Комплексные чертежи линий

1.

Лекции по начертательной
геометрии
Комплексные чертежи линий

2. Разновидности линий

РАЗНОВИДНОСТИ ЛИНИЙ
Линии: прямые, ломаные и кривые.
С их помощью строят изображения
предметов на чертеже.
Ломаные и кривые линии могут быть
плоскими и пространственными;
замкнутыми и незамкнутыми.
Прямые: общего положения,
линии уровня, проецирующие.

3. Кривая а(1, 2, 3, 4, 5)

Для построения чертежа кривой линии а необходимо
зафиксировать на ней достаточное количество точек.
Спроецировать эти точки. Затем соединить проекции точек
плавной кривой.

4. Проекции окружности а(а1, а2) замкнутая, плоская кривая

5. Ломаная а(А, В, С, D)

Ломаная а(А, В, С, D) состоит из отрезков прямых, имеющих общие
вершины [АВ], [BC], [CD]. Для построения чертежа ломаной
достаточно спроецировать ее вершины. Затем соединить проекции
вершин отрезками прямых.

6. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ Свойства прямой линии

Через любые две различные точки
проходит одна и только одна прямая.
Две различные прямые могут иметь
не более одной общей точки.

7. Положение прямых в пространстве

• Прямые общего положения - не параллельны и не
перпендикулярны ни одной плоскости проекций.
• Прямые уровня – параллельны плоскостям проекций:
– фронталь (f) - параллельна П2
– горизонталь (h) - параллельна П1
– профильная прямая (p) - параллельна П3
• Проецирующие прямые - перпендикулярны
плоскостям проекций:
горизонтально-проецирующая – перпендикулярна П1
фронтально-проецирующая – перпендикулярна П2
профильно-проецирующая – перпендикулярна П3

8. Прямая общего положения l(А,В)

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни
одной из плоскостей проекций (П1 ,П2, П3), называется
прямой общего положения.
Разности координат точек (А,В), задающих прямую l, не
равны нулю.

9. Построение комплексного чертежа прямой l по разности координат двух ее точек А и В. Три проекции точки А заданы.

10. Определение положения вертикальной линии связи для проекций точки В

Координата X точки В меньше координаты X точки А. Отмеряем
30 мм вправо (так как координата X увеличивается влево) и
проводим вертикальную линию связи для нахождения проекций
точки В.

11. Построение фронтальной проекции (В2) точки В

Точка В выше точки А на 15 мм. Отмеряем вверх от
фронтальной проекции (А2) точки А по линии связи
разность высот и фиксируем фронтальную проекцию (В2)
точки В.

12. Построение горизонтальной проекции (В1) точки В

Координата Y точки В меньше координаты Y точки А на 20 мм.
Отмеряем 20 мм по вертикальной линии связи вверх от уровня А1
(так как точка В ближе к плоскости П2, чем точка А) и фиксируем
горизонтальную проекцию (В1) точки В.

13. Построение профильной проекции (В3) точки В

Из В2 проводим горизонтальную линию связи.
Отмеряем разность координат YA-YB = 2 0 мм
по линии связи от А3 влево, так как на плоскости П3
координаты Y нарастают вправо.

14. Построение проекций прямой l

На плоскости П2 проводим фронтальную проекцию l2 прямой l через
фронтальные проекции её точек А2 и В2.
На плоскости П1 проводим горизонтальную проекцию l1 прямой l через
горизонтальные проекции её точек А1 и В1.
На плоскости П3 проводим профильную проекцию l3 прямой l через
профильные проекции её точек А3 и В3.

15. Прямые уровня занимают частное положение Горизонталь - линия параллельная П1

α – угол наклона прямой к П1
β – угол наклона прямой к П2
γ – угол наклона прямой к П3
Так как горизонталь h(h1,h2,h3) параллельна плоскости П1, ее отрезок [AB]
проецируется на эту плоскость в натуральную величину (без искажения)
IABI=IA1B1I. Углы наклона горизонтали к плоскостям проекций П2 (β)
и П3 (γ) проецируются на П1 в натуральную величину.

16. Построить комплексный чертеж прямой по разности координат двух ее точек А и В. Три проекции точки А заданы.

Так как разность высот точек линии равна нулю, линия параллельна
плоскости П1 - горизонталь. Построение чертежа горизонтали следует
начинать с фронтальной проекции (h2).
Она составляет угол 90° с вертикальной линией связи.

17. Построение фронтальной проекции (h2) горизонтали

Координата X точки В меньше координаты X точки А. Отмеряем 25 мм
вправо (так как координата X увеличивается влево) и проводим
вертикальную линию связи для нахождения проекций точки В. На высоте
точки А фиксируем фронтальную проекцию В2.

18. Построение горизонтальной проекции (h1) горизонтали

Координата Y точки В больше координаты Y точки А на 15 мм. Отмеряем
15 мм по вертикальной линии связи вниз от уровня А1 (так как точка В
дальше от плоскости П2, чем точка А) и фиксируем горизонтальную
проекцию (В1) точки В. Через А1 и В1 проводим h1.

19. Построение профильной проекции (h3) горизонтали

Из В2 проводим горизонтальную линию связи. Отмеряем
разность координат YB -YA = 15 мм по линии связи от А3 вправо,
так как на плоскости П3 координаты Y нарастают вправо, и
фиксируем В3. Через А3 и В3 проводим профильную проекцию
(h3) горизонтали.

20. Фронталь - линия параллельная плоскости П2

Так как фронталь f(f1,f2,f3) параллельна плоскости П2, ее отрезок [AB]
проецируется на эту плоскость в натуральную величину (без
искажения) IABI=IA2B2I. Углы наклона фронтали к плоскостям
проекций П1 (α) и П3 (γ) проецируются на П2 в натуральную
величину.

21. Построить комплексный чертеж прямой по разности координат двух ее точек А и В. Две проекции точки А заданы.

Так как разность глубин точек линии равна нулю, линия
параллельна плоскости П2 - фронталь. Построение чертежа
фронтали следует начинать с горизонтальной проекции (f1).
Она составляет угол 90° с вертикальной линией связи.

22. Построение горизонтальной проекции (f1) фронтали

Координата X точки В меньше координаты X точки А. Отмеряем 30 мм
вправо (так как координата X увеличивается влево) и проводим
вертикальную линию связи для нахождения проекций точки В.
На пересечении перпендикуляра из А1 и вертикальной линии связи
фиксируем горизонтальную проекцию В1. Через А1 и В1 проводим f1.

23. Построение фронтальной проекции (f2) фронтали

Точка В выше точки А на 15 мм. Отмеряем вверх от
фронтальной проекции (А2) точки А по линии связи
разность высот и фиксируем фронтальную проекцию (В2)
точки В. Через А2 и В2 проводим f2.

24. Построение профильной проекции (f3) фронтали

Из В2 и А2 проводим горизонтальные линии связи. Зафиксируем В3 .
Проводим профильную проекцию (f3) под углом 90° к линии связи
так как разность координат YB -YA = 0 мм. В пересечении f3 и
горизонтальной линии связи из А2, определим А3.

25. Профильная прямая - линия параллельная плоскости П3

Так как профильная прямая p(p1,p2, p3) параллельна плоскости П3, ее
отрезок [AB] проецируется на эту плоскость в натуральную величину
(без искажения) IABI=IA3B3I. Углы наклона профильной прямой к
плоскостям проекций П1 (α) и П2 (β) проецируются на П3 в
натуральную величину.

26. Построить комплексный чертеж прямой по разности координат двух ее точек А и В. Три проекции точки А заданы.

Так как разность широт точек линии равна нулю, линия параллельна
плоскости П3 - профильная прямая. Построение чертежа профильной
прямой начнём с фронтальной проекции (p2). Она составляет угол 0°
с вертикальной линией связи.

27. Построение фронтальной проекции (p2) профильной прямой p

Точка А выше точки В на 15 мм. Отмеряем вниз от фронтальной
проекции (А2) точки А по линии связи разность высот и фиксируем
фронтальную проекцию (В2) точки В. Через А2 и В2 проводим
фронтальную проекцию (p2) профильной прямой p.

28. Построение горизонтальной проекции (p1) профильной прямой p

Координата Y точки В больше координаты Y точки А. Отмеряем 20
мм в сторону увеличения координаты Y (по вертикальной линии
связи) и фиксируем горизонтальную проекцию (В1) точки В. Через
А1 и В1 проводим горизонтальную проекцию (p1) профильной
прямой p.

29. Построение профильной проекции (p3) профильной прямой p

Из В2 проводим горизонтальную линию связи. Отмеряем разность
координат YB -YA = 20 мм по линии связи от А3 вправо, так как на
плоскости П3 координаты Y нарастают вправо, и фиксируем В3. Через
А3 и В3 проводим профильную проекцию (p3) профильной прямой p.

30. Условие обратимости комплексного чертежа линии уровня

Двух проекционный комплексный чертеж линии уровня
обратим только в том случае, если он содержит проекцию
прямой на параллельную ей плоскость проекций.

31.

Проецирующие прямые занимают частное положение
Горизонтально-проецирующая прямая перпендикулярна
горизонтальной плоскости проекций (П1)
IABI
IABI
∆X=0
∆Y=0
А,В - горизонтально конкурирующие точки.
Точка В выше точки А.

32. Построить комплексный чертеж прямой q(AB) по разности координат двух ее точек А и В. Проекции точки А не заданы.

Так как разность широт и глубин точек линии равна нулю, линия
перпендикулярна плоскости П1 – горизонтально проецирующая.
Построение чертежа горизонтально проецирующей линии следует
начинать с горизонтальной проекции (q1). Вся линия q(AB) на плоскость П1
проецируется в точку.

33. Построение горизонтальной проекции (q1) горизонтально проецирующей прямой q

Мысленно делим свободное пространство на три плоскости П1, П2 и
П3. На П1 фиксируем горизонтальную проекцию (q1) горизонтально
проецирующей прямой q.

34. Построение фронтальной проекции (q2)

Из q1 проводим вертикальную линию связи и фиксируем на ней
фронтальную проекцию (В2) точки В так как высота (координата Z)
точки В больше высоты точки А.

35. Построение фронтальной проекции (q2)

Отмеряем вниз по линии связи разность высот точек А и В (20 мм)
и наносим на чертёж фронтальную проекцию (А2) точки А. Через
А2 и В2 проводим фронтальную проекцию (q2) прямой q.

36. Построение профильной проекции (q3)

Расстояние от В2 до В3
выбираем
из условия компоновки
чертежа
Из В2 и А2 проводим горизонтальные линии связи. Фиксируем на
плоскости П3 профильную проекцию (В3) точки В. Через В3 проводим
профильную проекцию (q3) прямой q под углом 90° к горизонтальной
линии связи. В пересечении q3 с горизонтальной линией связи из А2
находим А3.

37.

Фронтально-проецирующая прямая
перпендикулярна фронтальной плоскости (П2)
IABI
IABI
А,В - фронтально конкурирующие точки.
Точка В ближе к наблюдателю (дальше от П2) точки А.

38. Построить комплексный чертеж прямой i(AB) по разности координат двух ее точек А и В. Проекции точки А не заданы.

Так как разность широт и высот точек линии равна нулю, линия
перпендикулярна плоскости П2 – фронтально проецирующая.
Построение чертежа фронтально проецирующей следует начинать с
фронтальной проекции (i2). Вся линия i(AB) на плоскость П2 проецируется в
точку.

39. Построение фронтальной проекции (i2) фронтально проецирующей прямой i

Мысленно делим свободное пространство на три плоскости П1, П2
и П3. На П2 фиксируем фронтальную проекцию (i2) фронтально
проецирующей прямой i.

40. Построение горизонтальной проекции (i1)

Из i2 проводим вертикальную линию связи и фиксируем на
ней горизонтальную проекцию (В1) точки В, так как глубина
(координата Y) точки В больше глубины точки А..

41. Построение горизонтальной проекции (i1) фронтально проецирующей прямой i

Отмеряем вверх по линии связи разность глубин точек А и В (20мм)
и наносим на чертёж горизонтальную проекцию (А1) точки А. Через
А1 и В1 проводим горизонтальную проекцию (i1) прямой i..

42. Построение профильной проекции (i3) фронтально проецирующей прямой i

Из В2 и А2 проводим горизонтальную линию связи. Фиксируем на
плоскости П3 профильную проекцию (В3) точки В. Отмеряем влево по
линии связи разность глубин точек А и В (20 мм) и фиксируем
профильную проекцию А3 точки В. Через В3 и А3 проводим профильную
проекцию (i3) фронтально проецирующей прямой i.

43.

Профильно проецирующая прямая g(g1,g2,g3)
IABI
IABI
∆Y=0
∆Z=0
А,В - профильно конкурирующие точки
Точка А дальше от плоскости П3, чем точка В.

44. Построить комплексный чертеж прямой g(АВ) по разности координат двух ее точек А и В. Проекции точки А не заданы.

Так как разность глубин и высот точек линии равна нулю, линия
перпендикулярна плоскости П3 – профильно проецирующая.
Построение чертежа профильно проецирующей следует начинать с
профильной проекции (g3). Вся линия g(AB) на плоскость П3 проецируется
в точку.

45. Построение профильной проекции (g3) профильно проецирующей прямой g(А,В)

Мысленно делим свободное пространство на три плоскости
П1, П2 и П3. На П3 фиксируем профильную проекцию (g3)
профильно проецирующей прямой g(А,В). Оставить место для
построений на П1 и П2!

46. Построение фронтальной проекции (g2) профильно проецирующей прямой g

Из g3 проводим горизонтальную линию связи и фиксируем на ней
фронтальную проекцию (А2) точки А, так как широта (координата X)
точки А больше широты точки В..

47. Построение фронтальной проекции (g2) профильно проецирующей прямой g

Отмеряем вправо по линии связи разность широт точек А и В
(20мм) и фиксируем фронтальную проекцию В2 точки В.
Через В2 и А2 проводим фронтальную проекцию (g2)
профильно проецирующей прямой g.

48. Построение горизонтальной проекции (g1) профильно проецирующей прямой g

Из А2 и В2 проводим вертикальной линии связи. Фиксируем
горизонтальную проекцию (А1) точки А. Координаты Y точки В и точки А
одинаковы. Через А1 и проводим горизонтальную проекцию (g1)
профильно проецирующей прямой p под углом 90° к линии связи.
Фиксируем горизонтальную проекцию (В1) точки В.

49. Относительное положение прямых в пространстве

1. Параллельные
m
m1
n
n1
m2
m1
n2
n1
У параллельных прямых одноимённые проекции
параллельны (m1 II n1), (m2 II n2).

50. Параллельность линий уровня

Линии уровня параллельны, если параллельны
их проекции на параллельную им плоскость

51. Параллельность линий уровня

•Линии уровня параллельны, если параллельны
их проекции на параллельную им плоскость

52. Относительное положение прямых в пространстве

2. Пересекающиеся
a
b
K
a1
b1
K1
a2
b2
K2
a1
b1
K1
У пересекающихся прямых проекции точки пересечения
(К1), (К2) должны принадлежать одной линии связи.

53. Относительное положение прямых в пространстве

3. Скрещивающиеся
см. на П1
12
3
=(4
)
a2 2 2
22
a1 41
b1
31 (21)=11
см. на П2
Одна из скрещивающихся прямых
может быть выше (ниже)
относительно П1 и дальше (ближе)
b2 относительно П2. Положение
скрещивающихся прямых
определяется с помощью
горизонтально (1, 2) и фронтально
(3, 4) конкурирующих точек
соответственно.
Точки пересечения проекций
находятся на разных линиях связи.
Относительно П1 – b над a
Относительно П2 – b перед a

54. Скрещивающиеся прямые

Точки пересечения проекций скрещивающихся
прямых находятся на разных линиях связи

55. Относительное положение точек и прямых линий

Точка может принадлежать прямой линии. В этом случае
проекции точки, принадлежащие проекциям прямой,
должны принадлежать одной линии связи.

56. Точка 1 выше прямой m

57. Точка 4 ближе к П2 ,чем прямая m. Точка 4 за прямой m.

58. Определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекций способом прямоугольного треугольника

Натуральная величина IABI отрезка [AB] прямой общего положения на
комплексном чертеже может быть определена как гипотенуза прямоугольного
треугольника, одним катетом которого будет проекция отрезка, а другим разность недостающих координат концов отрезка.

59. Определить на комплексном чертеже истинную величину отрезка [AB] и углы наклона его к плоскостям П1 и П2.

Натуральная величина IABI отрезка [AB] прямой общего положения на
комплексном чертеже может быть определена как гипотенуза прямоугольного
треугольника, одним катетом которого будет проекция отрезка, а другим разность недостающих координат концов отрезка.

60. Определение истинной величины IABI отрезка [AB] и угла α наклона его к плоскости П1.

1. Определяем разность высот (ΔZ) концов отрезка [AB] прямой общего
положения.
2. Проводим направление катета прямоугольного треугольника, одним
катетом которого будет горизонтальная проекция (A1B1) отрезка [AB].

61. Определение истинной величины IABI отрезка [AB] и угла α наклона его к плоскости П1.

3. На направлении катета откладываем разность высот (ΔZ) концов
отрезка [AB] и фиксируем вершину треугольника А0.
4. Соединив вершину прямоугольного треугольника А0 с вершиной В1,
получим истинную величину IABI отрезка [AB]
и угол α наклона его к плоскости П1

62. Определение истинной величины IABI отрезка [AB] и угла β наклона его к плоскости П2.

1. Определяем разность глубин (Δy) концов отрезка [AB] прямой общего
положения.
2. Проводим направление катета прямоугольного треугольника, одним
катетом которого будет фронтальная проекция (A2B2) отрезка [AB].

63. Определение истинной величины IABI отрезка [AB] и угла β наклона его к плоскости П2.

3. На направлении катета откладываем разность глубин (Δy) концов
отрезка [AB] и фиксируем вершину треугольника B0.
4. Соединив вершину прямоугольного треугольника B0 с вершиной A2,
получим истинную величину IABI отрезка [AB]
и угол β наклона его к плоскости П2

64. Найти истинную длину ломаной линии IABCDEI= мм. Построить на [CD] точку К по условию: ICK I=20 мм.

Истинная длина отрезков проецирующих прямых IABI =IA1B1I; IВСI =IВ1С1I.
Для отрезка [CD] прямой общего положения - гипотенуза IC0D1I прямоугольного
треугольника, одним катетом которого будет проекция отрезка [C1D1] , а другим разность высот концов отрезка. Для отрезка фронтали [DЕ] истинная длина
IDЕI =ID2Е2I