Опредление двойного интеграла Свойства двойного интеграла

1.

Презентацию выполнил
Студент 2 курса
Павлов Никита
Группы № 281

2.

Двойной интеграл
Понятие двойного интеграла возникает при
вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому,
как определённый интеграл связан с вычислением площади
криволинейной трапеции.
Рассмотрим некоторую двумерную фигуру D на плоскости
Оху и заданную на ней функцию двух переменных f(x,y).
Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим
вопрос о нахождении объёма получившегося тела
(см. рисунок).
По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру D
на достаточно малые области d_i, возьмём в каждой по
точке E = (x,y) и составим интегральную сумму

3.

Где S ( dj) – площадь области dj .
Если соответствует, независимо
от выбора разбиения и точек Ej .
Предел этой суммы при
стремлении диаметров
областей к нулю , то такой
предел называется двойным
интегралом от функции f(x;y)
или
по области D и обозначается :
или
Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу

4.

Геометрический смысл двойного интеграла
Рисунок (1)
Пусть в пространстве мы
имеем некоторое тело
(криволинейный цилиндр
[в отличие от криволинейной
трапеции в определенном
интеграле]),
ограниченное сверху
поверхностью f (x,y),
по бокам - некоторой
цилиндрической
поверхностью (образующие
которой параллельны оси
Oz), а снизу плоскостью x0y.

5.

1) Геометрический смысл двойного интеграла.
Если f(x,y) – неотрицательна и интегрируема в области (σ),
то
f ( x, y)dxdy V ,
( )
где V – объем цилиндрического тела с основанием (σ) и
ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y).
2)
dxdy ,
где σ – площадь области (σ).
( )
3) Постоянный множитель можно выносить за знак двойного
интеграла, т.е.
c f ( x, y)dxdy c f ( x, y)dxdy.
( )
( )

6.

4) Двойной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного
числа) функций равен алгебраической сумме двойных
интегралов от этих функций, т.е.
f1 ( x, y) f 2 ( x, y) dxdy f1 ( x, y)dxdy f 2 ( x, y)dxdy.
( )
( )
( )
5) Если область интегрирования (σ) разбита на две части (σ1) и
(σ2), не имеющие общих внутренних точек, то
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy.
( )
( 1 )
( 2 )
(свойство аддитивности двойного интеграла)

7.

6) Если всюду в области (σ) f(x,y) > 0 (f(x,y) 0) , то
f ( x, y ) dxdy 0 .
f ( x, y )dxdy 0
( )
( )
7) Если всюду в области (σ) f(x,y) (x,y), то
f ( x, y)dxdy ( x, y)dxdy
( )
( )
8) Следствие свойств 7 и 2.
Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции f(x,y) в области (σ), то
m
f ( x, y)dxdy M ,
( )
где σ – площадь области (σ).

8.

9) Теорема о среднем для двойного интеграла.
Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой и ограниченной
области (σ), то найдется такая точка P0(x0 ,y0) (σ) , что
справедливо равенство
f ( x, y)dxdy f ( x0 ; y0 ) ,
( )
где σ – площадь области (σ ).

9.

10.

Вычисление двойного интеграла сводится к повторному
интегрированию. Пусть областью изменения независимых
переменных является:
a x b
D
это криволинейная трапеция
y 1 ( x) y y 2 ( x)
на плоскости xOy ( - гладкие линии). Тогда:
y y 1 ( x), y y 2 ( x)
При этом область интегрирования должна быть правильной в
направлении оси Oy. Интеграл по переменной «y» называется
внутренним, а по переменной «x»- внешним.

11.

Сначала вычисляется внутренний интеграл и в результате
получаем некоторую функцию y 2 ( x )
затем
f ( x, y )dy ( x)
интегрируя её по другой
y1 ( x )
переменной «x», получаем результат: b
при этом последний интеграл
(x)dx f (x, y )dxdy
a
D
называется внешним.
Замечание 1: Пределы интегрирования будут постоянными в
обоих интегралах, если область интегрирования есть квадрат
или прямоугольник со сторонами параллельными осям
координат (в д.с.к.).
Замечание 2: Если область интегрирования есть правильная
область в направлении оси Ox, то
c y d
D
x1 ( y ) x x 2 ( y )

12.

Тогда соответствующий двойной интеграл:
Замечание 3: Если область интегрирования D не является
правильной ни в одном из координатных направлений, то её
представляют в виде суммы конечного числа областей, каждая
из которых правильная по одному из направлений Ox либо Oy,
затем используя свойства двойного интеграла, производят
непосредственно вычисления.

13.

Пример.
Изменить порядок интегрирования. Изобразить область
интегрирования.
Решение :
Область
интегрирования
представляет собой
область,
ограниченную
линиями:
И

14.

Повторный интеграл с внешним интегрированием по Х :

15.

Вычислить значение двойного интеграла:
в области D : ABC A(0,0), B( 2,0), C( 2,1)
Данная область является правильной
в обоих направлениях. Поэтому:
x
2
2
y dxdy dx
D
0
2
0
2
x
ydxdy
D
y x / 2
x
2
ydy
y 0
2
2
x
1
4
x 2
0 dx x 4dx
80
5
8
или:
1
x 2
0
x 2 y
x y dxdy dy
2
D
x 2
2
x
ydx
1
x3
8
8
ydy y y 4 dy
3 x 2 y
3
3
0
0
1
1
8 y2 y5
4
3 2
5 0 5

16.

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
x
. Изобразим область интегрирования:
dx f (x, y )dy
0
x
2
1
x y
0
x y
0 x 1
D 2
x y x
dy f (x, y )dx
Замечание: Пределы интегрирования необходимо расставлять
так, чтобы процесс вычисления был наименее трудоёмким.

17.

Не вычисляя двойного интеграла, выяснить, который из них
имеет большее значение:
(x y )dxdy
D
или
2
(
x
y
)
dxdy
D
Где область D задана своими границами:
x 0; y 0; x y 1
В области D имеем:
f1 ( x, y ) 1, f 2 ( x, y ) ( x y ) 2 ( x y )
т.е. первый имеет большее значение, т.к. для него функция
больше.

18.

Пример 4.
Найти
где S — квадрат
Расставляя пределы интегрирования, будем иметь
Геометрически I
представляет собой
объем цилиндроида с
квадратным нижним
основанием,
ограниченного сверху
параболоидом
вращения z=x^2 +y^2
(см.рисунок).