Законы сохранения

1.

6. Законы сохранения
Рассмотрим замкнутую систему из N взаимодействующих
друг с другом частиц, на которые не действуют внешние силы.
Состояние
такой системы определяется заданием векторов ri и
скоростей v i всех частиц (i = 1,…,N), которые находятся из решения
системы уравнений Ньютона
2
Fi
d ri
mi 2 = Fi
dt
где
- сила, действующая на i - ую частицу со стороны других
частиц системы. Расписывая уравнения Ньютона для проекций
ускорений и сил, получим систему из 3N дифференциальных
уравнений 2-го порядка. Их общее решение для радиус-векторов
содержит 2 3N = 6N произвольных постоянных
ri ri (t , C1 ,C2 , ...,C6N )
Дифференцируя эти решения по времени, получим скорости
v i v i (t , C1 ,C2 , ...,C6N )

2.

Последние два выражения образуют систему из 6N
уравнений. Исключая из них время, получим (6N-1)
функций С1, С2, С3, …, С6N-1 , каждая из которых зависит
xi , yi ,zi и 3N проекций скоростей
от 3N координат
v ix , v iy , v iz .
Однако, эти функции Сi ( r1 , r2 ,…, rN , v1 , v 2 ,…, v N )
являются константами, которые не зависят от времени и
сохраняют свои значения при движении системы.
Их называют интегралами движения. Они выражают
собой законы сохранения механической системы.

3.

Из всех 6N-1 интегралов движения наибольший
интерес представляют аддитивные интегралы движения.
Свойство аддитивности выражается в том, что для
системы, состоящей из невзаимодействующих друг с другом
частей, значение аддитивного интеграла системы равно
сумме значений таких интегралов ее частей.
Аддитивных интегралов только три –
полная энергия, импульс и момент импульса.
Их сохранение является следствием свойств
симметрии пространства и времени, которые не зависят от
характера действующих сил.
Поэтому законы сохранения обладают большей
общностью, чем законы Ньютона. Они выполняются даже
в тех случаях, когда законы Ньютона нарушаются.

4.

6.1 Закон сохранения импульса
Полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов,
составляющих ее частиц
.
.
2
F
1
.
.
.
12
F
P pi
i
pi = mi v i
.
13
.
(i = 1,…,N)
На каждую частицу действуют внутренние
силы со стороны других частиц
3
dp1
F12 F13 ... F1N
dt
dp2
F21 F23 ... F2N
dt
.........................................
dpN
FN1 FN2 ... FN(N -1)
dt

5.

Сложим эти уравнения и объединим силы от пар частиц
(F12 F21 ) (F13 F31 ) ... (F23 F32 ) (F24 F42 ) ...
d
dP
( p1 p2 ... pN )
dt
dt
Но по третьему закону Ньютона Fij
внутренних сил равна нулю и получаем
dP
0,
dt
F ji
, поэтому сумма всех
P = const
(6.1.1)
Следовательно, полный импульс замкнутой системы от времени
не зависит, он сохраняет свое значение и направление. Этот закон
связан с однородностью пространства – параллельный перенос
замкнутой системы как целого из одной части пространства в другую
не меняет ее механических свойств. Импульс сохраняется и для
незамкнутой системы, если внешние силы компенсируют друг друга.

6.

Выразим импульс системы через скорость движения ее центра масс.
Центром масс (центром инерции) системы тел называется точка С,
положение которой в пространстве определяется радиус-вектором
mi ri
mi ri
m1r 1 m 2 r 2 .... m N r N
Rc
i
i
m1 m 2 .... m N
M
mi
i
где
M = mi - масса системы. Отсюда находим
i
MRc = mi ri
i
Возьмем первую производную по времени от последнего равенства
dri
dRc
M
= mi
dt
dt
i
получим
Mv c = mi v i pi P
i
i
(6.1.2)

7.

Здесь
dRc
υc
dt
- скорость движения центра масс, она
характеризует скорость перемещения системы как целого.
Поскольку для замкнутой системы P = const , то и υc = const.
Следовательно, центр масс замкнутой системы движется
прямолинейно и равномерно или остается неподвижным.
Поэтому система координат, связанная с центром масс
является инерциальной, ее называют ц-системой.

8.

6.2 Закон сохранения энергии
Ранее был установлен закон сохранения полной
механической энергии для одного тела - формула (4.3.1).
Обобщим этот результат на случай системы из N
частиц, находящихся во внешнем поле консервативных
сил, не зависящих от времени.
Пусть на каждую
частицу действует внешняя
консервативная сила F .
i
Будем считать, что частицы взаимодействуют
между
собой посредством парных, центральных сил
, которые
зависят только от расстояний между
Fik
частицами | Rik | . Такие силы тоже консервативные.

9.

Запишем уравнение Ньютона для i – ой частицы
N
d vi
mi
= Fi Fik
dt
k i
Умножим каждое из
этих
уравнений на элементарные
перемещения частиц dri v i dt и сложим
N
N N
N
(6.2.1)
mi v idv i = Fik dri Fi dri
i=1
где учтено, что
i=1 k i
i=1
dv i dv i
dri =
v i dt = v i dv i
dt
dt

10.

Левая часть уравнения (6.2.1) равна приращению кинетической
энергии
2
i
N
m
v
i
m
v
dv
=
d
= d Ti = dT
i i
i
2
i=1
i=1
i=1
N
N
В правой части (6.2.1) первое слагаемое равно элементарной работе
внутренних консервативных сил по перемещению всех частиц
системы
N N
Fik dri dAвнутр
i=1 k i
Второе слагаемое в правой части (6.2.1) равно элементарной работе
внешних консервативных сил по перемещению всех частиц системы
Fi dri dAвнешн - dU внешн
N
i=1
Рассмотрим детальнее работу внутренних сил
dAвнутр на
примере

11.

= Fik dri = F12 dr1 F13dr1 F21dr2 F23dr2
3
dAвнутр
3
i=1 k i
+F31dr3 F32 dr3 = F12 (dr1 dr2 ) + F13 (dr1 dr3 ) + F23 (dr2 dr3 )
= F12 dR12 F13dR13 F23dR23 =
Fik dRik
3
3
i=1 k>i
i
ri
F
R
ik
rk
O
dRik
dR
ik
k
e ik
ik
Rik = rk - ri
Rik
eik =
Rik
(eik dRik ) dRik
- изменение расстояния между двумя частицами

12.

Обобщим полученную формулу на случай N частиц
dAвнутр
= Fik dRik
N
N
i=1 k>i
Учтем, что внутренние
силы центральные, направлены вдоль
радиус-векторов R
, соединяющих частицы, и поэтому могут
ik
быть записаны в виде
Fik = fik eik
где
fik(Rik)
– функции, зависящие только от модуля расстояния
между частицами
Rik , поэтому
( Fik dRik ) = fik ( eik dRik ) = fik dRik dU ik
где
dUik –
изменение
потенциальной
взаимодействия i –ой и k - ой частиц.
энергии
парного

13.

В результате получаем
dAвнутр =
N
N
dU
ik
dU внутр
i=1 k>i
Объединяя слагаемые, формулу (6.2.1) перепишем в виде
dT = - d (U внутр U внешн )
или
d (T + U внутр U внешн ) 0
Значит полная механическая энергия системы
E = T + U внутр U внешн
(6.2.2)
сохраняется, когда система находится в поле внешних
консервативных сил. Если же внешние силы не консервативны, то
полная энергия системы с течением времени меняется.

14.

6.3 Закон сохранения момента импульса
Ранее было получено выражение (5.5.5), связывающее
момент
импульса
L
с моментом внешних сил
M
:
dL
=M
dt
Распишем оба момента в виде суммы вкладов от частей
системы
L = Li = [ri pi ]
i
i
Подставляем в уравнение (5.5.5)
;
M = M i [ri Fi ]
i
i
dL d
Li = M i [ri Fi ]
dt dt i
i
i

15.

Если система замкнутая, то на каждую из ее частей
внешние силы не действуют F 0 , тогда
i
dL
=0
dt
поэтому
L = const
(6.3.1)
Следовательно,
момент
импульса
замкнутой
системы сохраняется, с течением времени остаются
неизменными как его величина, так и направление.
Этот результат справедлив и для не замкнутой
системы, если суммарный
равен
момент внешних сил
нулю, то есть когда M =
M i 0 , хотя может Fi 0 .
i

16.

Также всегда сохраняется проекция момента
импульса на ту ось, относительно которой силовое поле
симметрично.
Частным
случаем
является
центральносимметричное поле. При движении в таком поле
сохраняется проекция момента на любую ось,
проходящую через силовой центр.
Закон сохранения момента импульса связан с
изотропностью пространства, которая проявляется в
независимости физических законов относительно
поворотов замкнутой системы в пространстве на
произвольный угол.

17.

6.4 Упругий и неупругий удар шаров
Анализ законов сохранения позволяет, не решая
уравнений Ньютона, получить важные выводы о
свойствах механической системы.
Рассмотрим в качестве примера центральный удар
двух шаров, которые до удара двигались вдоль прямой,
проходящей через их центры.
При соударении тела претерпевают деформации.
При этом их кинетическая энергия частично или
полностью переходит в потенциальную энергию упругой
деформации
и
во
внутреннюю
энергию
тел,
сопровождающуюся повышением их температуры.

18.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно
упругий и абсолютно неупругий.
При абсолютно упругом ударе механическая энергия
тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии.
При таком ударе кинетическая энергия переходит
полностью или частично в потенциальную энергию
упругой деформации.
После удара тела возвращаются к первоначальной
форме,
отталкивая
друг
друга.
В
результате
потенциальная энергия упругой деформации снова
переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со
скоростями, которые определяются из законов сохранения
полной механической энергии и полного импульса
системы двух тел.

19.

При абсолютно неупругом ударе потенциальная
энергия деформации не возникает, а кинетическая
энергия тел полностью или частично превращается во
внутреннюю энергию.
После абсолютно неупругого удара тела либо
движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При
этом выполняется лишь закон сохранения импульса, а
закон сохранения механической энергии не соблюдается.
Но при абсолютно неупругом ударе сохраняется
полная энергия – механическая плюс внутренняя.

20.

1) Абсолютно неупругий удар
Пусть массы
шаров
равны т1 и т2 , а скорости до
удара 1
и 2
. После удара шары движутся
как
одно целое с одной и той же скоростью , равной
скорости движения центра масс двух шаров.
Оба шара вместе образуют замкнутую систему,
поэтому должен выполняться закон сохранения полного
импульса системы
m1 1 m2 2 (m1 m2 )
откуда
m1 1 m2 2
(m1 m2 )
(6.4.1)
m
1
m
1
1
m
2
2
m
2

21.

Найдем, какая часть кинетической энергии перешла
в немеханическую форму энергии (тепловую или другую)
2
1 1
2
2 2
m
m
(m1 m2 ) 2
T (
)
2
2
2
m1m2
2
( 1 2 )
(6.4.2)
2(m1 m2 )
Рассмотрим частный случай, когда
одно из тел до удара
было неподвижным, например 2 0 , тогда
m1 1
m1 m2
2
1 1
m2
m
; T
(m1 m2 ) 2

22.

Если, кроме того, масса неподвижного тела много
больше массы движущегося тела, то
m2 m1 ; 1
2
1 1
m
; T
2
Следовательно, в этом случае почти вся
кинетическая энергия подвижного тела при ударе
переходит в тепло или другие формы немеханической
энергии.

23.

Если, наоборот, неподвижное тело много легче
подвижного, то
m1 m2 ; 1
2
2 1
2
2
1 1
m
m2
m
T
T1
2
2
2
Значит, в этом случае лишь небольшая доля
кинетической энергии подвижного тела переходит в
тепло, а легкое неподвижное тело приобретает скорость,
почти равную скорости подвижного тела.

24.

2) Абсолютно упругий удар
При абсолютно упругом ударе выполняются
два закона сохранения - закон сохранения
импульса и закон сохранения механической
энергии. На рисунке скорости тел после удара
помечены штрихом.
m
'
1
m
1
1
2
m
m
2
2
'

25.

Запишем законы сохранения
'
'
m1 1 m2 2 m1 1 m2 2
2
1 1
2
2 2
' 2
1
' 2
2
m
m
m1 ( ) m2 ( )
2
2
2
2
(6.4.3)
Из них после преобразований получаем
' '
1 1 2 2
' '
1 2 2 1
(6.4.4)
Равенство (6.4.4) означает, что при абсолютно
упругом ударе относительная скорость двух шаров
сохраняет свой модуль, но меняет свое направление.

26.

Подставляя (6.4.4) в (6.4.3), получаем
' 2m2 2 ( m1 m2 ) 1
1
m1 m2
' 2m1 1 (m2 m1 ) 2
2
m1 m2
(6.4.5)

27.

Рассмотрим частные случаи.
1) Пусть шары одинаковые, и один
из шаров до удара
был неподвижным, например,
2 0
.
Тогда
'
'
2 1 ; 1 0
Значит, после удара первый шар остановился, а
второй шар движется со скоростью первого шара,
которую тот имел до удара.
Шары как бы обменялись скоростями.

28.

2) Пусть теперь массы шаров сильно отличаются,
например
m2 m1
'
'
; 1 1 2 2 ; 2 2
Следовательно:
а) 2-ой большой шар почти не меняет своего движения,
б) если до удара 2-ой большой шар был
неподвижным
, то 1-ый малый шар после
удара меняет направление своего движения на
'
противоположное
,
1
с)
1
скорость малого шара увеличивается, если большой
шар двигался ему навстречу и уменьшается, если
большой шар двигался в ту же сторону.