуда следует, что если коэффициент теплопроводности стенки – величина
постоянная, то температура по толщине стенки должна изменяться по линейному
закону. Для того, чтобы определить постоянные, воспользуемся граничными
условиями:
t tC
1
t tC
2
при x=0
при x=δ
Тогда при первом граничном условии:
Из второго следует соответственно
и с учетом выражения для
С2 tC
t C C1 C 2
1
2
С2
tC C1 t C
2
1
Отсюда находим: C1
tC tC
2
1
или
C1
tC tC
1
2
Подставляя полученные выражения, находим закон распределения температуры в
плоской стенке:
x
t C1 x C 2 t C (t C t C )
1
1
2

34.

Для определения плотности теплового потока применим закон Фурье:
q
t
x
t
C1
x
Т.к.
получаем:
q
tC tC
1
2
Откуда можно сделать вывод: количество теплоты, проходящее
через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо
пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, разности
температур
на
поверхностях t С tC
стенки
и обратно пропорционально толщине стенки δ.
1
t
С1
t C t
2
называется температурным напором.
2
называется тепловой проводимостью стенки, Вт/(м2 К)
называется термическим сопротивлением стенки, (м2 К)/Вт.

35.

На практике часто применяют безразмерные величины
t t t C
текущую избыточную температуру
2
максимальную избыточную температуру
t 0 tC t C
1
2
то можно перейти к безразмерной избыточной температуре:
t
t 0
Используя безразмерную координату
уравнение
d 2t
0
2
dx
d 2
0
2
d
x
можно представить следующим образом:

36.

а граничные условия соответственно в виде:
x=0
x=δ
0
1
1 0
Далее рассмотрим теплопроводность многослойной стенки, состоящей из n слоев (δ1,
λ1; . δ2, λ2; δ3, λ3… δn, λn). При условии идеального контакта между слоями
температура на соприкасающихся поверхностях одна и та же.
Многослойная плоская стенка

37.

Тепловой поток через каждый слой
q1
1
tC tC
1
1
2
2
q2 tC tC
2
2
3
…………………….
n
qn
tC tC
n
n
( n 1 )
Исходя из закона сохранения энергии при стационарном режиме, через любую
изотермическую поверхность многослойной стенки проходит одинаковый тепловой
поток:
q1 q2 ... q n

38.

после преобразований получаем:
t
tC q
C1
2
1
1
2
tC tC q
2
2
3
…………………….
n
tCn tC ( n 1) q
n
Сложив почленно левые и правые части уравнений, имеем:
1 2
n
tC tC ( n 1) q ...
n
1 2
1

39.

Отсюда можно найти плотность теплового потока в виде:
tC tC
t C t C ( n 1)
q
n
n
i
1 2
...
1 2
n
i 1 i
1
( n 1 )
1
i
i 1 i
n
называется суммарным
многослойной стенки.
внутренним
термическим
Температура на границе слоев определяется следующим образом:
1
tC tC q
1
2
1
сопротивлением

40.

t C t C q 1 2
1 2
3
1
………………
…….
tC
i
tC q
i 1 i
n
( n 1 )
1
Для многослойной стенки температурная кривая представляет собой ломаную линию
Теплопередача через плоскую стенку

41.

Переход теплоты из одной среды к другой через разделяющую их стенку называется
теплопередачей. Теплопередача состоит из теплоотдачи от более горячей среды
(жидкости) к стенке, теплопроводности в стенке и теплоотдачи от стенки к более
холодной среде (жидкости).
Допустим, что имеется плоская стенка с толщиной δ. Считаем, что известны
температуры окружающей среды
tЖ tЖ
1
2
Коэффициент теплопроводности стенки λ. Предполагаем стационарный режим.
Считаем также заданными коэффициенты теплоотдачи α1 и α2.
Такие условия называется граничными условиями третьего рода. Это позволяет
рассматривать одномерную задачу: изменение температуры стенки и среды будет
происходить только по нормали к стенке. Искомыми величинами будут: температуры на
поверхности стенки и тепловой поток от горячей к холодной жидкости.
Исходя из закона Ньютона, плотность теплового потока от жидкости к стенке
определяется уравнением:
q 1 t Ж tC
1
1
Плотность теплового потока через стенку:
q tС tC
1
2

42.

Тот же поток передается от второй стенки к холодной жидкости посредством
теплоотдачи:
q 2 tС t Ж
2
2
После преобразований:
t Ж tC
1
1
q
1
tС tC q
1
2
tС t Ж
2
2
q
2
Сложив почленно левые и правые части этих уравнений, получим следующее
уравнение:
tЖ tЖ
1
2
1
1
q( )
1 2
tЖ tЖ
q
1
1
1 2
1
и
ли
2

43.

Обозначая знаменатель уравнения через k
1
k
1
1
1 2
q k (t Ж t Ж )
1
2
Величина k называется коэффициентом теплопередачи, Вт/(м2K). Этот
коэффициент определяет интенсивность передачи теплоты от одной среды к другой с
учетом разделяющей стенки.
Часто в расчетах используется понятие суммарного термического сопротивления
теплопередачи. Это величина, обратная коэффициенту теплопередачи
R
1 1
1
k 1 2
Для многослойной стенки с разными величинами толщины δ i и коэффициента
теплопроводности λi термическое сопротивление определяется:
n
1 1
1
R
i
k 1 i 1 i 2

44.

Отсюда плотность теплового потока определяется по формуле
tЖ tЖ
q
n
1
1
i
1 i 1 i 2
1
2
И, соответственно, тепловой поток можно найти следующим образом:
Q q F k t F
где F – площадь поверхности стенки, м2.
Для исследования интенсификации процесса теплопередачи в теплообменниках
проанализируем уравнение. Допустим заданы значения
t
F
Учитывая, что для металлических конструкций отношение
мало, коэффициент теплопередачи можно записать в виде:
k
1
1
1
1 2
2
2
1
1
2
k 1
1
k 2

45.

k
не может быть меньше самого малого значения
то увеличение
2
практически не сказывается на величине коэффициента теплопередачи. Отсюда
следует вывод, что для повышения интенсивности теплопередачи в теплообменниках
необходимо увеличивать площадь поверхности, например за счет оребрения.

46.

Теплопроводность цилиндрических стенок
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке
размерами: r1– внутренний диаметр, r2 – наружный диаметр. Считаем заданными
температуры на поверхностях стенки
tС
1
tC
2
т.е. заданы граничные условия первого рода. Примем постоянной величину
коэффициента теплопроводности материала стенки λ. Необходимо определить
распределение температур в этой стенке и тепловой поток.
Теплопроводность цилиндрической стенки

47.

Уравнение теплопроводности для данной задачи записывается в цилиндрических
координатах
2
2
2
t
1
t
1
t
t
2t 2
2
0
2
2
r
r r r
z
Температура изменяется только в радиальном направлении, следовательно,
температурное поле – одномерное:
t
0
z
2t
0
2
z
Т.к. труба симметрична, то и поле температур будет коаксиально-симметричным:
t
0
2t
0
2
Тогда уравнение запишем в виде:
d 2 t 1 dt
0
2
dr
r dr

48.

Граничные условия имеют
вид:
r r1
t tС
r r2
t tС
1
Введем переменную u
d 2 t du 1 dt u
;
2
dr
dr r dr r
Уравнение
2
dt
dr
d 2 t 1 dt
0
2
dr
r dr
примет вид:
du 1
u 0
dr r
Решая данное обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, получим:
du
dr
u
r
du
1
u
r C1
ln u ln r ln C1
ln u r ln C1
ln u r ln C1
u r C1

49.

u
Учитывая
dt
dr
dt 1
C1
dr r
получаем:
или
dt
C1dr
r
После интегрирования имеем уравнение логарифмической кривой:
t C1
dr
C 2 C1 ln r C 2
r
C1 C 2
определяем из граничных условий.
tС С1 ln r1 C 2
1
r r2
t tС
2
t С C1 ln r2 C 2
2
Решение этих уравнений дает выражения:
t C t C
C1
r
ln 1
r2
1
2
ln r1
C2 tC tC tC
r
ln 1
r2
1
1
2
r r1
t tС
1

50.

Подставляя в уравнение для t, получаем:
r
d
ln
ln
r1
d1
t tC tC tC
t C (t C t C )
r
d
ln 2
ln 2
r1
d1
1
1
2
1
1
2
Подставим в закон Фурье значение градиента температуры:
2 l (t C t C )
dt
Q F
d2
dr
ln
d1
1
2
Плотность теплового потока на внутренней поверхности имеет вид:
2 (tC tC )
Q
Q
q1
d2
F1 d1l
d1 ln
d1
1
2
Соответственно для наружной поверхности
q2
2 (t C t C )
Q
Q
d
F2 d 2 l
d 2 ln 2
d1
1
2

51.

Иногда тепловой поток относят к единице длины:
Q (t C t C )
ql
1 d2
l
ln
2 d1
1
Величина
2
ql
называется линейной плотностью теплового потока
Для случая многослойной цилиндрической стенки тепловой поток определяется
по формуле:
tC tC
Q 2 l n
1 d i 1
ln
di
i 1 i
1
2
Рассмотрим граничные условия третьего рода. Пусть заданы температуры
окружающей среды
tЖ
1
tЖ
Коэффициент теплопроводности стенки λ. Предполагаем стационарный режим.
Считаем также заданными коэффициенты теплоотдачи α 1 и α2. Считаем, что длина
трубы значительно превышает толщину стенки. Тогда потерями теплоты на концах
трубы можно пренебречь.
2

52.

Теплопередача через цилиндрическую стенку
Искомыми величинами будут: температуры на поверхности стенки и тепловой
поток от горячей к холодной жидкости. Т.к. количество теплоты, проходящее через
стенку и отдаваемое холодной жидкости, одно и то же, то исходя из закона Ньютона,
плотность теплового потока от жидкости к стенке определяется уравнением:
q1 1 d1 t Ж t C
1
1
Плотность теплового потока через стенку:
tC tC
ql
1
d2
ln
2
d1
1
2

53.

Тот же поток передается от второй стенки к холодной жидкости посредством
теплоотдачи:
ql 2 d 2 tС t Ж
2
2
Или:
tЖ
ql 1
tC
1 d1
1
1
tС tC
1
ql 1
d2
ln
2 d1
2
tС t Ж
2
2
ql 1
2d2
Суммируя уравнения, получим температурный напор:
tЖ tЖ
1
2
Т
огда:
ql 1
1 d2
1
(
ln
)
1 d 1 2 d 1 2 d 2

54.

ql
(t Ж t Ж )
d
1
1
1
ln 2
1d1 2 d1 2 d 2
1
2
Введем величину линейного коэффициента теплопередачи:
1
kl
1
1 d2
1
ln
1 d 1 2 d 1 2 d 2
ql k l (t Ж t Ж )
1
2
Линейное термическое сопротивление теплопередачи определяется по формуле:
1
1
1 d2
1
Rl
ln
k l 1 d1 2 d1 2 d 2
Для многослойной стенки с разными величинами толщины δ i и коэффициента
теплопроводности λi плотность теплового потока и линейное термическое
сопротивление определяется:
ql
(t Ж t Ж )
n
d
1
1
1
ln i 1
1d1 i 1 2 i
di 2d2
1
2

55.

n
d i 1
1
1
1
1
R– l
ln
k l 1 d1 i 1 2 i
di 2d2
Для выбора рациональной толщины изоляции трубы рассмотрим влияние толщины
изоляции на величину теплового потока.
Многослойная цилиндрическая стенка
(труба с тепловой изоляцией)
Запишем уравнение для трубы с изоляцией:
1
1 d2 1 d3
1
Rl
ln
ln
1 d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d 3
1
два первых члена постоянны
1 d1
Величина третьего члена
а четвертый
1
2d3
d
1
ln 2
2 1 d1
d
1
ln 3
2 2 d 2
увеличивается при увеличении
Уменьшается при увеличении
d3
d3

56.

Исследуем
Rl
как функцию d 3 , для чего возьмем производную
Rl по d 3
и приравняем ее к
нулю:
d ( Rl ) 1 1
1
(
) 0
d (d 3 ) d 3 2 2 2 d 3
2 2 2 d 3
и критический внешний диаметр трубы с изоляцией
соответствующий минимальному сопротивлению теплопередачи, определяется
2 2
из выражения:
кр
d3
2
Критическая толщина тепловой
изоляции трубы
d 3 d 3кр
значение второй производной функции Rl по
d3
будет минимальным. Таким образом, для эффективной работы изоляции должно быть
выполнено условие: 1
d3
1
1
2d2
2 2
ln
d2
2d3

57.

Теплопроводность тел сложной формы
Пусть имеется полый шар с радиусами r1
r2
постоянным коэффициентом теплопроводности
Теплопроводность полого
шара
и с заданными температурами поверхностей
t C tC 2 (граничные условия первого рода).
1
Поскольку в данном случае температура изменяется только в направлении радиуса
шара, то уравнение теплопроводности запишем в сферических координатах с учетом
осевой симметрии
t
t
:
d 2 t 2 dt
t 2
0
dr
r dr
2
Граничные условия:
r r1
t tC
1
r r2
t tC 2

58.

dt
u
dr
Обозначим
du 2
u 0
dr r
или
тогда уравнение
du
2
u
dr
r
2
d
t 2 dt
2t 2
0 примет вид:
dr
r dr
Интегрируя, получаем:
du
dr
u 2 r C0
или
ln u 2 ln r C0
или
ln(u r ) ln C1
или
ln u ln r 2 C0
Обозначим
C0 lnC1
Отсюда u C1
2
r
C1 dr
dt r 2 C2
или
тогда
dt C1
2
dr r
2
u r 2 C1
Интегрируя второй раз, имеем:
C
dr
или t C1 2 C 2 1 C 2 или
r
r
C1
t C2
r

59.

Из граничных
находим:
условий
r r1
t tC
tC С 2
r r2
t tC 2
tC С2
1
Тогда
интегрирования:
С1
tC tC
1
1
2
С1
r1
С1
r2
постоянные
С2 tC
2
1 1
r1 r2
1
tC tC
1
2
1 1
r1 r2
1
r1
Имея выражения для постоянных интегрирования, получаем гиперболическое
уравнение для температурного напора в шаровой стенке:
tC tC
1 1
t tC
( )
1 1 r1 r
r1 r2
1
2
1
Используя закон Фурье, определим количество теплоты, проходящее через шаровую
поверхность
в
единицу
времени:
F

60.

dt
2 dt
Q F 4 r
dr
dr
Подставляя в это уравнение значение градиента
температуры,
получаем:
Q 4 (t C t C )
1
2
r1r2
r2 r1
Для многослойной стенки:
tC tC ( n 1)
Q
1 n ri 1 ri
4 i 1 i ri ri 1
1
При граничных условиях третьего рода кроме
r1 и r2
известны температуры окружающей среды
коэффициенты
1 2
tЖ tЖ
1
2
Причем все вышеуказанные величины являются постоянными. Поскольку процесс
стационарный, то тепловой поток определим следующим образом, переходя от
радиусов к соответствующим диаметрам:

61.

Q 1 d12 t Ж t C
1
1
2
Q
(t C t C )
1 1
d1 d 2
1
Q 2 d 22 t С t Ж
2
2
2
Отсюда следует, что тепловой поток:
(t Ж t Ж )
Q
k ш t
1
1 1 1
1
( )
2
1d1 2 d1 d 2 2 d 22
1
kш
1
Rш
kш
2
коэффициент
стенки.
теплопередачи
шаровой
термическое сопротивление шаровой стенки:

62.

1
1 1 1
1
Rш
( ) . 2
2
1 d1 2 d1 d 2 2 d 2
Анализируя выражение , можно сделать вывод, что, если
значение
мало, то термическое сопротивление можно уменьшить путем увеличения
соответствующей поверхности
При использовании метода оребрения необходимо иметь в виду следующее
правило:
1 2 оребрять поверхность со стороны 1 до достижения равенства
1 F1 2 F2
Дальнейшее увеличение малоэффективно.
Ребра в поперечном сечении могут иметь разный профиль. Это может быть
прямоугольник, треугольник, круг и т.д.
Рассмотрим задачу о теплопроводности в ребре постоянного поперечного сечения
Пусть f
u
– площадь поперечного сечения ребра,
- его периметр. Ребро (стержень) находится в среде с t const t ж
коэффициент теплоотдачи от поверхности к среде const

63.

Принимаем, что размеры поперечного сечения стержня существенно меньше его
длины, поэтому изменением температуры в поперечном сечении пренебрегаем и решаем
одномерную задачу изменения температуры только вдоль оси стержня.
Введем избыточную температуру t t
t – текущая температура стержня. Если известна температура основания стержня t1
т
1 t1 t ж
о
от основания выделим элемент
На расстоянии x
dx
.
Уравнение тепловогостержня
баланса для выделенного
элемент:
ж
Qx Qx dx dQ
Перенос теплоты
через стержень

64.

Из
Фурье:
закона
Qx
Qx dx
d
f
dx
d
d
d
d
2
( d ) f (
dx) f f
f 2 dx
dx
dx
dx
dx
x
Отсюда тепловой поток, отдаваемый элементом в окружающую
среду:
Qx Qx dx
2
f 2 dx
x
Согласно закону Ньютона dQ р (t t ж )dF п
dQ р u dx
dF п dx u
тогда
2
2
d
рu
2
Приравнивая, получаем f
или
dx
u
dx
m
р
2
2
x
dx
f
рu
р , u, , f постоянные, тогда и m const
m
f
Найдем решение уравнения в
виде:
искомая
k постоянная.
e kx

65.

Дифференцируя
,
получаем:
d 2
d
2 kx
kx
k
e
ke и
2
dx
dx 2
d рu
Подстав
2
m
2
ляя в
dx
f
k 2 e kx m 2 e kx 0
имеем:
k 2 m2 0
или
и
k1, 2 m
Общее решение будет иметь
вид:
C1 1 C 2 2 C1e k x C 2 e k x
1
2
или
C1e mx C 2 e mx
Для определения значений C1 и C 2 рассмотрим ребро бесконечной длины.
В начальном сечении ребра при x 0 1
При
x 0
Подставляя граничные условия в уравнение ,
xимеем:
0
1 C1 C2
mx
0
C
e
x C1e 0
1
Это возможно только при
1e mx
C1 0 отсюда
C 2 1
и окончательно получаем:

66.

Анализ формул показывает, что при оребрении необходимо выбирать материал с
большим значением
рu
m
f
1e mx
более эффективны.
Ребра , имеющие профиль с меньшими u / f
Определим количество теплоты, отданное стержнем в окружающую среду, которое
равно количеству теплоты, проходящему через основание ребра:
d
) x 0 f
dx
d
Поскольку
Q (
(
dx
) x 0 me mx 1 x 0 m 1
полу
чаем:
Q fm 1 1 p uf
Для ребра конечной длины дифференциальное уравнение и его решение имеют вид
C1e mx C 2 e mx , но иными будут граничные условия:
при x 0
l
d
d1
(
)
l
при x l (
) x l l l или
x l
dx
dx
l l
ребра.
- температура и коэффициент теплоотдачи с торца

67.

Учитывая равенство количества теплоты, подведенного к торцу за счет
теплопроводности и отведенного от торца за счет теплоотдачи, используем граничные
условия:
при
при
x 0
1 C1e mx C 2
x l (
mx
C1 C 2
d
) x l C1me ml C 2 me ml l l
dx
l C1e ml C 2
ml
совместно эти уравнения относительно
C1
1 (m
l
)
e (m l ) m l
2 ml
C 2 1
Подставляя эти выражения в
получаем:
C1e mx C 2 e mx
C1
и C2
, получаем:
e 2 ml (m
e 2 ml (m
l
)
l
) m l
C1e mx C 2 e mx
,
l
l
mxl
mx 2 ml
e (m
e e (m )
1
l
l
l
l
2 ml
2 ml
e (m ) m
e (m ) m

68.

После преобразований имеем:
l m(l x )
m(l x )
mn ( l x )
m(l x )
e
) (e
e
)
m( e
1
m(e ml e ml ) l (e ml e ml )
Учитывая, что
e e
2
x
x
ch( x)
– гиперболический косинус, а
- гиперболический синус, уравнение приведем к
виду:
l
ch(m(l x))
sh(m(l x))
m
1
l
ch(ml )
sh(ml )
m
Если
l
на конце ребра малая величина, а коэффициент
e x e x
sh( x)
2
достаточно большой, то можно пренебречь теплоотдачей с конца ребра, чем
практически всегда пользуются в инженерной практике. Тогда уравнение примет вид:
1
ch(m(l x))
ch(ml )

69.

Определим
температуры:
(
градиент
d
sh(ml )
) x 0 1 m
1 mth(ml )
dx
ch(ml )
где th(ml) – гиперболический тангенс.
Учитывая, что тепловой поток, отдаваемый поверхностью ребра в среду, равен
потоку, подводимому к основанию ребра
d
Q р f ( ) x 0
dx
Подставляя значение m
d
Q ( ) x 0 f
dx
То
рu
f
, получаем:
Q р fm 1th( ml )
Q р 1 р u f th(ml )
Если длина ребра велика, то ch(ml ) , а th( ml ) 0
и
Q 1 р u f
:
,
тогда:
x l 0
Рассмотрим тепловой поток через плоскую ребристую стенку безграничных размеров,
причем стенка имеет оребрение со стороны меньшего коэффициента теплоотдачи (рис.).
В данном случае тепловой поток будет не только через ребра, но и через стенку.
Принимаем заданными значениями коэффициенты теплоотдачи на неоребренной
поверхности 1 , гладкой части оребренной поверхности с и на поверхности ребер
р , геометрические размеры ребер и температуры теплоносителей t Ж1 и t Ж
2

70.

Учитывая, что для ребра
u 2b , а площадь
b
, тогда периметр поперечного сечения ребра
f b
m Р u /( f ) 2 р /( )
Подставив выражение для
В
Q р fm 1th( ml ), умножив и разделив на 2l
получим:
Q р 1 р 2b b
Теплопередача через
ребристую стенку
m
2l
l
th(
2l
l 2 р
th
2 р
) р 1 Fр
l 2 р
р / Bi - безразмерный комплекс, число Био.
Число Био представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления
к внешнему сопротивлен