Распространение теплоты в однородных материалах. Теплопроводность однослойной и многослойной плоских стенок. (Занятие 9)

1. Часть 2

Основы теории
теплообмена
Занятие 9
Распространение теплоты в однородных материалах.
Теплопроводность однослойной и многослойной плоских
стенок. Теплопроводность цилиндрической стенки

2. Теплопроводность

дифференциальное уравнение
теплопроводности
2
dt
d t
a 2
d
dx
связь между изменениями температуры в пространстве и во времени
a
с
- коэффициент температуропроводности
физический параметр, характеризующий скорость
выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле

3.

dt
0
d
- стационарное
температурное поле
Для одномерного
стационарного
поля:
2
d t
dx
2
0

4.

Для получения частного решения
требуется определить условия
однозначности:
• Геометрия тела
• с, ,
• распределение T в начальный момент
времени
• граничные условия

5.

1. Распространение теплоты в
однослойной плоской стенке
2
t
d t
t1
2
dx
После интегрирования:
t2
q
dt
С1
dx
t С1x C2
0
0
x
Где постоянные определяются
исходя из граничных условий:

6.

x 0, t t1
x , t t2
t
t1
Получаем уравнение:
t
t2
q
0
x
t1 t 2
t1
Тепловой поток определяется
из закона Фурье:
dt
q
dx

7.

dt dx
q
t
t1
После интегрирования:
q
t x C
t2
q
0
x
Используя граничные условия:
x 0, t t1
x , t t2

8.

Значение теплового потока:
t1 t2
t1 t2 t1 t2
q
t1 t2
q
R
R
R
Термическое
сопротивление
теплопроводности

9.

2. Распространение теплоты в
многослойной плоской стенке
Значение теплового потока:
t
t1
1
2
t2
q1
3
t3
t4
1
0
2
t1 t 2
1
1
q2
t 2 t3
q3
t3 t 4
q
3
x
2
2
3
3

10.

Выразим изменения
температур:
1
t1 t 2 q1
1
2
t 2 t1 q2
2
В стационарном режиме:
3
t 2 t3 q3
3
q1 q2 q3 q
Тогда, приравнивая
левые и правые части:
1 2 3
t1 t4 q
1 2 3
Значение теплового потока:
q
t1 t 4
1 2 3
1 2 3
Температура на границе
слоев:
t2 t1 qR 1
t3 t1 q R 1 R 2

11.

В общем виде:
Значение теплового потока:
t1 t n 1
q n
i
i 1 i
Падение температуры в каждом слое:
ti qR i
Температура на границе слоев:
n
tn t1 q R i
i 1

12.

3. Распространение теплоты в
однослойной цилиндрической стенке
Температура изменяется
только вдоль радиуса:
r2
r1
t1
t2
r
D1
D2
0
dt
q
dr
t2
q
x
Для трубы длиной l:
F 2 rl
dt
Q 2 rl
dr

13.

Разделяем переменные и интегрируем:
Q
dt
dr
2 rl
t2
r2
Q dr
dt
2 l r1 r
t1
Q
D2
t1 t2
ln
2 l D1

14.

Значение теплового потока:
t1 t2
Q
1
D2
ln
2 l D1
Термическое сопротивление:
1
D2
R
ln
2 l D1
R
F
F f 0,5 d1 d 2

15.

4. Многослойная цилиндрическая
стенка
Значение теплового потока:
2 l t1 t n 1
Q
1 d 2 1 d3
1 d n 1
ln ln ... ln
1 d1 2 d 2
n
dn
Термическое
сопротивление:
di 1
1
R i
ln
i 2 l
di
Температура на границе
слоев:
n
tn t1 Q R i
i 1