Тепломассообмен. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

1. Тепломассообмен 5

Теплопроводность при наличии
внутренних источников теплоты

2. А) Однородная пластина

t
Пограничные
слои
t0
tж
tc
tc
0
2
tж
x

3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

: бесконечная пластина.
В стационарном процессе: q Const; Const;t Const.
v
ж
Найти: t f ( x) ?;t ?;t ?
0
c
q
t
Дифференциальное
a 2t v .
уравнение теплопроводности:
(1)
c
При
Для стационарного процесса:
тогда
a 2t
qv
0,
c
(2) где
( t / ) 0 ,
2
2
2
t
t
t
2t 2 2 2
x y z
оператор Лапласа, тогда после деления (2) на
a /(c )
дифференциальное уравнение теплопроводности
в бесконечной пластине:
d 2 t qv
2t 2t
0.
2 2 0,
2
dx
y z
(3)

4. Граничные условия

Условия теплоотдачи одинаковы с обеих сторон пластины,
поэтому температурное поле симметричное, а тепловыделения
в обеих половинах пластины одинаковы, то есть можно рассматривать только ее правую
dt
x 0 ( ) x 0 0;
половину. Тогда граничные
dx
условия будут:
(4)
dt
x (
q
dt
v x c1,
Интегрируем (3):
dx
разделяем переменные:
dt
После второго интегрирования
имеем уравнение параболы:
qv
dx
) x (tc tж ).
(5)
xdx c1dx.
t qv x2 c1x c2
2
.
(6)

5. Константы интегрирования

Константы интегрирования находятся из граничных
условий (4) и уравнения (5) при:
x 0 c1 ( dt )x 0 0
dx
, (7)
x ( dt )x q.v
dx
q
dt
) x v (tc tж ).
dx
tc tж qv .
После сокращения на λ имеем:
Подставляем (10) в (6) при x и с учетом, что c 0:
1
2
q
получаем:
.
t tc v c2.
2
Приравнивая (10) и (11),
2
qv 2
имеем: qv
, откуда: c t qv qv .
tж
c2 ,
2
ж
2
2
Подставляем (8) в (4):
(
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)

6. Тепловой поток и температуры

Подставим константы интегрирования (7) и (12) в (6):
qv
qv 2 2 (13) уравнение параболы.
t tж
( x ),
2
Тепловой поток, отдаваемый от правой половины пластины:
Q qvV /2 qv f qf , (14) то есть:
q qv , Вт / м2.
Если температура стенки известна или вычислена
уравнению (10), то есть заданы граничные условия I рода:
t tc
t t0 tc
qv 2 2
( x ), (15) тогда при
x 0:
2
qv 2
q
tc
(16) - температура в центре.
2
2

7. Однородный цилиндр

t
Пограничные
слои
t0
tc
tc
tж
tж
0
2r0
r

8. Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

2r0 .
При стационарном режиме qv Const; Const;tж Const.
Для бесконечного цилиндрического стержня
Найти t f (r);t0;tc !
Условия теплоотдачи со всех сторон одинаковы (симметричная задача), то есть можно рассматривать только правую
половину цилиндра. Дифференциальное уравнение теплопроq
t
t
водности:
a 2t v . (1) Для стационар 0,
ного процесса:
c
тогда:
a 2t
координатах:
2t
qv
0,
c
(2)
где оператор Лапласа в
полярных (цилиндрических)
2
2
(3)
2t 1 t 1 t t
2 2 2.
2
r r r r z

9. Граничные условия

В бесконечном цилиндре температура изменяется только по
2
2
по радиусу, то есть: t t
после деления
a
2 0,
2
(2)
на:
c
z
получим дифференциальное уравнение теплопроводности
для цилиндра при стационарном режиме: d 2 t 1 dt qv
(4)
dr
2
r dr
0.
dt
)r 0 0;
Граничные условия: при
(5)
dr
dt
r
r
(
)
(tc tж ).
Найти: t f (r );t :t !
0
r
r
0 c
dr 0
2
q
r
После двойного интегрирования (4)
t v c1 nr c2. (6)
имеем:
4
r 0 (

10. Конвективная теплоотдача от цилиндра к жидкости

Определив константы интегрирования и подставив их в (6),
имеем:
- это уравнение
qv r0 qv (r02 r 2 ) (7)
t tж
,
параболы.
2
4
Температура на оси
qv r0 qv r02
t t0 tж
. (8)
цилиндра находится при r 0:
2
4
и на стенке цилиндра
qr
t tc tж v 0 .
– при r r0 :
(9)
2
Если заданы граничные условия I рода, то есть известна tc ,
тогда:
qv 2 2 (10) Удельный тепловой поток, Вт/м²
t tc (r0 r ).
находится из (9) и тепло4
та, отданная от цилиндра к окружающей его жидкости, Вт:
qr
q (tc tж ) v 0 . (11)
2
Q qF qv r0 2 r0 qv r02
2
.
(12)

11. Нестационарная теплопроводность

t
Температуры:
tж
tж
- окружающей
среды (жидкости);
tc
- поверхности
тела (стенки);
t0
- в центре тела.
tc
t0
0

12. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Нестационарная теплопроводность имеет место при
нагревании и охлаждении заготовок, пуске и отключении
теплоэнергетических установок, обжиге кирпича,
вулканизации резины. На слайде показан нагрев твердого
тела в среде с температурой t Const .
ж
Процесс описывается дифференциальным уравнением теплопроводности без внутренних источников теплоты q 0.
v
2
2
2
t
t t t (1) Условия однозначности:
a( 2 2 2 ).
● геометрические; ● физические;
x y z
● начальные: при 0 t t f ( x, y, z); ( t )
(tn 0 tж ).
0
n 0
n
● граничные условия III рода:
Решение заключается в нахождении функции:
t f ( x, y, z, , , , a,to ,tж , ).

13. Охлаждение пластины

t
0
0
2
tж
t0
x

14. Начальные и граничные условия

Рассматриваем охлаждение (нагревание) пластины при:
Const;tж Const; при : 0 t t0 Const.
Подставляем избыточную температуру пластины
t tж
в дифференциальное уравнение (1) и граничные условия.
Для бесконечной пластины
Тогда дифференциальное
уравнение примет вид:
Начальные условия: при
При
Const
:
симметричная задача, тогда
граничные условия III рода:
2
:
( t / y) ( t / z) 0 .
t
2 t
2
a 2 ; a 2 .
x
x
0 0 t0 tж.
При : x 0 (
x (
(2)
(3)
) x 0 0;
x
) x x .
x
(4)

15. Разделение переменных

Решение дифференциального уравнения (2) ищем в виде:
произведения двух функций, из которых одна является
только функцией времени
, другая – только функцией х.
f ( , x) ( ) ( x).
(5)
Подставляем (5) в (2):
( )
2 ( x)
( x) a
( ), или: '( ) ( x) a "( x) ( ).
2
x
'( ) "( x)
a
.
Разделим переменные:
( )
( x)
Так как левая часть уравнения (6) является только
функцией
, а правая – только х, то равенство (6) имеет
место при любых их значениях. Тогда левая и правая части
этого уравнения равны константе. Пусть это будет k 2.
(6)

16. Решение в общем виде

'( )
ak 2 0;
1 '( ) "( x)
2
k , то есть: ( )
a ( ) ( x)
"( x) k 2 ( x) 0.
(7)
(8)
Получилась система дифференциальных уравнений (7)
и (8), которой удовлетворяют соответственно функции:
ak 2 ;
( ) c1e
(x) c2 sin(kx) c3 cos(kx) .
Подставляя их в (5), получим:
2
ak
[c2 sin(kx) c3 cos(kx)]c1e
.
При граничных условиях на оси:
производная от (9): (
(9)
x 0 ( )x 0 0:
x
2
ak
) x 0 c1e
k[c2 cos(kx) c3 sin(kx)] 0,
x

17. Константы интегрирования

Так как
c1e ak
2
0,
то
или: c2 cos0 c3 sin0. При:
[c2 cos(kx) c3 sin(kx)] 0,
sin0 0,
c3 0;
а при cos0 0, c2 0.
Таким образом, решение ( x) c2 sin(kx) надо отбросить,
как не удовлетворяющее граничным условиям.
Тогда при c 0;c c A уравнение (9) запишется в виде:
2
1 3
(10)
ak 2
Ae
или с учетом граничных
условий на поверхности:
cos(kx),
x ( ) x x
x

18. Аналитическое решение

ak 2
sin(k ) Ae
cos(k ).
то есть
2
После сокращения на Ae ak : k sin(k ) cos(k ),
k k
2
ak
kAe
или: ctg (k )
. Здесь
(11)
Bi число (критерий)
Био – соотношение конвективной теплоотдачи снаружи и
теплопроводности внутри тела.
Обозначив
k ,
получим:
ctg
Bi
.
(12)
Уравнение (12) можно решить графически (см. следующий
слайд).

19. Графическое решение уравнения охлаждения (нагревания) пластины

y
y1 ctg 1 y1 ctg 2 y1 ctg 3
y2
Bi
1
2
2 3
3

20. Результаты графического решения

При Bi : y2
Bi
0,
то есть функция
y2
совпадает
то есть функция
y2
совпадает
3
5
1 ; 2 ; 3 ;... n (2n 1) .
2
2
2
2
с осью абсцисс, то есть:
При Bi 0: y
2
Bi
,
с осью ординат, при этом:
Каждому
i
1 0; 2 ; 3 2 ;... n (n 1) .
соответствует свое частное распределение
избыточных температур
i
, которое не является решением
дифференциального уравнения (2).
Решение можно представить в виде суммы ряда
где достаточно иметь n = 4
n
i ,
1
( 1, 2, 3, 4 ) , значения которых
при Bi = 0 - ∞ приведены в таблице на следующем слайде.

21. Значения для пластины

Значения
i
для пластины
Bi
1
2
3
1,571
4,712
7,854
11.00
2,747
1,169
3,771
6,674
9,701
1,000
0,8603
3,426
6,437
9,529
0,3640
0,5885
3,253
6,341
9,463
0,0000
0,0000
3,142
6,283
9,425
4

22. Условия на оси пластины

x
a
; X ; Fo 2
0
В безразмерном виде:
здесь число Fo (критерий) Фурье – безразмерное время.
Для Fo 0,3 , с достаточной точностью, можно ограничиться
только первым членом ряда : , тогда:
1
(13)
2sin 1
2
Пусть
1 sin 1 cos 1
cos( 1 X )exp( 1 Fo).
2sin 1
D1, тогда: D1 cos( 1 X )exp( 12 Fo). (14)
1 sin 1 cos 1
На оси пластины X
x
0;cos0 1, обозначим D1 cos0 N ( Bi).
Итак, безразмерный избыток
температуры на оси пластины:
X 0 N (Bi)exp( 12 Fo). (15)

23. Условия на поверхности пластины

На поверхности пластины: X
x
1;cos( 1 X ) cos 1.
Введем обозначение D1 cos 1 P( Bi), тогда:
X 1 P(Bi)exp( 12 Fo).
(16)
Функции N (Bi), P(Bi) табулированы и могут быть взяты из
справочника. Логарифмируя (15), получим:
n( ) X 0 nN (Bi) 12 Fo,
то есть в логарифмических координатах эта зависимость
прямолинейна.
То же самое для уравнения (16). Решения для уравнений
(15) и (16) могут быть найдены графически.
(17)

24. Графические решения

На оси пластины:
X 0 t x 0 tж
(18)
На поверхности пластины:
X 1 t x tж
(19)
t0 t ж
t0 t ж
Точные графики для оси пластины (Х = 0) и для ее
поверхности (Х = 1) есть в учебнике Исаченко, В.П.
«Теплопередача».
По этим графикам находятся сначала избыточные
температуры X 0; X 1 на оси и на поверхности в К,
после чего по уравнениям (18) и (19) соответственно
определяются сами температуры пластины t ,t
в С.
x 0 x
На следующем слайде показан вид такого графика.

25. График логарифмический

f (Bi, Fo)
1
t x tж
t0 t ж
Bi 0,1
0,1
Bi 0,5
Bi 1
0,01
0
Fo a 2
10
20
30