Теплопроводность. Основные положения теории теплопроводности. (Тема 4. Лекции 14,15)

1. Тема 4. Теплопроводность

Лекции 14, 15

2. § 1. Основные положения теории теплопроводности

Когда не учитывают зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры, (или, что
то же самое, используют среднее для данного
температурного интервала значение ), то говорят
о линейной теории теплопроводности.
Основной задачей теории теплопроводности является
определение распределения температуры в объеме тела,
поскольку согласно постулату Фурье, величина
и направление теплового потока однозначно
определяется температурным полем. Распределение
температуры можно найти путем решения уравнения
теплопроводности.
2

3.

В § 3 было получено дифференциальное уравнение
энергии для несжимаемой жидкости:
dT
a 2 T .
dt
Поскольку для твердого тела конвективная производная
температуры по времени равна нулю, субстанциальная
производная сводится к локальной:
T
a 2 T, –
t
дифференциальное уравнение теплопроводности
в декартовых координатах при отсутствии в объеме
тела внутренних источников теплоты
и при постоянном .
3

4.

Наиболее общая форма уравнения теплопроводности
для изотропного тела:
T div(λ gradT) q v
,–
t
ρ c
ρ c
дифференциальное уравнение теплопроводности
в декартовых координатах при наличии
внутренних источников теплоты и зависящем от
температуры ,
Здесь с – объемная теплоемкость материала, Дж/(м3 К);
qV – мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3.
Линейное дифференциальное уравнение
теплопроводности в цилиндрических координатах:
2 Т 2 Т 1 T 1 2 T
T
a
.
2
2
2
t
x2
r dr r d
r
4

5.

Монетка для гадания
от Тамары Хенсик
(Tamara Hensick)
со сторонами «risk it
/ play it safe»
(рискнуть /
придерживаться
безопасного пути)
Чтобы из множества решений выбрать одно,
соответствующее единичному явлению данного класса,
необходимо задать условия однозначности:
• геометрические условия, определяющие форму
и размеры тела;
• физические параметры материала , , с;
• начальные условия, т.е. распределение температуры
в объеме тела в начальный момент времени;
• граничные условия, характеризующие тепловое
взаимодействие окружающей среды
с поверхностью тела.
Последние два типа условий объединяются термином
«краевые условия».
5

6.

Граничные условия (г.у.) можно задать разными
способами:
А. Г.у. I рода TW = TW (x, y, z, t), т.е. задается
распределение температуры по всей поверхности тела
и изменение его во времени.
T
λ
–
Б. Г.у. II рода qW = qW (x, y, z, t) =
n
известна плотность теплового потока на поверхности
и ее изменение во времени.
В. При г.у. III рода задается температура окружающей
среды или внешнего источника (стока) теплоты
T0 (x, y, z, t) и закон теплообмена между средой
и поверхностью тела. То есть задается связь
между известной температурой окружающей среды
и неизвестной температурой поверхности
тела (градиентом температуры на поверхности).
6

7. § 2. Стационарная теплопроводность в неограниченной пластине (тепловые потери через стены печей)

Стационарное линейное дифференциальное уравнение
теплопроводности в декартовых координатах при
отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид:
2 Т 0.
Для задач стационарной теплопроводности начальные
условия не имеют смысла, задают лишь
граничные условия.
Рассмотрим бесконечную пластину, имеющую конечную
толщину вдоль оси х. Уравнение принимает вид:
d 2T
0.
2
dx
7

8.

Интегрируя один раз, получим:
dT
C1.
dx
Вторично интегрируя, получим:
Т(х) = С1 х + С2 .
А. Г.у. I рода.
Расположив начало координат на одной из поверхностей,
имеем:
Т(0) = Т1, Т( ) = Т2 .
Следовательно,
Т 2 Т1
С2 = Т1,
.С1
δ
Т1 Т 2
Т(х) Т1
х.
δ
8

9.

Т Т
dT λ
2
q λ
Т Т 1
2
δ ,
dx δ 1
λ
δ
где λ R ВН – внутреннее тепловое сопротивление.
Б. Г.у. II рода.
qW(0) = qW ( ) = q = const.
q
dT
.
dx
λ
Константа С2 может принимать любые значения.
Для нахождения С2 необходимо задать ТW(0) (ТW ( ))
либо Т0 и с любой стороны.
С1
9

10.

В. Г.у. III рода.
Рассмотрим случай конвективной теплоотдачи:
T0
1
q1
T
T1
q2
T1
T2
T2 q3
2
T0
0
Дано: Т0 , Т 0 ,
1, 2.
x
Ввиду стационарности процесса q1 = q2 = q3 = q .
1
T
T
q,
0 1
α
q1 α1 T0 T1 ,
1
λ
δ
q 2 T1 T2 , T1 T2 q,
δ
λ
q3 α 2 T2 T0 . T T 1 q .
0
2
α
2
10

11.

Суммируя, получим:
1 δ
1
Т 0 Т 0 q
α1 λ α 2
1
q 1 δ 1 T0 T0 k T0 T0 ,
α1 λ α 2
где k – коэффициент теплопередачи.
1
R Н – наружное тепловое
Величина
α
сопротивление.
Для многослойной стенки
1
k
.
n δ
1
1
i
α1 i 1 λ α 2
i
11

12.

Многослойные теплоизоляционные системы в строительстве:
А – утеплитель – внутри ограждающей конструкции (ISOVER);
Б – система «мокрого» типа («Опытный завод сухих смесей»);
В – вентилируемый фасад (PAROC).
12

13. § 3. Стационарная теплопроводность в цилиндрической стенке (изоляция трубопроводов)

Для цилиндрической стенки, неограниченно
простирающейся вдоль оси х, в осесимметричном
случае, (т.е. при неизменных по граничным
поверхностям стенки условиям)
уравнение теплопроводности принимает вид:
d 2T 1 dT
0.
2
r dr
dr
dT
Используя подстановку dr u, получим уравнение
с разделяющимися переменными:
du u
du dr
0
0.
dr r
u
r
13

14.

Интегрируя, имеем:
ln u + ln r = ln C1 .
После потенцирования получаем:
u r = C1 .
Переходя к переменной Т и выполняя разделение
переменных, имеем уравнение:
dT
r C1 dT C1 dr ,
r
dr
интегрируя которое, находим искомое решение:
Т(r) = С1 ln r + С2 .
C
dT
q λ
λ 1 .
dr
r
14

15.

А. Г.у. I рода.
T(r1) = T1, T(r2) = T2.
Т1 = С1 ln r1 + С2 , Т2 = С1 ln r2 + С2 .
T1 T2
Т1 – Т2 = С1 (ln r1 – ln r2) С1
r1 .
ln
r2
(T1 T2 ) ln r1
.
С2 T1
r1
ln
r2
(T1 T2 )
r
T(r) T1
ln .
r2
r1
ln
r1
15

16.

Плотность теплового потока, проходящего через
любую цилиндрическую поверхность внутри стенки
с текущим радиусом r:
dT λ (T1 T2 )
q λ
,
r2
dr
r ln
r1
откуда тепловой поток, проходящий через трубу
длиной L, получается постоянным по толщине
и равным, Вт:
T1 T2
Q 2 π r L q 2 π λ L
r2 .
ln
r1
16

17.

Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую
стенку единичной длины, называется линейной
плотностью теплового потока, Вт/м:
T1 T2
T1 T2
Q 2 π λ
π
,
r2
RL ВН
ln
r1
где RL ВН – внутреннее линейное тепловое сопротивление
цилиндрической стенки.
r2
ln
r1
R LВ Н
.
2 λ
Б. Г.у. II рода.
Как и для плоской стенки, задача не имеет единственного
решения.
17

18.

В. Г.у. III рода. T
T0
1
T1
T2 T
0
2
0
Q L 1 α1 T0 T1 2 π r1,
T T
2
Q 2 π λ 1
,
L2
r
ln 2 r
1
Q L 3 α 2 T2 T 2 π r2 .
0
r1
r2
r
Q
L1
T T
,
0
1
2 π r α
1 1
r
Q ln 2 r
L2
1
,
T1 T2
2 π λ
Q
L3
T T
.
2
0
2 π r α
2
2
18

19.

Для сохранения стационарного режима необходимо, чтобы
QL 1 = QL 2 = QL 3 = QL .
Суммируя уравнения системы, получим:
r
ln 2 r
Q 1
1
1
L
T0 T0
2 r α
2 λ
2 r α
1
1
2
2
QL
1
r2
ln r
1
1
1
2 r1 α1
2 r2 α 2
2 λ
π T T k L π T T .
0
0
0
0
где kL – линейный коэффициент теплопередачи.
19

20.

Металлопластиковые трубы ALuPEX Wavin состоят
из 5 слоев алюминиевой фольги и полиэтилена,
которые соединены клеем. Сварка обеспечивает
монолитность трубы и минимальное температурное
удлинение,
делает ее газонепроницаемой.
При теплопередаче через многослойную стенку
где R LН
1
kL
,
ri 1
ln r
n
1
1
i
2 r1 α1 i 1 2 λi
2 r2 α 2
1
линейное тепловое
2 r α – наружное
сопротивление.
Зная Т0 , Т0 и определив QL, можно найти Т1, Т2 и Т(r).
20

21.

Рассмотрим влияние наружного диаметра однородной
цилиндрической стенки на ее суммарное линейное
тепловое сопротивление.
R LΣ
1
d1 α1
d2
ln
d1
2 λ
1 .
d 2 α2
Считаем, что d1 = const, тогда при увеличении наружного
диаметра d2 увеличивается внутреннее линейное
тепловое сопротивление
d2
ln d
1 ,
R L ВН
2 λ
а наружное
1
RL Н
d2 α2 –
уменьшается.
21

22.

RL
RL
RLВН
RLН
d1
dКР
d2
При d2 = dКР линейная плотность теплового потока
достигает максимума.
Для нахождения dКР продифференцируем по d2 сумму двух
последних слагаемых в уравнении для RLΣ
и
приравняем производную нулю:
2 λ
l
1
0 d КР
.
2
2 λ d КР α d
α
2 КР
2
22