Тепломассообмен 10
К дифференциальному уравнению теплопроводности в жидкости
Уравнение теплового баланса
Ряд Тейлора
Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией
Теплота, подведенная к элементарному объему
Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа
Развернутое выражение дифференциального уравнения энергии
Дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа
Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса
Продольное обтекание жидкостью вертикальной пластины
Проекции дифференциального уравнения движения на оси координат
Составляющие проекций уравнения движения на оси координат
Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена
Условия однозначности
Общие решения задачи конвективного теплообмена
276.50K
Category: physicsphysics

Тепломассообмен. Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. Условия однозначности

1. Тепломассообмен 10

● Система дифференциальных
уравнений конвективного
теплообмена
● Условия однозначности

2. К дифференциальному уравнению теплопроводности в жидкости

z
dQz dz
dQx
wx
dz
dQ y
wy
0
x
dQx dx
dy
dx
dQz
wz
dQy dy
y

3. Уравнение теплового баланса

В математической физике изучают явление в бесконечно
малом объеме dv за бесконечно малый промежуток времени
d , что позволяет пренебречь величинами 2 порядка малости.
Принимаются допущения: тело однородно и изотропно;
физические свойства тела в малом объеме dv постоянны;
внутренние источники теплоты отсутствуют.
По аналогии с дифференциальным уравнением теплопроводности в твердом теле, которое было выведено ранее, можно
получить дифференциальное уравнение теплопроводности
в жидкости (уравнение энергии Фурье – Кирхгофа).
Уравнение теплового баланса:
Q Q1,
(1)
где Q – изменение внутренней энергии объема dv за время d :

4. Ряд Тейлора

Q dv( h )d
Q1
(2)
- изменение внутренней энергии
объема dv за время
теплота, подведенная
конвекцией и теплопроводностью
к объему dv за время
d
.
Теплота на входе вдоль оси х:
Теплота на выходе вдоль оси х:
Если функция
d ;
Q1 Qx1 Qy1 Qz1,
(3)
Qx1 dQx dQx dx ,
(4)
dQx qx dydzd ,
dQx dx qx dx dydzd .
(5)
(6)
qx dx в интервале dx непрерывна и
дифференцируема, то ее можно разложить в ряд Тейлора:
qx dx 2 qx dx 2
qx dx qx
2
...
x 1! x 2!
2
2
q
dx
x
где
0, как величина 2 порядка малости.
2
x 2!
(7)

5. Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией

Подставляя (5), (6), (7) в (4), имеем теплоту, подведенную
вдоль оси х к бесконечно малому объему dv за бесконечно
малый промежуток времени d :
qx
qx
qx
Qx1 (qx qx
dx)dydzd
dxdydzd
dvd .
x
x
x
q y
Qy1 dQy dQy dy
dvd ,
Аналогично
y
вдоль осей y и z:
q
Qz1 dQz dQz dz z dvd .
z
После подстановки (2), (3), (8), (9), (10) в (1) получаем:
qx q y qz
h
dv( )d (
)dvd ,
x y z
(8)
(9)
(10)

6. Теплота, подведенная к элементарному объему

После сокращения на dv,
где
d
имеем:
qx q y qz
divq
.
x y z
(
h
) divq,
Тогда теплота, подведенная к объему dv за время
конвекцией и теплопроводностью:
где
wx
в единицу времени, кг/(м2с).
Аналогично вдоль оси y
и вдоль оси z:
qy wy h t
y
qz wz h t
z
.
d
t
qx wx h ,
x
расход массы через единицу сечения
;
(11)
(12)

7. Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа

qx
h wx
2t
Возьмем производные
(wx h
) 2 ;
x
x
x
x
по координатам х, y, z
2
q y
wy
h
t
от тепловых потоков:
(wy h
) 2 ;
y
y
y
y
qz
h wz
2t
(wz h
) 2 .
z
z
z
z
(13)
(14)
(15)
После подстановки (13), (14), (15) в (11) получим общий
вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа:
h
2t 2t 2t
h
h
h
( 2 2 2 ) (wx wy wz )
x
y
z
x y z
w w w
h( x y z ).
x
y
z
(16)

8. Развернутое выражение дифференциального уравнения энергии

В уравнении (16) выражение
wx wy wz
0
x
y
z
(17)
представляет собой дифференциальное уравнение
сплошности (неразрывности) течения жидкости.
Введем также обозначение
оператора Лапласа:
2t 2t 2t
2t
.
x 2 y 2 z 2
(18)
С учетом выражений (17) и (18) уравнение энергии
примет вид:
(
h
h
h
h
wx wy wz ) 2t,
x
y
z
(19)
где энтальпия h = cpt, тогда развернутое уравнение энергии:
t
t
t
t
c p ( wx wy wz ) 2t.
x
y
z
(20)

9. Дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа

В уравнении (20) выражение в скобках представляет собой
полную (субстанциональную) производную от температуры
t
t
t
t Dt
wx wy wz ,
x
y
z d
где проекции скоростей
x
y
z
wx ; wy ; wz .
жидкости на оси координат:
После деления уравнения (20) на c ,
p
по времени и координатам:
с учетом (21) и обозначения коэффициента
температуропроводности жидкости:
получаем окончательное выражение
дифференциального уравнения энергии:
(21)
a
cp
Dt
a 2t.
d
(22)

10. Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса

Частным случаем дифференциального уравнения энергии
(22) для твердого тела (wx wy wz 0) является
t
дифференциальное уравнение теплопроводности, которое было выведено ранее:
a 2t
.
Вывод дифференциального уравнения движения жидкости
Навье-Стокса сложен, поэтому
оно приводится без вывода:
где оператор Гамильтона
для давления:
Dw
1
2
g p w,
d
p
p p p
.
x y z
Стрелки в уравнении (1) отмечают векторные величины.
(1)

11. Продольное обтекание жидкостью вертикальной пластины

Невозмущенная
жидкость
w0
0
y
Эпюра скоростей
w
Q
w0
0
Эпюра температур
tc
c
t
k
x

12. Проекции дифференциального уравнения движения на оси координат

При продольном обтекании вертикальной пластины, когда ось
«х» направлена вниз, проекции ускорения на оси координат:
g y gz 0
падения.
, тогда
gx g 9,81м / с2
- ускорение свободного
Dwx
1 p
g
2 wx ;
уравнения Навье-Стокса (1) d
x
на оси координат:
Dwy
1 p
2 wy ;
d
y
В этом случае проекции
Dwz
1 p
2 wz .
d
z
(2)
(3)
(4)

13. Составляющие проекций уравнения движения на оси координат

В левых частях уравнений (2), (3), (4) находятся полные
(субстанциональные) производные от скоростей по времени
Dwx wx
wx
wx
wx
и координатам:
w
w
w
;
d
Dwy
wy
x
wx
x
wy
y
wy
y
wy
z
wz
z
wy
;
d
x
y
z
Dwz wz
w
w
w
wx z wy z wz z ,
d
x
y
z
2
2
2
w
w
wx
x
x
2 wx
;
2
2
2
x
y
z
Введем обозначения
операторов Лапласа:
2 wy
2 wy
2 wy
2 wy
2
2
2
w
w
wz
z
z
2 2 2 ; 2 w
.
z
2
2
2
x
y
z
x
y
z

14. Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности):
wx wy wz
0,
x
y
z
или в
(5)
векторной форме:
div w 0.
(6)
Итак конвективный теплообмен описывается системой
дифференциальных уравнений:
Чтобы из бесконечного
множества процессов,
описываемых системой
уравнений (7), выделить
конкретный процесс,
надо добавить условия
однозначности.
d
;
c dy
Dt
a 2t;
d
Dw
1
g p 2 w;
d
divw o.
(7)

15. Условия однозначности

● Геометрические условия: вертикальная плоскость длиной
● Физические условия:
, , a, ,
0
;
величины постоянные,
берутся при определяющей температуре. Чаще всего ей
является средняя температура жидкости
● Начальные условия: при
tж .
0 t f ( x, y, z);
● Граничные условия I рода: при
x 0 wx w0; wy wz 0; 0 tж tж 0;
0 x 0; y 0 wx wy wz 0; c tc tж Const.
(8)
В системе дифференциальных уравнений и условиях
однозначности есть три вида величин: независимые переменные -
x, y, z;
постоянные величины -
зависимые переменные -
w0 , 0 ,tж , c , , , a, , ;
, , wx , wy , wz , p.

16. Общие решения задачи конвективного теплообмена

Шесть неизвестных (независимых величин) могут быть
найдены при наличии шести уравнений. С учетом того, что
уравнение Навье-Стокса в проекциях на оси координат дает
три дифференциальных уравнения, общие решения системы
уравнений (7) с граничными условиями (8):
f1( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
f 2 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
wx f 3 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
wy f 4 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
wz f 5 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
p f 6 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , ).
(9)
English     Русский Rules