Проблемы энерго- и ресурсосбережения
Нагрев параллелепипеда
Нагрев параллелепипеда
Нагрев параллелепипеда
Начальные условия
Граничные условия
Граничные условия
Решение
Температура
Температура
Температура
Характеристические уравнения
Температура
Безразмерные величины
Средняя температура
Средняя температура
Охлаждение длинного прямоугольного стержня
Охлаждение длинного прямоугольного стержня
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Охлаждение цилиндра конечной длины
Охлаждение цилиндра конечной длины
Охлаждение цилиндра конечной длины
Охлаждение цилиндра конечной длины
.
.
Средняя температура
Вопросы к экзамену
515.50K
Category: physicsphysics

Охлаждение, нагревание тел конечных размеров. Нагрев параллелепипеда

1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения

Охлаждение (нагревание) тел
конечных размеров

2. Нагрев параллелепипеда

Заготовка (параллелепипед) с
размерами 2 x 2 y 2 z
помещена в среду, имеющую
температуру t ж . Условия нагрева
заготовки во всех направлениях
одинаковые (коэффициент
теплоотдачи const ).

3. Нагрев параллелепипеда

Расчетная схема

4. Нагрев параллелепипеда

Дифференциальное уравнение температурного поля
при отсутствии внутренних источников теплоты
имеет вид :
2
2
2
t
t t t
a 2 2 2
x y z
(1)

5. Начальные условия

Считаем, что в начале процесса
температура в заготовке
распределена равномерно, тогда
начальные условия:
t x, y, z, 0 t0
(2)

6. Граничные условия

Из условий геометрической и тепловой симметрии
следует:
(3)
t 0, y, z,
x
t x, 0, z,
y
t x, y, 0,
z
0;
0;
(4)
0;
(5)

7. Граничные условия

Теплообмен на поверхности заготовки подчиняется
закону Ньютона-Рихмана:
t x , y, z,
t x , y, z, tж ;
x
t x, y , z,
t x, y , z, tж ;
y
t x, y, z ,
z
t x, y, z , tж ;
(6)
(7)
(8)

8. Решение

Решение системы (1)-(8) в
безразмерном виде можно
представить как произведение трех
решений для неограниченной
пластины, так как заготовка
(параллелепипед) образована путем
пересечения трех
взаимноперпендикулярных
неограниченных пластин

9. Температура

x, y, z, x, y, z, ,
где
x, y , z ,
t x, y , z , t ж
t0 t ж

10. Температура

x,
t x, t ж
y ,
;
t0 t ж
t y , t ж
;
t0 t ж
t z , t ж
z ,
;
t0 t ж
Следовательно:
t ( х, ) tж t у, tж t z, tж
x, y, z,
;
3
t0 t ж

11. Температура

Решение задачи о равномерном нагреве пластины
известно:
2sin nx
x
x,
cos nx exp( 2 nx a / 2 x );
x
n 1 nx sin nx cos nx
y
y ,
cos ny
y
n 1 ny sin ny cos ny
2sin ny
2
2
exp(
a
/
ny
y );
2sin nz
z
z ,
cos nz
z
n 1 nz sin nz cos nz
2
2
exp(
a
/
nz
z );

12. Характеристические уравнения

μ ,μ , μ
Значения
определятся из
nx
ny
nz
характеристических уравнений:
μnx
Bi x
ctg μ nx ,
μnz
ctg μ nz
Bi z
μn y
Bi y
ctg μ ny ,

13. Температура

Решение задачи можно выразить через
безразмерные величины:
x, y , z ,
Fx n , Bix , Fox , X
Fy n , Bi y , Fo y , Y
Fz n , Biz , Foz , Z ,

14. Безразмерные величины

где:
x
Bix
;
y
Biy
;
z
Biz
;
Fox
Foy
Foz
a
2
x
a
;
2
y
a
;
2
z
;
X
Y
Z
x
x
y
y
z
z
;
;

15. Средняя температура

Средняя температура заготовки (параллелепипеда)
определяется также как произведение трех
температур для бесконечной пластины:
x y z ,
2sin 2 nx
x 2
exp( 2 nx a / 2 x );
n 1 nx nx sin nx cos nx
y
2sin 2 ny
exp( 2 ny a / 2 y );
2
n 1
ny ny sin ny cos ny
2sin 2 nz
z 2
exp( 2 nz a / 2 z )
n 1 nz nz sin nz cos nz

16. Средняя температура

где:
t x tж
x
;
t0 t ж
y
t y tж
t0 t ж
;
t z tж
z
;
t0 t ж

17. Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Пусть стержень имеет ограниченные
размеры в направлении осей x и y, а в
направлении оси z он неограничен:
∂t/∂z=0 (теплообмен в направлении
оси z отсутствует).
Данное тело можно представить как
результат пересечения двух
неограниченных пластин во взаимно
перпендикулярном направлении.

18. Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Дифференциальное уравнение температурного поля
при отсутствии внутренних источников теплоты
имеет вид :
2
2
t
t t
a 2 2
x y
.
(1)

19. .

Начальные условия
Считаем, что в начале процесса
температура в стержне распределена
равномерно, тогда начальные
условия:
t x, y, 0 t0
(2)

20. .

Граничные условия
.
Из условий геометрической и тепловой симметрии
следует:
t 0, y,
x
t x, 0,
y
.
0;
0;
(3)
(4)

21. .

Граничные условия
.
Теплообмен на поверхности стержня подчиняется
закону Ньютона-Рихмана:
t x , y,
x
t x, y ,
.
y
t x , y, tж ;
t x, y , tж ;
(5)
(6)

22. .

Температура
.
x, y, x, y, ,
где
.
x, y ,
t x, y , t ж
t0 t ж

23. .

Температура
.
x,
t x, t ж
t0 t ж
Следовательно:
;
y ,
t y , t ж
t0 t ж
;
t ( х, ) tж t у, tж
x, y,
;
2
.
t0 t ж

24. .

Температура
.
Решение задачи о равномерном нагреве стержня
известно:
x,
2sin nx
x
cos nx
x
n 1 nx sin nx cos nx
2
2
exp(
a
/
nx
x );
y ,
y
cos ny
y
n 1 ny sin ny cos ny
.
2sin ny
2
2
exp( ny a / y );

25. .

Характеристические уравнения
μ ,μ
Значения
определятся из
nx
ny
характеристических уравнений:
μnx
Bi x
μn y
.
Bi y
ctg μ nx ,
ctg μ ny ,

26. .

Температура
.
Решение задачи можно выразить через
безразмерные величины:
x, y ,
Fx n , Bix , Fox , X
.
Fy n , Biy , Foy , Y ,

27. .

Безразмерные величины
.
где:
x
a
Bix
; Fox 2 ;
x
y
a
Biy
; Foy 2 ;
y
.
X
Y
x
x
y
y
;
;

28. .

Средняя температура
.
Средняя температура стержня определяется также
как произведение трех температур для
бесконечной пластины:
x y ,
2sin 2 nx
2
2
x 2
exp( nx a / x );
n 1 nx nx sin nx cos nx
y
.
2sin 2 ny
2
n 1
ny ny sin ny cos ny
exp( 2 ny a / 2 y );

29. .

Средняя температура
.
где:
t x tж
x
;
t0 t ж
y
.
t y tж
t0 t ж
;

30. .

Охлаждение цилиндра конечной
.
длины
Пусть внутри источник теплоты отсутствует:
Пусть
t
qv 0
0
Тогда дифференциальное уравнение температурного
поля примет вид:
t 1 t t
t
a 2
2
r r z
r
2
.
2
(1)

31. .

Охлаждение цилиндра конечной
.
длины
Избыточная температура:
Тогда:
( r , z , ) t ( r , z , ) t ж
1
a 2
2
r r z
r
2
.
2

32. .

Условия однозначности
.
(r , z,0) f (r ) tж F (r , z );
(0, z , )
(r , 0, )
0;
0;
r
z
(r0 , z, )
(r0 , z, );
r
.
(r , z0 , )
( r , z0 , )
z

33. Охлаждение цилиндра конечной длины

Ограниченный цилиндр можно
представить как результат
пересечения бесконечного цилиндра
с бесконечной пластиной. Тогда
решение задачи в безразмерном виде
можно представить, как произведение
решений для неограниченной
пластины и неограниченного
цилиндра

34. Охлаждение цилиндра конечной длины

Температура:
(r , z, ) (r , ) ( z, );
z, τ
2
θ z,Foz
D1 exp μ nz Foz cos μ nz Z ,
0
( r , )
( r , )
0
2 J1 ( nr )
2
J
(
R
)
exp(
Fo
0
nr
r nr )
2
2
n 1 nr
J 0 ( nr ) J 1 ( nr )

35. Охлаждение цилиндра конечной длины

Характеристические уравнения:
μnz
ctg μ nz ;
Bi z
nr
J 0 ( nr )
;
Bi J1 ( nr )

36. Охлаждение цилиндра конечной длины

t (r, ) tж t z, tж
r , z ,
;
2
t0 t ж
t r , z , t ж
r , z ,
;
Температура:
t0 t ж
r ,
t r , t ж
t0 t ж
; z,
t z , t ж
t0 t ж
;

37. .

Температура
.
Решение задачи можно выразить через
безразмерные величины:
r , z ,
Fr nr , Bir , For , R
Fz nz , Biz , Foz , Z ,
.

38. .

Безразмерные величины
.
где:
r0
r
a
Bir
; For 2 ; R ;
r0
r0
z Fo a ;
z
Z
Biz
; z
2
z
z
.

39. Средняя температура

Средняя температура цилиндра конечных размеров
определяется также как произведение двух температур для
бесконечной пластины и бесконечного цилиндра:
r z ,
tr tж
t z tж
r
; z
;
t0 t ж
t0 t ж

40. Вопросы к экзамену

1.
2.
3.
Охлаждение параллелепипеда.
Охлаждение длинного
прямоугольного стержня.
Охлаждение цилиндра конечной
длины.
English     Русский Rules