Проблемы энерго- и ресурсосбережения
Нестационарная теплопроводность
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Охлаждение пластины
Начальные и граничные условия
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Решение
Графическое решение уравнения охлаждения (нагревания) пластины
Результаты графического решения
Значения для пластины
Решение
Решение
Решение
Температура
Решение
Решение
Температура
Температура
Температура
Температура
Тепловой поток
Количество теплоты
График логарифмический
.
.
.
.
.
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Охлаждение бесконечного цилиндра
Температура
Температура
Температура
ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА
ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА
ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА
Температура
Температура
Вопросы к экзамену
638.50K
Category: physicsphysics

Охлаждение бесконечных тел. Нестационарная теплопроводность

1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения

Охлаждение бесконечных
тел

2. Нестационарная теплопроводность

t
Температуры:


- окружающей
среды (жидкости);
tc
- поверхности
тела (стенки);
t0
- в центре тела.
tc
t0
0

3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Нестационарная теплопроводность имеет место при
нагревании и охлаждении заготовок, пуске и отключении
теплоэнергетических установок, обжиге кирпича,
вулканизации резины. На слайде показан нагрев твердого
тела в среде с температурой t Const .
ж
Процесс описывается дифференциальным уравнением теплопроводности без внутренних источников теплоты q 0.
v
2
2
2
t
t t t (1) Условия однозначности:
a( 2 2 2 ).
● геометрические; ● физические;
x y z
● начальные: при 0 t t f ( x, y, z); ( t )
(tn 0 tж ).
0
n 0
n
● граничные условия III рода:
Решение заключается в нахождении функции:
t f ( x, y, z, , , , a,to ,tж , ).

4. Охлаждение пластины

t
0
0
2

t0
x

5. Начальные и граничные условия

Рассматриваем охлаждение (нагревание) пластины при:
Const;tж Const; при : 0 t t0 Const.
Подставляем избыточную температуру пластины
t tж
в дифференциальное уравнение (1) и граничные условия.
Для бесконечной пластины
Тогда дифференциальное
уравнение примет вид:
Начальные условия: при
При
Const
:
симметричная задача, тогда
граничные условия III рода:
2
:
( t / y) ( t / z) 0 .
t
2t
2
a 2; a 2 .
x
x
0 F ( x).
При : x 0 (
x (
(2)
(3)
) x 0 0;
x
) x x .
x
(4)

6. Решение

Решение дифференциального уравнения (2)
ищем в виде произведения двух функций, из
которых одна является только функцией
времени , другая – только функцией х.
f ( , x) ( ) ( x).
Подставляем (5) в (2):
(5)
( )
2 ( x)
( x) a
(
)
2
x
'( ) "( x)
a
.
'( ) ( x) a "( x) ( )
( )
( x) (6)

7. Решение

Так как левая часть уравнения (6) является только
функцией , а правая – только х, то равенство (6)
имеет место при любых их значениях. Тогда левая и
правая части этого уравнения равны константе. Пусть
это будет k 2.
1 '( )
"( x)
k 2 ,
a ( ) ( x)
'( )
ak 2 0;
( )
"( x) k 2 ( x) 0.
(7)
(8)

8. Решение

d
2
aκ 0;

d
d
2
aκ dτ
aκ 2 dτ
Решим (7)
ln -aκ τ C
2
C1e
e
- aκ 2 τ
-aκ τ c
2
;

9. Решение

Решим (8)
d x
2
dx
2
κ x 0;
2
x C2 cos κx C3 sin κx

10. Решение

Общее решение:
x, C1e
2
- aκ τ
C2 cos κx C3 sin κx
(9)

11. Решение

Решение (9) подчиним граничному условию (3):
x
C1e
x 0
-aκ 2 τ
C2 κ sin κx C3 κcos κx 0;
x 0
C2 κsin κx x 0 C3 κ cos κx x 0 C3 0
x, τ Ae
-aκ 2 τ
cos κx
(10)

12. Решение

Подчиним решение (10) граничному условию (4):
κAe
α - aκ 2 τ
sin κδ Ae
cos κδ ;
λ
α
κ sin κδ cos κδ ;
λ
-aκ 2 τ
κλ
ctg κδ .
α
(11)

13. Решение

Обозначим
μ n κδ,
тогда
μn
κ
.
δ
Уравнение (11) примет вид:
μnλ
ctg μ n ;
αδ
где
αδ
Bi
λ
μn
ctg μ n ,
Bi
(12)

14. Графическое решение уравнения охлаждения (нагревания) пластины

y
y1 ctg 1 y1 ctg 2 y1 ctg 3
y2
Bi
1
2
2 3
3

15. Результаты графического решения

При Bi : y2
Bi
0,
то есть функция
y2
совпадает
то есть функция
y2
совпадает
3
5
1 ; 2 ; 3 ;... n (2n 1) .
2
2
2
2
с осью абсцисс, то есть:
При Bi 0: y
2
Bi
,
с осью ординат, при этом:
Каждому
i
1 0; 2 ; 3 2 ;... n (n 1) .
соответствует свое частное распределение
избыточных температур
i
, которое является решением
дифференциального уравнения (2).
Решение можно представить в виде суммы ряда
где достаточно иметь n = 4
n
i ,
1
( 1, 2, 3, 4 ) , значения которых
при Bi = 0 - ∞ приведены в таблице на следующем слайде.

16. Значения для пластины

Значения
i
для пластины
Bi
1
2
3
1,571
4,712
7,854
11.00
2,747
1,169
3,771
6,674
9,701
1,000
0,8603
3,426
6,437
9,529
0,3640
0,5885
3,253
6,341
9,463
0,0000
0,0000
3,142
6,283
9,425
4

17. Решение

Таким образом, решение уравнения (10) можно
представить как множество решений
соответствующее каждому значению
n
μ12
-a 2
μ .
μ1
1 x, τ A1e
cos x ;
δ
2
μ
-a 22 τ
μ2
δ
2 x, τ A2e
cos x ;
δ
………………………………………………………………..
μ 2n
-a 2 τ
μn
δ
n x, τ An e
cos x .
δ
δ
τ

18. Решение

Решение уравнения можно представить как сумму
частных решений:
x, τ An exp μ Fo cos μ n X ,
n 1

где Fo 2
δ
x
X
δ
2
n
- число Фурье;
- безразмерная координата
(13)

19. Решение

Коэффициент An найдём из начального условия (3):
F x An cos μ n X ;
n 1
δ
μn
An
F x cos μ n X dx. (14)
δ μ n sin μ n cos μ n δ
(13) и (14) есть искомое решение задачи.

20. Температура

При Fo 0,3 можно ограничится одним членом ряда,
тогда
x, τ A1 exp μ Fo cos μ1 X ;
2
1
δ
μ1
A1
F x cos μ1 X dx.
δ μ1 sin μ1 cos μ1 δ

21. Решение

Пусть
δ
F x 0 const, тогда
x
δ 0 cos μ n δ dx
δ
sin μ n δ sin μ n
δ
2 0 sin μ n ;
μn
δ
0
μn
δ
δ

22. Решение

.
μ n 2 0δsin μ n
An
;
δ μ n sin μ n cosμ n μ n
2 0sin μ n
An
.
μ n sin μ n cos μ n

23. Температура

2 0 sin μ1
x, τ
exp μ12 Fo cos μ1 X ;
μ1 sin μ1 cos μ1
x, τ
θ x,Fo D1 exp μ12 Fo cos μ1 X ,
0
где
2sin μ1
D1
.
μ1 sin μ1 cos μ1

24. Температура

В размерном виде:
t tж
2
D1 exp μ1 Fo cos μ1 X ,
t0 t ж
2 aτ
x
t tж t0 tж D1 exp μ1 2 cos μ1
δ
δ

25. Температура

Температура в центре пластины:
2 aτ
t 0, τ tж t0 tж D1 exp μ1 2
δ
Температура на поверхности пластины:
2 aτ
t δ,τ tж t0 tж D1 exp μ1 2 cos μ1.
δ

26. Температура

Средняя температура по толщине пластины:
δ
1
t x , τ t x , τ dx
δ0
1
2 aτ δ
tж δ t0 tж D1 exp μ1 2 sin μ1 .
δ
δ μ1

27. Тепловой поток

Тепловой поток определяется по закону Фурье:
dt
q -λ
dx
2 aτ μ1
x
t0 tж D1 exp μ1 2 sin μ1 .
δ δ
δ

28. Количество теплоты

Количество теплоты, отданное пластиной в процессе
охлаждения, определяется по формуле:
Qτ 2cρδf t0 t
Полное количество теплоты, отданное пластиной за
весь период охлаждения, определяется по
формуле:
Qτ 2cρδf t0 tж

29. График логарифмический

f (Bi, Fo)
1
t x tж
t0 t ж
Bi 0,1
0,1
Bi 0,5
Bi 1
0,01
0
ln(Fo a 2 )
10
20
30

30. .

Внутренняя задача
● Частный случай (А):
Bi
(практически Bi >100): Bi – число (критерий) Био:
соотношение конвективной
/
1
(Bi
) ; 0; , теплоотдачи снаружи и теплопроводности внутри тела.
1/
В данном случае очень интенсивное наружное охлаждение,
поэтому температура поверхности пластины, погруженной
в жидкость, сразу становится равной температуре жидкости.
Распределение температур в пластине зависит от ее
теплопроводности λ и геометрических размеров
от условий внутри пластины (внутренняя задача).
.
, то есть

31. .

А) Внутренняя задача Bi
В) Внешняя задача Bi 0
.
Fo1 Fo2 Fo3
Fo 0
1
Fo 0
1
Fo1
Fo1
А)
Fo2
Fo2
.
Fo3
Fo3
0
В)
x
0
x

32. .

Внешняя задача
● Частный случай (В):
Bi 0
(практически Bi < 0,1),
Bi ( / ) 0; 0;
1/
теплопроводность (λ)
значительная.
Из-за высокого коэффициента теплопроводности пластины
температуры в ней быстро выравниваются. Охлаждение
слабое и все зависит от внешнего коэффициента
конвективной теплоотдачи
(внешняя задача).
Обозначения: - половина толщины пластины, м;
.
- теплопроводность пластины, Вт/(мК);
- коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м²К).

33. .

Внешняя задача
● Частный случай (В):
Bi 0
(практически Bi < 0,1),
Bi ( / ) 0; 0;
1/
теплопроводность (λ)
значительная.
Из-за высокого коэффициента теплопроводности пластины
температуры в ней быстро выравниваются. Охлаждение
слабое и все зависит от внешнего коэффициента
конвективной теплоотдачи
(внешняя задача).
Обозначения: - половина толщины пластины, м;
.
- теплопроводность пластины, Вт/(мК);
- коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м²К).

34. .

Температурное поле в пластине
.
Fo 0
1
Fo1
Fo2
.
X 0
X 1
A
0
X0
2
X0
A
x

35. Охлаждение бесконечного цилиндра

Пусть внутри источник теплоты отсутствует:
Пусть
t
t
Z
qv 0
0
Тогда дифференциальное уравнение температурного
поля примет вид:
t 1 t
t
a 2
r r
r
2
(1)

36. Охлаждение бесконечного цилиндра

Начальные условия:
t (r , 0) f (r );
Граничные условия
t (0, )
0;
r
t (r0 , )
t (r0 , ) tж ;
r
(2)
(3)
(4)

37. Охлаждение бесконечного цилиндра

Избыточная температура:
Тогда (1)-(4) примет вид:
( r , ) t ( r , ) t ж ;
2
1
a 2
;
r r
r
(r,0) f (r ) tж F (r );
(r0 , )
(r0 , );
r
(0, )
0;
r
(5)
(6)
(7)
(8)

38. Охлаждение бесконечного цилиндра

Решение ищем методом Фурье разделенных
переменных:
(r , ) (r ) ( );
Тогда уравнение (5) примет вид
1
(r ) ( ) a ( ) (r ) ( ) ( r ) ;
r
1 ( ) (r ) 1 (r )
2
const k ;
a ( ) (r ) r (r )
(9)

39. Охлаждение бесконечного цилиндра

Из (9) получим 2 уравнения:
( ) ak ( ) 0;
2
1
2
(r ) (r ) k (r ) 0;
r
(10)
(11)

40. Охлаждение бесконечного цилиндра

решение уравнения (10):
( ) C1 exp( ak );
2
решение уравнения (11):
(r ) C2 J 0 (kr ) C3 0 (kr );

41. Охлаждение бесконечного цилиндра

J 0 (kr )
0 (kr)
При
- функция Бесселя 1-го рода 0-порядка;
- функция Бесселя 2-го рода 0-порядка;
r 0 0 (kr ) C3 0

42. Охлаждение бесконечного цилиндра

Тогда решение принимает вид:
(r , ) CJ 0 (kr ) exp( ak );
2
kr0 k
r0
;
r
(r , ) CJ 0 (k ) exp( a 2 );
r0
r0
2
(12)

43. Температура

Подчинив решение (12) граничным условиям (8) получим
характеристическое уравнение для нахождения :
n
J 0 ( n )
;
Bi J1 ( n )
Решение уравнения можно представить как сумму частных
решений:
r
(r , ) Cn J 0 ( ) exp( a 2 )
r0
r0
n 1
2
(13)

44. Температура

Для нахождения Cn
используем начальные условия (6)
F (r ) Cn J 0 ( R);
n 1
r
0 rJ 0 n r0 F (r )dr
Cn r0
r
2
0 rJ 0 n r0 dr
r0
(13) и (14) есть искомое решение задачи.
(14)

45. Температура

При начальном равномерном распределении температуры:
( r , )
( r , )
0
2 J1 ( n )
r
J
(
)
exp(
a
)
0
2
2
2
r0
r0
J
(
)
J
n 1
n
0
n
1 ( n )
2

46. ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА

Пусть внутренние источники теплоты отсутствуют, то есть
Пусть температура изменяется только в радиальном
направлении, тогда:
2
t
t 2 t
a 2
r r
t
qv 0

47. ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА

Начальные условия:
Граничные условия:
t r0 ,
r
t r ,0 f r ;
t 0,
r
0;
t r0 , tж ;

48. ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА

Избыточная температура:
r, t r, tж
2
a 2
;
r r
r
2
F r,0 f r tж ;
0,
r
0;
r0 ,
r
r0 ,

49. Температура

Решение уравнения имеет вид:
r ,
2 a
r0
n r
Bn sin
exp n 2 ,
0
r
r0
r0
n 1
где B - коэффициент, зависящий от начальных
n
условий.
Характеристическое уравнение:
n
Bi 1
tg n

50. Температура

Или:
r ,
1
2
Bn sin( n R) exp n Fo
R
n 1

51. Вопросы к экзамену

1.
2.
Охлаждение (нагревание)
неограниченной пластины.
Охлаждение (нагревание)
бесконечно длинного цилиндра.
Охлаждение шара.
English     Русский Rules