Проблемы энерго- и ресурсосбережения
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
.
.
.
.
.
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальное уравнение энергии
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
Уравнение сплошности
Вопросы к экзамену
718.00K
Category: physicsphysics

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения

Дифференциальные уравнения
конвективного теплообмена

2. Дифференциальное уравнение энергии

Выведем дифференциальное уравнение
температурного поля в движущейся
жидкости.
Допущения:
• Жидкость однородна и изотропна;
• Физические параметры постоянны;
• Энергия деформации мала в сравнении с
изменением внутренней энергии.

3. Дифференциальное уравнение энергии

dQz dz
z
dQx
dz
dQy dy
dQy
0
x
dQx dx dy
dQz
dx
y

4. Дифференциальное уравнение энергии

Формально дифференциальное уравнение энергии будет таким
же как и при отсутствии конвекции:
h
divq qv ,
где
qx q y qz
divq
x y z
(1)

5. Дифференциальное уравнение энергии

Плотность теплового потока при конвективном
теплообмене:
q qтпр qконв
t wh

6. Дифференциальное уравнение энергии

Отсюда проекции плотности теплового потока
на координатные оси:
t
qx wx h;
x
t
q y wy h;
y
t
qz wz h
z

7. Дифференциальное уравнение энергии

Тогда уравнение (1) примет вид:
2t 2t 2t
h
( 2 2 2 )
x y z
h
h
h
(wx wy wz )
z
y
x
wx wy wz
) qv
h(
z
x y
(2)

8. Дифференциальное уравнение энергии

Для несжимаемых жидкостей:
wx wy wz
divw
0
x y
z

9. .

Дифференциальное
уравнение энергии
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
h
h
h
h
wx wy wz
x
y
z
t t t qv
( 2 2 2)
x y z
2
.
2
2
(3)

10. .

Дифференциальное
уравнение энергии
.
Уравнение (3) также можно представить в
виде:
t
t
t
t
wx wy wz
x
y
z
t t t qv
a( 2 2 2 )
c
x y z
2
.
2
2
(4)

11. .

Дифференциальное
уравнение энергии
.
Левая часть уравнения (4) есть полная
производная от температуры по времени:
dt t
t
t
t
wx wy wz
d
x
y
z
t t dx t dy t dz
x d y d z d
.

12. .

Дифференциальное
уравнение энергии
.
Член
t
характеризует
изменение температуры в
отдельных точках жидкости
(локальное изменение
. температуры)

13. .

Дифференциальное
уравнение энергии
.
Член
t
t
t
wx wy wz
x
y
z
характеризует изменение температуры при
переходе от точки к точке (конвективное
.
изменение температуры)

14. Дифференциальное уравнение энергии

Обозначим:
2t
t t t
2
2
2
x y z
2
2
2

15. Дифференциальное уравнение энергии

Тогда уравнение энергии можно записать в
виде:
q
dt
2
v
a t
d
c
(5)

16. Дифференциальное уравнение энергии

При
wx wy wz 0
уравнение энергии переходит в
уравнение теплопроводности

17. Дифференциальные уравнения движения

Температурное поле в движущейся
жидкости зависит от составляющих
скорости. Для того, чтобы система
уравнений была замкнутой,
необходимо добавить уравнения,
описывающие изменение скорости во
времени и в пространстве
(дифференциальные уравнения
движения)

18. Дифференциальные уравнения движения

Дадим упрощенный вывод
дифференциального уравнения
движения для случая одномерного
течения несжимаемой жидкости. Затем для
трехмерного движения уравнение приведем
без вывода.
Выделим в потоке вязкой жидкости
элементарный объем с размерами ребер
dx, dy,dz. Скорость в потоке изменяется
только в направлении оси y. Закон
изменения скорости произвольный.

19. Дифференциальные уравнения движения

.

20. Дифференциальные уравнения движения

Вывод основан на втором законе Ньютона: сила равна массе,
умноженной на ускорение.
Силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости,
можно разделить на массовые (объемные) и
поверхностные. Массовые силы характеризуются вектором
F, м2/с, значение которого равно отношению силы,
действующей на данную частицу, к массе этой частицы.
Если учитывается только сила тяжести, то F= g, где g—
ускорение свободного падения. В дальнейшем будем
учитывать только силу тяжести. Значение поверхностных сил
равно отношению силы, действующей на элемент
поверхности, к величине площади этого элемента.
К поверхностным силам относятся силы трения и силы
давления.

21. Дифференциальные уравнения движения

Следовательно, на рассматриваемый
элемент жидкости действуют три
силы:
• Сила тяжести;
• Равнодействующая сил давления;
• Равнодействующая сил трения.

22. Дифференциальные уравнения движения

Найдем проекции этих сил на ось Ox.
Сила тяжести
df1 приложена в центре
тяжести элемента. Ее проекция на ось Ox
равна:
df1 g x dv,
Где g x - проекция ускорения свободного
падения

23. Дифференциальные уравнения движения

Сила давления на верхнюю грань:
pdydx
Сила давления на нижнюю грань:
dp
( p dx)dydz
dx

24. Дифференциальные уравнения движения

Равнодействующая сил давления равна их
алгебраической сумме:
dp
df 2 dv
dx

25. Дифференциальные уравнения движения

С учетом того, что скорость изменяется
только в направлении оси Oy, то сила
трения возникает на боковых гранях
элемента жидкости. Равнодействующая сил
трения равна:
ds
df3 dv
dy

26. Дифференциальные уравнения движения

С учетом того, что
Получим:
dwx
s
dy
ds
df3 dv
dy

27. Дифференциальные уравнения движения

Проекция на ось Ox равнодействующей всех
сил, приложенных к объему:
df df1 df 2 df3
2
dp
d wx
( gx
)dv
2
dx
dy

28. Дифференциальные уравнения движения

С другой стороны по второму закону:
dwx
df
dv
d

29. Дифференциальные уравнения движения

Приравняв правые части последних
уравнений, получим:
2
dwx
dp
d wx
gx
2
d
dx
dy

30. Дифференциальные уравнения движения

В случае трехмерного движения
несжимаемой жидкости с постоянными
физическими параметрами поле скоростей
опишется тремя уравнениями движения в
проекциях на три оси координат. Эти
уравнения называют уравнениями НавьеСтокса

31. Дифференциальные уравнения движения

Для оси Ox:
dwx
d
p
wx wx wx
gx
( 2
)
2
2
x
x
y
z
2
2
2

32. Дифференциальные уравнения движения

Для оси Oy:
dwy
d
wy wy wy
p
gy
( 2
)
2
2
y
x
y
z
2
2
2

33. Дифференциальные уравнения движения

Для оси Oz:
dwz
d
p
wz wz wz
gz
( 2
)
2
2
z
x
y
z
2
2
2

34. Дифференциальные уравнения движения

На основании понятия о полной производной
члены, стоящие в правой части уравнений
можно записать так:
Для осиOx:
dwx wx
wx
wx
wx
wx
wy
wz
d
x
y
z

35. Дифференциальные уравнения движения

Для оси Oy:
dwy
d
wy
wx
wy
x
wy
wy
y
wz
wy
z

36. Дифференциальные уравнения движения

Для оси Oz:
dwz wz
wz
wz
wz
wx
wy
wz
d
x
y
z

37. Дифференциальные уравнения движения

Уравнения Навье-Стокса в векторной форме:
dw
2
g p w
d

38. Уравнение сплошности

Ранее было установлено, что для
несжимаемых жидкостей:
wx wy wz
divw
0
x
y
z

39. Вопросы к экзамену

1.
2.
Дифференциальные уравнения
конвективного теплообмена
(уравнения энергии, сплошности).
Дифференциальные уравнения
конвективного теплообмена
(уравнения движения Навье-Стокса).
English     Русский Rules