Двойной интеграл

1. Двойной интеграл

Основные понятия
Геометрический смысл двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
1/17

2. Основные понятия

2/17
Основные понятия
Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная
функция z = f(x, y).
Разобьем область D на n
«элементарных областей» Di,
площади которых обозначим через
ΔSi, а диаметры (наибольшее
расстояние между точками
области) через di.
y
Di
В каждой области Di выберем
произвольную точку Mi(xi; yi).
Составим сумму вида:
D
Mi(xi;
yi).
0
x

3. Основные понятия

3/17
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, y) в
области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к
бесконечности, таким образом, что
Если этот предел существует и не зависит от способа
разбиения области D на части, ни от выбора точек в них,
то он называется двойным интегралом от функции f(x; y)
по области D и обозначается:

4. Основные понятия

4/17
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством:
Функция f(x; y) называется интегрируемой в области D,
D – область интегрирования, x; y – переменные интегрирования,
dxdy (или dS) – элемент площади.
Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот
вопрос дает ответ теорема:
Теорема
Если функция z = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, то
она интегрируема в этой области (достаточное условие
интегрируемости функций).

5. Геометрический смысл двойного интеграла

Геометрический смысл двойного
z = f(x; y)
интеграла
5/17
Рассмотрим тело, ограниченное
сверху поверхностью z = f(x; y),
z
снизу замкнутой областью D на плоскости
XOY ,
с боков цилиндрической
поверхностью, образующая которой
параллельна оси OZ, а
направляющей служит граница
области D.
0
y
D
x
Такое тело называют цилиндрическим. Найдем его объем.

6. Геометрический смысл двойного интеграла

f(xi ; yi)
6/17
Разобьем область D на n областей
Di, площади которых равны ΔSi
z
Рассмотрим цилиндрические столбики с
основанием Di, ограниченные сверху
кусками поверхности z = f(x; y)
В своей совокупности они составляют тело
V
Обозначив объем столбика с основанием
Di, через ΔVi, получим:
0
y
Di
x
Возьмем на каждой площадке Di точку Mi(xi; yi)
и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же
основанием Di и высотой zi = f(xi; yi).
Mi(xi; yi).

7. Геометрический смысл двойного интеграла

7/17
Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔVi
цилиндрического столбика
Тогда получаем:
Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше
размеры элементарных областей, поэтому:
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной
функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит
геометрический смысл двойного интеграла.

8. Свойства двойного интеграла

8/17
Свойства двойного интеграла
1
2
y
3
Если область D разбить на две
области D1 и D2 не имеющих общих
точек, то
D1
0
4
D2
x

9. Свойства двойного интеграла

9/17
5
Если в области D имеет место неравенство:
6
Если в области D функции f(x; y) и g(x; y) удовлетворяют
неравенству:
7
Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S то:
где m и M соответственно наименьшее и наибольшее
значение подынтегральной функции в области D.

10. Свойства двойного интеграла

8
10/17
Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S, то в этой области существует такая точка
(x0 ; y0), что
Величину
называют средним значением функции f(x ; y) в области D.

11. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

11/17
Область D называется правильной в направлении оси ОY
ОX ,
если любая прямая, параллельная оси ОY
ОX , пересекает границу
области не более чем в двух точках.
Правильная область
Неправильная область
y
y
D
D
0
x
0
x
Аналогично определяется область, правильная в направлении
оси OX.
Область, правильная, как в направлении оси OX, так в
направлении оси OY, называется просто правильной

12. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

12/17
Пусть область D ограничена прямыми x = a, x = b (a < b) и
кривыми y = φ1(x), y = φ2(x), причем функции φ1(x) и φ2(x)
непрерывны и таковы, что
y
y = φ22(x)
Таким образом задается область,
правильная в направлении оси OY.
D
0
a
(1)
y = φ1(x)
b
x

13. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

13/17
(1)
Формула (1) представляет собой способ вычисления двойного
интеграла в декартовых координатах.
Правую часть формулы (1) называют двукратным (или
повторным) интегралом от функции f(x, y) по области D.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний
интеграл, считая x постоянным,
затем берем внешний интеграл, то есть результат первого
интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

14. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

14/17
Пусть область D ограничена прямыми y = c, y = d (c < d) и
кривыми x = ψ1(y), x = ψ2(y), причем функции ψ1(y) и ψ2(y)
непрерывны и таковы, что
y
x = ψ11(x)
d
Таким образом задается область,
правильная в направлении оси OX.
При вычислении внутреннего
интеграла считаем
y - const
D
x = ψ22(x)
c
0
x
(2)

15. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычислить
D:
Воспользуемся формулой (2)
15/17
y
y = x2
2
1
yx = 22 -- xyy
D
00
1
2
постоянная
x

16. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

16/17

17. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Изменить порядок интегрирования
17/17
y
2
11
Интеграл записан по формуле (1)
Выпишем уравнения линий,
ограничивающих область D:
00
D:
Теперь запишем интеграл по формуле (2)
1
2
x
1