Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Двойные интегралы

1. Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Двойные интегралы

2. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Определение. Рассмотрим функцию z f ( x, y )
или
области
z , f (P )
D R
линиями на
2
.
определенную в некоторой замкнутой
Разобьем область
D какими-нибудь
n областей D1 ,..., D n , которые могут
пересекаться
только по своим границам. Обозначим площадь области
через S k , тогда S 1 ... S n S D
Dk
где S D площадь области D . В каждой из областей D k
выберем произвольным образом точку P k .
Вычислим значение f ( P k ) функции f в точке Pk .

3.

Определение 1. Сумма вида
Dk
( Pk , S k ) f ( P1) S 1 ... f ( P n) S n
называется двойной интегральной суммой
Рис. 1
для функции z f (P )
D R
Число
d max S k
k 1,n
диаметром разбиения
2
называется
области
D
.
в области

4.

Определение 2. Если существует конечный предел
двойной интегральной суммы
( Pk , S k ) f ( P1) S1 ... f ( Pn) S n
при стремлении диаметра разбиения к нулю и этот предел
не зависит ни от способа разбиения области D
на
части, ни от выбора в них промежуточных точек Р1 ,..., Рп
то этот предел называется
двойным интегралом от функции по области
D R 2 , а сама функция называется
интегрируемой в области D .
Для двойного интеграла используется следующее
обозначение:
f ( x; y )dxdy
D

5. Достаточное условие существования двойного интеграла

• Теорема. Если функция z f ( x, y )
2
D
R
непрерывна в замкнутой области
,
то она интегрируема на этой области и
существует ее двойной интеграл по
области D .
f ( x; y)dxdy lim P , S
D
d 0
k
k

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Функция z f ( x, y )
непрерывна в области
z
D R
hk f ( P k )
2
f ( x; y ) 0 ( x; y ) D
Тогда в формуле
( Pk , S k ) f ( P1) S1 ... f ( Pn) S n
y
Слагаемое f Pk S k (1 k n )
Рис. 2
D
x
представляет собой объем
Dk
цилиндрического тела с
основанием Dk площадь которого S k , высота hk f ( P k ) .

7.

Следовательно, двойная интегральная сумма
( Pk , S k ) f ( P1) S1 ... f ( Pn) S n
,
как сумма объемов указанных элементарных цилиндров,
равна объему V n некоторого ступенчатого
цилиндрического тела.
Тогда предел
f ( x; y)dxdy lim
D
d 0
Pk , S k
совпадает с объемом тела V , ограниченного снизу
областью D , сверху – поверхностью z f ( x, y ) ,
сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой
параллельны оси Oz , а направляющей служит граница
области D .
Рис . 2, 4.

8. Объем цилиндрического тела

V f ( x; y )dxdy
D
hk f ( P k )
D
Рис. 3
Рис. 4

9.

• Замечание 1. Если непрерывная функция z f (P )
не сохраняет знак в области D ,
то двойной интеграл
f ( x; y )dxdy
D
с геометрической точки зрения интерпретируют
как алгебраическую сумму объемов, учитываемых
со знаком + или в зависимости от того,
лежит ли поверхность z f ( x, y ) выше или ниже,
соответственно, плоскости Oxy .

10. Основные свойства двойного интеграла

На двойные интегралы переносятся все основные
свойства обыкновенного (однократного)
определенного интеграла.
Свойство 1. Пусть функция z f (P ) интегрируема в
области D R 2 , где D D1 D2 и D1 , D2
пересекаются только по своим границам. Тогда
функция интегрируема отдельно в D1 и в D2 ,
причем справедливо равенство:
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
D
D1
D2

11. Основные свойства двойного интеграла

Пусть функция z f ( x, y ) интегрируема в области D R 2
D1 , D2 ,
и область D разбита на две подобласти
пересечение которых пусто (см. рис.5) .
D1
Рис. 5
D2
Тогда справедливо равенство
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
D
D1
D2

12. Основные свойства двойного интеграла

f ( x , y ) и g ( x, y )
интегрируемы в области D R 2, то в D R 2 будут
интегрируемы также следующие функции:
Свойство 2. Если функции
1.
f ( x, y ) g ( x, y );
2. k f ( x, y ), k const
3.
f ( x, y ) ;
4. f ( x, y ) g ( x, y );
5.
1
;
f ( x, y )
f ( x, y )
( x, y ) D

13. Основные свойства двойного интеграла

Для функций 1-3 справедливы следующие формулы:
1. ( f ( x, y ) g ( x, y ))dxdy f ( x, y )dxdy g ( x, y )dxdy,
D
D
D
2. k f ( x, y )dxdy k f ( x, y )dxdy,
D
3.
D
f ( x, y)dxdy
D
D
f ( x, y ) dxdy

14. Основные свойства двойного интеграла

f ( x , y ) и g ( x, y )
Свойство 3. Если функции
2
D
R
интегрируемы в области
и f ( x, y ) g ( x, y )
( x, y ) D , то имеет место
f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy
D
D
Свойство 4. Если функция f ( x, y ) интегрируема в
области D R 2 и f ( x, y ) 0 для ( x, y ) D , то
f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy,
D1
D
D1 D.

15. Основные свойства двойного интеграла

Свойство 5.
dxdy S
D
, где S D площадь D.
D
Свойство 6.
Объем цилиндрического тела
V f ( x; y )dxdy
D
Рис. 6

16. Теорема о среднем значении

Теорема. Если функция z f ( x, y )
непрерывна в замкнутой области D R 2 ,
тогда найдется хотя бы одна точка, P0 ( x0 , y0 ) D,
в которой выполняется следующее равенство:
f ( x; y)dxdy f ( P ) S
0
D
D
.

17. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

О п р е д е л е н и е . Замкнутая область D R 2 называется
правильной в направлении оси Ox (оси Oy ), если любая
прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и
параллельная оси Ox (оси Oy ), пересекает границу этой
области только в двух точках, см. рис. 7 (рис.8).
y
y
x
x
Рис. 7
Рис. 8

18.

2
D
R
Замечание. Область
, правильная в направлении
одной оси, может быть или не быть правильной в направлении
другой оси. Например, область, изображенная на рис.,
неправильная в направлении оси Oy
(см. рис.9);
область, изображенная на рис.10, правильная в направлении и
оси Oy , и оси Ox
(см. рис.2).
y
y
x
x
Рис. 9
Рис. 10

19. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному

Пусть область
D R
2
ограничена линиями:
y 1 ( x), y 2 ( x), x a, x b
причем на отрезке a; b
функции
1( x), 2( x) x a; b .
Функция z f ( x, y )
непрерывна в замкнутой области
Тогда
D
b
f ( x, y )dxdy dx
a
2
( x)
1
B
D.
A
( x)
f ( x, y )dy
y 2( x )
y
a
x0
D
y 1( x)
b
x

20. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному

Пусть область
D R 2 ограничена линиями:
x 1( y ), x 2( y ), y c, y d
причем на отрезке c; d функции
1( y ), 2( y ) y c; d .
Функция z f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области
Тогда
d
2 ( y)
c
1( y)
f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx
D
D.

21. Примеры вычисления двойного интеграла

Пример 1. Вычислить двойной интеграл:
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Таким образом:
Обратим внимание на следующее
действие: в данном случае можно
вынести «икс» из внутреннего интеграла
во внешний интеграл.

22.

Обратим внимание на следующее
действие: в данном случае можно
вынести «икс» из
внутреннего
интеграла во внешний интеграл.
Во внутреннем интеграле
Интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс»
считается константой. Следовательно, константу можно
вынести за знак интеграла.
По формуле Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл:
Вместо «игрека»
подставляем функции!

23.

Полученный результат подставим во внешний интеграл:
при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который
там уже находится:
1
Ответ:
.
15

24. Примеры вычисления двойного интеграла

Вычислить
Решение. Изобразим область интегрирования на чертеже:
Необходимо разделить область
на две части, при этом
необходимо будет вычислить
следующие интегралы: