Двойной интеграл. Определение

1.

§29. Двойной интеграл
п.1. Определение.
Пусть
D — замкнутая область плоскости Oxy;
z f ( x, y ) — непрерывная функция,
заданная в D.
y
Разобьем область D:
n
i i 1
{D } :
Di D j , i j;
D
O
n
x i 1
Di D.

2.

Обозначим
Si — площадь области Di ;
d i — диаметр (наибольшее расстояние между
точками) области Di .
В каждой области Di произвольным образом
выберем точку M i :
y
M i ( xi , yi ) Di , i 1, n.
Вычислим значение
функции в каждой
точке:
Mi
D
O
x
f ( xi , yi ), i 1, n.

3.

Составим интегральную сумму:
f ( x1 , y1 ) S1 f ( x2 , y2 ) S2 ... f ( xn , yn ) Sn
n
f ( xi , yi ) Si .
i 1
Пусть
max di 0 при n .

4.

Если существует предел
n
lim f ( xi , yi ) Si ,
n
i 1
причем этот предел не зависит ни от способа
разбиения области D, ни от выбора точек M i ,
то он называется двойным интегралом от
функции z f ( x, y ) по области D.
n
f ( x, y)dxdy lim f ( x , y ) S .
D
n
i 1
D — область интегрирования;
i
i
i
z f ( x, y ) — интегрируемая в D функция.

5.

Теорема 1. (Достаточное условие
интегрируемости.)
Если функция z f ( x, y ) непрерывна в
замкнутой области D, то она интегрируема в
этой области.
Замечание 1.
Достаточное условие не является
необходимым.
Замечание 2.
Если двойной интеграл существует, то область
D можно разбивать прямыми, параллельными
осям координат.

6.

Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть
f ( x, y) 0, ( x, y) D.
Рассмотрим тело ограниченное поверхностью
z f ( x, y) 0,
областью D и цилиндрической поверхностью с
образующими, параллельными оси Oz, и
границей области D в качестве
направляющей.
Определим и найдем его объем.

7.

z
z f ( x, y )
y
D
x Разобьем область D.
{Di }in 1 : Di D j , i j;
n
i 1
Di D.

8.

Все тело разобьется на цилиндрические
столбики при этом
n
V Vi .
i 1
Пусть
M i ( xi , yi ) Di , i 1, n.

9.

z
f ( xi , yi )
y
D
x
Vi f ( xi , yi ) Si .

10.

Поэтому
n
V f ( xi , yi ) Si .
i 1
С уменьшением Si точность приближения
тела ступенчатой фигурой увеличивается.
За точное значение объема V принимается
предел суммы, когда n неограниченно
возрастает так, что Si 0.
n
V lim f ( xi , yi ) Si .
n
i 1
Учитывая определение двойного интеграла
V f ( x, y )dxdy.
D

11.

Величина двойного интеграла от
неотрицательной функции равна объему
цилиндрического тела.

12.

п.2. Свойства двойного интеграла.
1.
k
f
(
x
,
y
)
dxdy
k
f
(
x
,
y
)
dxdy
,
k
const.
D
D
2.
( f ( x, y) g ( x, y))dxdy f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy.
D
3.
D
D
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy,
D
D1
D1 D2 , D1 D2 D.
D2
D1
D2
D

13.

4. f ( x, y) 0, ( x, y) D
f ( x, y)dxdy 0.
D
5. f ( x) g ( x), ( x, y ) D
f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy.
D
6.
D
dxdy S .
D
D

14.

7. m f ( x, y) M , ( x, y) D
mSD f ( x, y)dxdy MS D .
D
8.
Теорема 1. (О среднем значении двойного
интеграла)
Пусть
функция z f ( x, y ) непрерывна в замкнутой
области D.
Тогда
существует точка ( x0 , y0 ) D такая, что
f ( x, y)dxdy f ( x , y )S .
0
D
0
D

15.

п.3. Вычисление двойного интеграла.
Пусть
Тогда
f ( x, y) 0, ( x, y) D.
f ( x, y)dxdy V .
D
Вычислим объем тела, используя свойства
определенного интеграла.
(1)

16.

1) Пусть область D ограничена линиями
x a, x b, y 1 ( x), y 2 ( x)
причем
y
O a
1 ( x) 2 ( x), x [a, b].
y 2 ( x)
В этом случае
D область D
называется
правильной в
y 1 ( x) A
направлении оси
b x Oy.
B
Проведем прямую, перпендикулярную оси Ox.
Получим точки: A( x, ( x)), B( x, ( x)).
1
2

17.

Построим сечение тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ox:
x const, x [a, b].
z
D
y
a
b
x
С
A
B
Получим
криволинейную
трапецию ABCD,
ограниченную
линиями:
z f ( x, y), x const;
z 0;
y 1 ( x); y 2 ( x).

18.

Учитывая свойства определенного интеграла
(п.1 §24):
2 ( x )
S ABCD S ( x)
f ( x, y )dy.
1 ( x)
Тогда объем тела равен (п.3 §24):
2 ( x )
V S ( x)dx f ( x, y )dy dx.
a
a 1 ( x )
b
b
(2)

19.

Приравнивая полученные результаты
(формулы (1) и (2)), получаем:
2 ( x )
D f ( x, y)dxdy a ( x) f ( x, y)dy dx
1
b
или
b
2 ( x )
a
1 ( x )
f
(
x
,
y
)
dxdy
dx
f
(
x
,
y
)
dy
.
D
повторный интеграл

20.

2) Пусть область D ограничена линиями
y c, y d , x 1 ( y), x 2 ( y)
причем
1 ( y) 2 ( y), y [c, d ].
Аналогичным образом можно получить:
d
2 ( y)
c
1( y)
f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx.
D

21.

Замечание.
Полученные формулы справедливы и без
ограничения
f ( x, y) 0, ( x, y) D.

22.

Пример. Вычислить
( x 2 y)dxdy,
где
D
D:
y x , y 0, x y 2 0.
2
Решение. Построим область D.
y
0 y 1;
y x 2 y.
1
D
1
2
x

23.

1
2 y
D
0
y
2 y
2 y
2 y
y
y
y
( x 2 y)dxdy dy ( x 2 y)dx.
( x 2 y)dx xdx 2 ydx
2 y
2 y
2 y
x
xdx 2 y dx 2 xy
2
y
y
y
2
(2 y )
y
2
4y 2y 2y ;
2
2
2
3
2

24.

3
(2 y )2
y
2
2
4
y
2
y
2
y
dy
0 2
2
1
1
5
3
2
2
( y 2)3
y
y
y
2 y 2 2 2 1, 45.
5
3
3
4
2 0

25.

D1 :
y
0 y x ;
2
D
1 D
D2 :
D2
1
1
0 x 1;
x
2
1 x 2;
0 y 2 x.
( x 2 y)dxdy ( x 2 y)dxdy ( x 2 y)dxdy.
D
D1
D2

26.

1
x2
0
0
(
x
2
y
)
dxdy
dx
(
x
2
y
)
dy
D1
1
x
x
xy y dx ( x x )dx
0
4 5 0
0
0
1
2
x
2
1
4
3
5
4
1 1 9
.
4 5 20

27.

2
2 x
1
0
( x 2 y)dxdy dx ( x 2 y)dy
D2
2
xy y
2
1
2 x
0
2
dx (2 x x (2 x) )dx
2
2
1
2
2 x ( x 2)
8 1 1
x
4 1 1.
3
3 1
3 3 3
3
3
9
D ( x 2 y)dxdy 20 1 1, 45.