Охлаждение, нагревание тел конечных размеров. Нагрев параллелепипеда

1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения

Охлаждение (нагревание) тел
конечных размеров

2. Нагрев параллелепипеда

Заготовка (параллелепипед) с
размерами 2 x 2 y 2 z
помещена в среду, имеющую
температуру t ж . Условия нагрева
заготовки во всех направлениях
одинаковые (коэффициент
теплоотдачи const ).

3. Нагрев параллелепипеда

Расчетная схема

4. Нагрев параллелепипеда

Дифференциальное уравнение температурного поля
при отсутствии внутренних источников теплоты
имеет вид :
2
2
2
t
t t t
a 2 2 2
x y z
(1)

5. Начальные условия

Считаем, что в начале процесса
температура в заготовке
распределена равномерно, тогда
начальные условия:
t x, y, z, 0 t0
(2)

6. Граничные условия

Из условий геометрической и тепловой симметрии
следует:
(3)
t 0, y, z,
x
t x, 0, z,
y
t x, y, 0,
z
0;
0;
(4)
0;
(5)

7. Граничные условия

Теплообмен на поверхности заготовки подчиняется
закону Ньютона-Рихмана:
t x , y, z,
t x , y, z, tж ;
x
t x, y , z,
t x, y , z, tж ;
y
t x, y, z ,
z
t x, y, z , tж ;
(6)
(7)
(8)

8. Решение

Решение системы (1)-(8) в
безразмерном виде можно
представить как произведение трех
решений для неограниченной
пластины, так как заготовка
(параллелепипед) образована путем
пересечения трех
взаимноперпендикулярных
неограниченных пластин

9. Температура

x, y, z, x, y, z, ,
где
x, y , z ,
t x, y , z , t ж
t0 t ж

10. Температура

x,
t x, t ж
y ,
;
t0 t ж
t y , t ж
;
t0 t ж
t z , t ж
z ,
;
t0 t ж
Следовательно:
t ( х, ) tж t у, tж t z, tж
x, y, z,
;
3
t0 t ж

11. Температура

Решение задачи о равномерном нагреве пластины
известно:
2sin nx
x
x,
cos nx exp( 2 nx a / 2 x );
x
n 1 nx sin nx cos nx
y
y ,
cos ny
y
n 1 ny sin ny cos ny
2sin ny
2
2
exp(
a
/
ny
y );
2sin nz
z
z ,
cos nz
z
n 1 nz sin nz cos nz
2
2
exp(
a
/
nz
z );

12. Характеристические уравнения

μ ,μ , μ
Значения
определятся из
nx
ny
nz
характеристических уравнений:
μnx
Bi x
ctg μ nx ,
μnz
ctg μ nz
Bi z
μn y
Bi y
ctg μ ny ,

13. Температура

Решение задачи можно выразить через
безразмерные величины:
x, y , z ,
Fx n , Bix , Fox , X
Fy n , Bi y , Fo y , Y
Fz n , Biz , Foz , Z ,

14. Безразмерные величины

где:
x
Bix
;
y
Biy
;
z
Biz
;
Fox
Foy
Foz
a
2
x
a
;
2
y
a
;
2
z
;
X
Y
Z
x
x
y
y
z
z
;
;

15. Средняя температура

Средняя температура заготовки (параллелепипеда)
определяется также как произведение трех
температур для бесконечной пластины:
x y z ,
2sin 2 nx
x 2
exp( 2 nx a / 2 x );
n 1 nx nx sin nx cos nx
y
2sin 2 ny
exp( 2 ny a / 2 y );
2
n 1
ny ny sin ny cos ny
2sin 2 nz
z 2
exp( 2 nz a / 2 z )
n 1 nz nz sin nz cos nz

16. Средняя температура

где:
t x tж
x
;
t0 t ж
y
t y tж
t0 t ж
;
t z tж
z
;
t0 t ж

17. Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Пусть стержень имеет ограниченные
размеры в направлении осей x и y, а в
направлении оси z он неограничен:
∂t/∂z=0 (теплообмен в направлении
оси z отсутствует).
Данное тело можно представить как
результат пересечения двух
неограниченных пластин во взаимно
перпендикулярном направлении.

18. Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Дифференциальное уравнение температурного поля
при отсутствии внутренних источников теплоты
имеет вид :
2
2
t
t t
a 2 2
x y
.
(1)

19. .

Начальные условия
Считаем, что в начале процесса
температура в стержне распределена
равномерно, тогда начальные
условия:
t x, y, 0 t0
(2)

20. .

Граничные условия
.
Из условий геометрической и тепловой симметрии
следует:
t 0, y,
x
t x, 0,
y
.
0;
0;
(3)
(4)

21. .

Граничные условия
.
Теплообмен на поверхности стержня подчиняется
закону Ньютона-Рихмана:
t x , y,
x
t x, y ,
.
y
t x , y, tж ;
t x, y , tж ;
(5)
(6)

22. .

Температура
.
x, y, x, y, ,
где
.
x, y ,
t x, y , t ж
t0 t ж

23. .

Температура
.
x,
t x, t ж
t0 t ж
Следовательно:
;
y ,
t y , t ж
t0 t ж
;
t ( х, ) tж t у, tж
x, y,
;
2
.
t0 t ж

24. .

Температура
.
Решение задачи о равномерном нагреве стержня
известно:
x,
2sin nx
x
cos nx
x
n 1 nx sin nx cos nx
2
2
exp(
a
/
nx
x );
y ,
y
cos ny
y
n 1 ny sin ny cos ny
.
2sin ny
2
2
exp( ny a / y );

25. .

Характеристические уравнения
μ ,μ
Значения
определятся из
nx
ny
характеристических уравнений:
μnx
Bi x
μn y
.
Bi y
ctg μ nx ,
ctg μ ny ,

26. .

Температура
.
Решение задачи можно выразить через
безразмерные величины:
x, y ,
Fx n , Bix , Fox , X
.
Fy n , Biy , Foy , Y ,

27. .

Безразмерные величины
.
где:
x
a
Bix
; Fox 2 ;
x
y
a
Biy
; Foy 2 ;
y
.
X
Y
x
x
y
y
;
;

28. .

Средняя температура
.
Средняя температура стержня определяется также
как произведение трех температур для
бесконечной пластины:
x y ,
2sin 2 nx
2
2
x 2
exp( nx a / x );
n 1 nx nx sin nx cos nx
y
.
2sin 2 ny
2
n 1
ny ny sin ny cos ny
exp( 2 ny a / 2 y );

29. .

Средняя температура
.
где:
t x tж
x
;
t0 t ж
y
.
t y tж
t0 t ж
;

30. .

Охлаждение цилиндра конечной
.
длины
Пусть внутри источник теплоты отсутствует:
Пусть
t
qv 0
0
Тогда дифференциальное уравнение температурного
поля примет вид:
t 1 t t
t
a 2
2
r r z
r
2
.
2
(1)

31. .

Охлаждение цилиндра конечной
.
длины
Избыточная температура:
Тогда:
( r , z , ) t ( r , z , ) t ж
1
a 2
2
r r z
r
2
.
2

32. .

Условия однозначности
.
(r , z,0) f (r ) tж F (r , z );
(0, z , )
(r , 0, )
0;
0;
r
z
(r0 , z, )
(r0 , z, );
r
.
(r , z0 , )
( r , z0 , )
z

33. Охлаждение цилиндра конечной длины

Ограниченный цилиндр можно
представить как результат
пересечения бесконечного цилиндра
с бесконечной пластиной. Тогда
решение задачи в безразмерном виде
можно представить, как произведение
решений для неограниченной
пластины и неограниченного
цилиндра

34. Охлаждение цилиндра конечной длины

Температура:
(r , z, ) (r , ) ( z, );
z, τ
2
θ z,Foz
D1 exp μ nz Foz cos μ nz Z ,
0
( r , )
( r , )
0
2 J1 ( nr )
2
J
(
R
)
exp(
Fo
0
nr
r nr )
2
2
n 1 nr
J 0 ( nr ) J 1 ( nr )

35. Охлаждение цилиндра конечной длины

Характеристические уравнения:
μnz
ctg μ nz ;
Bi z
nr
J 0 ( nr )
;
Bi J1 ( nr )

36. Охлаждение цилиндра конечной длины

t (r, ) tж t z, tж
r , z ,
;
2
t0 t ж
t r , z , t ж
r , z ,
;
Температура:
t0 t ж
r ,
t r , t ж
t0 t ж
; z,
t z , t ж
t0 t ж
;

37. .

Температура
.
Решение задачи можно выразить через
безразмерные величины:
r , z ,
Fr nr , Bir , For , R
Fz nz , Biz , Foz , Z ,
.

38. .

Безразмерные величины
.
где:
r0
r
a
Bir
; For 2 ; R ;
r0
r0
z Fo a ;
z
Z
Biz
; z
2
z
z
.

39. Средняя температура

Средняя температура цилиндра конечных размеров
определяется также как произведение двух температур для
бесконечной пластины и бесконечного цилиндра:
r z ,
tr tж
t z tж
r
; z
;
t0 t ж
t0 t ж

40. Вопросы к экзамену

1.
2.
3.
Охлаждение параллелепипеда.
Охлаждение длинного
прямоугольного стержня.
Охлаждение цилиндра конечной
длины.