Начертательная геометрия. Лекция 2

1. Лекция 2

• Следы прямой линии
• Взаимное положение прямых
• Теорема о проецировании прямого угла
без искажения
• Плоскость. Способы задания плоскости. Плоскости
частного положения (уровня и проецирующие)
• Следы плоскости.
• Принадлежность точки и прямой плоскости.
• Главные линии плоскости.
• Определение угла наклона плоскости к плоскостям
проекций.

2.

Следы прямой линии
Следом прямой
называется точка
пересечения прямой с
плоскостью проекций.
Н1 – горизонтальный след
прямой;
F2 – фронтальный след
прямой.

3.

Следы прямой линии
•Чтобы найти горизонтальный след
прямой, необходимо фронтальную
проекцию отрезка продолжить до
пересечения с осью Х, восстановить
перпендикуляр к оси и найти его
пересечение с горизонтальной проекцией
прямой.
•Чтобы найти фронтальный след
прямой, необходимо горизонтальную
проекцию отрезка продолжить до
пересечения с осью Х, восстановить
перпендикуляр к оси и найти его
пересечение с фронтальной проекцией
прямой.

4. Взаимное положение прямых

Прямые между собой могут быть:
• Параллельны
• Пересекаться
• скрещиваться

5. Параллельные прямые

х
Если прямые параллельны, то их одноименные
проекции параллельны.

6.

Пересекающиеся прямые
Если прямые пересекаются, то на эпюре их
одноименные проекции пересекаются и проекции
точки пересечения лежат на одной линии связи.

7. Скрещивающиеся прямые

Если не выполняются условия параллельности
или пересечения, прямые называются
скрещивающимися

8. Скрещивающиеся прямые

а)
б)
12≡22
°
11
°
°
32
12≡22
°
°
°
°
° 42
11
°
21
31≡41
Видимость прямых
определяется с
помощью
конкурирующих точек.
Та точка видима,
которая находится
дальше от плоскости
проекций (на эпюредальше от оси)
21
Например, в случае а) на П2 проекции точек 12≡22, а на плоскости
П1 не совпадают. Прямая n находится дальше от плоскости П2 (это
видно на горизонтальной проекции, т.к. (.)21 имеет большую
координату У, чем (.)11). Следовательно, на П2 видима прямая n.

9.

Теорема о проецировании прямого угла
без искажения
•В пространстве
расположим прямой угол
П1
А
АВС параллельно
плоскости П1, он
отразится на П1 без
искажения, т.е.
LА1В1С1=90°
В
В1
А1
С
С1

10.

Теорема о проецировании прямого угла
без искажения
С*
Поднимем отрезок ВС за
вершину С . Проекция на П1
(В1С1) сократится,
но А1В1 ┴ В1С1
Если одна сторона прямого
угла параллельна плоскости, а
вторая не перпендикулярна
этой плоскости , прямой угол
проецируется на данную
плоскость без искажения
П1
А
В
С
В1
А1
С 1*
С1

11. Теорема о проецировании прямого угла

h2
h1
h ║ П1
h2
║ох, если АВ ┴
ВС
А1В 1┴ В1С1
f║П2
f2 ║ох
если КL ┴ LN,
К2L2 ┴ L2N2

12. Геометрическая модель плоскости

Плоскость задается
движением прямой
образующей линии « n »
по прямой
направляющей линии
«m» параллельно
заданному направлению
«S»

13. На чертеже плоскость можно задать: 1.тремя точками, не лежащими на одной прямой

α
α1

14. 2. Прямой и точкой, не лежащей на ней

α
α1

15. 3. Двумя параллельными прямыми

b
α
b2
α2
α1
b1
α1
b1

16. 4. Двумя пересекающимися прямыми

β
β2
β1
β1

17. 5. Отсеком плоской фигуры

18. 6. Следами

Следом плоскости называется линия пересечения данной плоскости с
какой-либо плоскостью проекций
Рп1 - горизонтальный след плоскости
Рп2 - фронтальный след плоскости
Рп3 - профильный след плоскости

19. Следы плоскости

Следы плоскости можно построить по одноименным следам двух
прямых, лежащих в этой плоскости. Например, если плоскость
задана двумя пересекающимися прямыми 1-2 и 3-4, определяем
фронтальные и горизонтальные следы этих прямых. Соответственно,
фронтальный след плоскости пройдет через проекции точек 12 и32,
горизонтальный след плоскости – через горизонтальные проекции
точек 41 и21
а

20. Плоскости уровня Горизонтальная плоскость уровня

α2
α2
α3
α3
α
α1
α1
Горизонтальной плоскостью уровня называется плоскость,
параллельная горизонтальной плоскости проекций. На плоскость П1
она проецируется в неограниченное множество точек, на П2 и П3 – в
прямую, параллельную осям ОХ и ОУ соответственно

21. Фронтальная плоскость уровня

β3
β2
β
β1
β2
β3
β1
Фронтальной плоскостью уровня называется плоскость,
параллельная фронтальной плоскости проекций.
На плоскость П2 она проецируется в неограниченное множество точек;
на П1 – в прямую, параллельную оси ОХ ; на П3 – в прямую,
перпендикулярную оси ОУ

22. Профильная плоскость уровня

γ3
γ2
γ1
γ
γ2
γ3
γ1
Профильной плоскостью уровня называется плоскость,
параллельная профильной плоскости проекций.
На плоскость П3 она проецируется в неограниченное множество точек,
на П2 и П1 – в прямую, перпендикулярную оси ОХ

23. Проецирующие плоскости. Свойства проецирующих плоскостей.

αП2
αП2
α
α1≡ αП1
α1= αП1
Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости
проекций, называется проецирующей плоскостью.
Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости
проекций, называется горизонтально-проецирующей
плоскостью. На П1 она проецируется в линию, на П2 –в
неограниченное множество точек.

24. Фронтально -проецирующая плоскость

β2 ≡βП2
β2= βП2
βП1
β
βП1
β1
Фронтально-проецирующей называется плоскость,
перпендикулярная фронтальной плоскости проекций. На
П2 она проецируется в линию, на П1 –в неограниченное
множество точек. Фронтальный след этой плоскости
совпадает с проекцией плоскости на П2 (β2 = βП2)

25. Профильно-проецирующая плоскость

γП2
γП2
γ 3=γП3
γ
γ1
γ П3≡γ3
γП1
γ П1
Профильно-проецирующей называется плоскость,
перпендикулярная профильной плоскости проекций.
На П1 иП2 она проецируется в неограниченное
множество точек. Проекция на П3 совпадает с
профильным следом плоскости (γ
γ
П3= 3).

26. Принадлежность прямой плоскости

b
b1
b2
b1
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит
через две точки, принадлежащие этой плоскости.

27. Принадлежность прямой плоскости

1
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через
точку, принадлежащую этой плоскости и параллельна какойлибо прямой, лежащей в этой плоскости
n║c
n1║c1
n2║c2

28. Принадлежность точки плоскости

b
b2
b1
b1
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на
прямой, принадлежащей данной плоскости

29. Главные линии плоскости: линии уровня и линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций Горизонталь

b2
αП2
h2
α
h2
h
h1
αП1≡ h0
h ║ h0
h ║ h1 ;
h1 ║
h0 ; h2 ║ ох
;
h1
b1

30. Главные линии плоскости Фронталь

a2
b2
α
αП2
αП1
a1
b1

31. Линия наибольшего наклона плоскости- прямая, лежащая в плоскости, составляющая с плоскостью проекций максимальный угол и перпендикулярна

Линия наибольшего наклона плоскости- прямая,
лежащая в плоскости, составляющая с плоскостью
проекций максимальный угол и перпендикулярная
соответствующей линии уровня (при определении угла наклона
к П1 – к горизонтали, при определении угла наклона к П2- к фронтали)
Дана плоскость Р
Р
90°
Определить угол наклона плоскости Р
к плоскости проекций П1
Пусть [ А В ] – линия наибольшего
наклона плоскости Р
α
РП1
90°
Тогда [ А В ] ┴ РП1
[ MN ] ║П1 → [ А В ] ┴ [ MN ]
[ МВ ] ║ П1 ; ∟ МВА = ∟ М1В1А1 = 90°
[ А1В1 ] ┴ [ M1N1 ];
α = ∟ В А В1

32. Определение угла наклона плоскости общего положения к плоскости проекций

• Угол наклона плоскости общего положения к
какой-либо плоскости проекций равен углу
между натуральной величиной линии
наибольшего наклона плоскости и ее
проекцией на заданную плоскость проекций.

33. Задача: Определить угол наклона плоскости ΔАВС к горизонтальной плоскости проекций

В2
А2
С2
х
А1
С1
В1
Задача: Определить
угол наклона плоскости
ΔАВС к горизонтальной
плоскости проекций

34. 1.Т.к. ищем угол наклона к плоскости П1, необходимо задать в плоскости ΔАВС горизонталь на любой высоте, например через точку С. Чтобы горизон

Решение:
В2
h2
А2
С2
°12
х
А1
С1
В1
1.Т.к. ищем угол наклона к
плоскости П1, необходимо
задать в плоскости ΔАВС
горизонталь на любой высоте,
например через точку С.
Чтобы горизонталь лежала в
плоскости треугольника,
необходимо, чтобы две её
точки принадлежали ΔАВС фиксируем вторую точку на
прямой АВ (12).

35. Находим вторую проекцию горизонтали (h1)

В2
h2
С2
°12
А2
х
А1
h1
°
11
С1
В1

36. 2. Линия наибольшего наклона (Л.Н.Н.) плоскости (ВО) перпендикулярна к горизонталям данной плоскости. Следовательно, можно построить проекци

В2
h2
С2
°12
А2
х
А1
h1
°
11
О1
°
°
В1
С1
Л.н.н.
2. Линия наибольшего наклона
(Л.Н.Н.) плоскости (ВО)
перпендикулярна к
горизонталям данной
плоскости. Следовательно,
можно построить проекции
Л.Н.Н. Т.к. одна сторона
прямого угла является
горизонталью, прямой угол
проецируется на П1 без
искажения. Строим В1О1┴h1.

37. Определяем по линии связи фронтальную проекцию(.)О - О2. В2О2 – фронтальная проекция линии наибольшего наклона плоскости к П1(линии ската)

В2
h2
°12
А2
О2
°
С2
х
Определяем по линии связи
фронтальную проекцию(.)О О2.
В2О2 – фронтальная
проекция
линии наибольшего наклона
плоскости к П1(линии ската)
А1
h1
°
11
О1
°
В1
С1

38. Угол наклона плоскости общего положения к плоскости П1 равен углу между линией наибольшего наклона и её горизонтальной проекцией. Следова

В2
Δz
h2
°12
А2
О2
°
С2
х
А1
h1
°
11
О1
°
В1
С1
Угол наклона плоскости
общего положения к плоскости
П1 равен углу между линией
наибольшего наклона и её
горизонтальной проекцией.
Следовательно необходимо
найти натуральную величину
ВО, сделав построения на
плоскости П1.
Построим прямоугольный
треугольник, у которого один
катет – проекция ВО на
П1(В1О1), а второй катет равен
разности высот точек В и О
(Δz)

39. Натуральная величина отрезка ВО- гипотенуза треугольника. Угол наклона плоскости ΔАВС к плоскости П1- угол α (величину которого можно измер

В2
Δz
h2
°12
А2
О2
°
С2
х
Δz
А1
h1
°
11
Н.в.[ВО]
О1
α °
В1
С1
Натуральная величина
отрезка ВО- гипотенуза
треугольника.
Угол наклона плоскости
ΔАВС к плоскости П1- угол
α (величину которого
можно измерить с
помощью транспортира)