Двойной интеграл. Приложения двойного интеграла. Двойной интеграл. Его свойства. Геометрический смысл

1.

Двойной интеграл. Приложения
двойного интеграла.
Двойной интеграл. Его свойства.
Геометрический смысл.
Вычисление двойного интеграла.

2.

Определение двойного интеграла.
• Пусть функция z f ( x, y ) определена в области D.
Разобьём область D произвольным образом на связные
части Di, i 1, n. В каждой из частей выберем
произвольным образом точку M i i , i , M i D i , i 1, n.
Пусть i - площадь подобласти Di, max d i , i 1, n .
i 1,n
После чего составим
интегральную сумму:
(*)
Если существует конечный предел интегральных сумм (*)
при 0 (n ) , nкоторый не зависит от способа
разбиения области D Di и от выбора точек M i D i ,
i 1
то он называется
двойным интегралом функции по области D и

3.

4.

Существование двойного интеграла
и обозначается:
Функция, z f ( x, y )
для которой
двойной интеграл
существует, называется интегрируемой в области D.
Пусть граница Г области D является кусочно-гладкой
линией, т.е. её можно представить в виде конечного числа
гладких участков кривых, т.е. линий, имеющих касательную
в каждой своей точке.
Теорема 1: Если функция z f ( x, y ) непрерывна в замкнутой
ограниченной области, то для неё существует двойной
интеграл.

5.

Свойства двойного интеграла
1.
Если функции: f ( x, y ), g( x, y ) - интегрируемы в области D
то их сумма: f ( x, y ) g( x, y )также интегрируема в этой
области и верно равенство:
2.
Если функция z f ( x, y ) интегрируема в области D , то
функция z k f ( x, y ) - также интегрируема в этой
области (k const) и
Если функция z f ( x, y )
непрерывна в области D
и D D1 D 2 D n
3.

6.

Геометрический смысл двойного
интеграла
Пусть функция z f (x, y ) 0, ( x, y ) D и для неё
существует двойной интеграл: I lim I n f (x, y )d f (x, y )dxdy
0
D
D
n
тогда:
где V- объём цилиндрического тела, у которого основанием
служит проекция поверхности z f ( x, y ) на плоскость
xOy, тело ограничено сверху поверхностью z f ( x, y ).
V dxdy S осн . h S осн . 1
D

7.

Вычисление двойного интеграла в
д.с.к.
• Вычисление двойного интеграла сводится к повторному
интегрированию. Пусть областью изменения независимых
переменных является:
a x b
D
это криволинейная трапеция
y 1 ( x) y y 2 ( x)
на плоскости xOy ( y y 1 ( x), y y 2 ( x) - гладкие линии).
Тогда:
При этом область интегрирования должна быть
правильной в направлении оси Oy. Интеграл по
переменной «y» называется внутренним, а по переменной
«x»- внешним.

8.

Вычисление двойного интеграла в
д.с.к.
• Сначала вычисляется внутренний
интеграл и в результате
y2 (x)
получаем некоторую функцию
затем
f ( x, y )dy ( x )
интегрируя её по другой
y1 ( x )
b
переменной «x», получаем результат:
(x)dx f (x, y )dxdy
при этом последний интеграл
a
D
называется внешним.
• Замечание 1: Пределы интегрирования будут постоянными
в обоих интегралах, если область интегрирования есть
квадрат или прямоугольник со сторонами параллельными
осям координат (в д.с.к.).
• Замечание 2: Если область интегрирования есть
правильная область в направлении оси Ox, то
c y d
D
x1 ( y ) x x 2 ( y )

9.

Вычисление двойного интеграла в
д.с.к.
• Тогда соответствующий двойной интеграл:
• Замечание 3: Если область интегрирования D не
является правильной ни в одном из координатных
направлений, то её представляют в виде суммы конечного
числа областей, каждая из которых правильная по одному
из направлений Ox либо Oy, затем используя свойства
двойного интеграла, производят непосредственно
вычисления.

10.

Пример 1:
• Вычислить значение двойного интеграла:
в области D : ABC A(0,0), B( 2,0), C( 2,1)
Данная область является правильной
в обоих направлениях. Поэтому:
2
2
x
ydxdy
D
y x / 2
x y dxdy dx x ydy
2
2
D
0
y 0
2
2
x
1
4
x 2 0 dx x 4dx
80
5
8
0
2
или:
1
x 2
0
x 2 y
2
x
y
dxdy
dy
x
ydx
2
D
x 2
1
1
x3
8
8 4
8 y2 y5
4
ydy y y dy
3 x 2 y
3
3
3 2
5 0 5
0
0
1

11.

Пример 2:
• Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
x
. Изобразим область интегрирования:
dx f (x, y )dy
0
x
2
1
x y
0
x y
0 x 1
D 2
x y x
dy f (x, y )dx
Замечание 4: Пределы интегрирования необходимо
расставлять так, чтобы процесс вычисления был наименее
трудоёмким.

12.

Пример 3:
• Не вычисляя двойного интеграла, выяснить, который из
них имеет большее значение:
( x y )dxdy
D
или ( x y ) 2 dxdy
D
Где область D задана своими границами:
x 0; y 0; x y 1
В области D имеем:
f1 ( x, y ) 1, f 2 ( x, y ) ( x y ) 2 ( x y )
т.е. первый имеет большее значение, т.к. для него функция
больше.

13.

Двойной интеграл в полярных
координатах
• Рассмотрим отображение области
в плоскости uOv
на область D в плоскости xOy , которое задаётся с
помощью отображения: x x(u, v ) , где x(u, v ), y(u, v )
непрерывно
y y (u , v )
дифференцируемые функции в области . Тогда:
где
J (u , v )
- модуль Якобиана:

14.

Геометрический смысл Якобиана
• Рассмотрим преобразование части плоскости O в
другую часть другой плоскости xOy , которое задаётся
преобразованием:
x x( , )
(1)
y y( , )
Выделим на плоскости O
бесконечно малый
прямоугольник П 1 П 2 П 3 П 4 со сторонами равными d , d
и параллельными осям координат O , O .
Отображением этого прямоугольника в плоскости xOy
является криволинейный четырёхугольник P1 P2 P3 P4 .
При этом координаты их вершин будут следующими:
П 1 ( , ); П 2 ( d , ); П 3 ( d , d ) П 4 ( , d )
P1 ( x( , ), y( , )); P2 ( x( d , ), y( d , ));
P3 ( x( d , d ), y( d , d )) P4 ( x( , d ), y( , d ))

15.

Геометрическая иллюстрация:
• Прямоугольник П 1 П 2 П 3 П 4
преобразования: x x( , )
y y( , )
является прообразом
(1)
криволинейный четырёхугольник
преобразования.
P1 P2 P3 P4 – образ

16.

Геометрический смысл Якобиана
• Если ограничиться членами первого порядка малости
относительно d , d , то координаты точек
криволинейного четырёхугольника можно считать
равными:

17.

Геометрический смысл Якобиана
• Можно считать, что
x
x( d ; ) x( ; ) d o( )
x
x
x( d ; d ) x( ; ) d
d o( ; )
y
y( d ; ) y( ; ) d o( ), y( ; d )
и с точностью до малых высшего порядка малости
четырёхугольник P1 P2 P3 P4 - есть параллелограмм и
тогда:

18.

Продолжение вывода
• Рассматривая область близка к параллелограмму,
построенному на сторонах P1 P2 , P1 P4 , поэтому его
площадь равна модулю векторного произведения этих
векторов: x x( , ) x( , ) P P
u
1 2
v x x( , ) x( , ) P1 P4
i
j
S P1 P2 P1 P4 x 2 x1 y 2 y 1
x 4 x1 y 4 y 1
x
y
x
d
d
x y
x y x
y
x
d
d
k
0
0
x 2 x1 y 2 y 1
x 4 x1 y 4 y 1
y
d d
y

19.

Геометрический смысл Якобиана
• Окончательно имеем: dx dy J( , ) d d
S J( , ) P
Если имеем обобщённые полярные координаты:

20.

Пример 4:
• Записать в полярных координатах область, ограниченную
2
2
2
2
линиями: x y ax , x y ay . Границы области
следующие линии: x 2 y 2 ax , x 2 y 2 ay
или в полярных и декартовых координатах:
a cos , a sin
2
2
2
a
a
a
a
2
2
x y ; y x ;
2
4
2
4
2
После чего получаем область:

21.

Пример 5:
• Вычислить значение двойного интеграла по площади
четверти круга: D : x 2 y 2 1
dxdy
x 2 y 2
D
d d
d d
x2 y 2 D
D
dxdy
D
2
d d R
2 2
0
0
R

22.

Пример 6:
• Найти массу части пластинки,
• ограниченной линями:
2 y2
1
x
D:
, ( x, y ) y 2
x2 y 2
4
2 1
0 y x
1 2
Преобразуем уравнение границы в обобщённые полярные
координаты: x cos
y 2 sin
x2
5x 2
2
Найдём уравнение луча ОМ0 : x 4 1 4 1 x1 y 1
5
2
2
2
1
1
cos ,
2 sin tg arctg
2
2
5
5

23.

Пример 6 (завершение):
• Таким образом область D в обобщённых полярных
координатах определяется следующими неравенствами:
0 1
Тогда масса пластинки выражается
D:
формулой:
1
0 arctg 2
M ( x, y )ds ( x( , ), y( , ))2 d d
S
arctg
1
2
D
arctg
1
d 2 sin 2 d
0
0
2
0
1
2
1
sin 2 d 4 2 2 d
0
1 1
1
2tg
1 2
arctg sin 2arctg sin 2
arctg
2
2 2
2
2 5
1 tg