Взаимное положение прямой и плоскости. Взаимное расположение плоскостей

1.

2. План лекции

1
Параллельность прямой и
плоскости
2
Пересечение прямой и
плоскости
3
Параллельность двух
плоскостей
4
Пересечение двух плоскостей

3.

1. Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости,
если она параллельна какойлибо прямой, принадлежащей в
заданной плоскости.

4.

1.
Параллельность прямой и плоскости
Задача. Через точку М провести прямую, параллельную
плоскости { АВС}.
В2
А2
12
М2
N2
Алгоритм решения:
1. В плоскости { АВС}
провести любую прямую (А1);
2. Через точку М провести
прямую (МN), параллельную
прямой (А1);
С2
X
С1
А1
В1
11
М1
Примечание:
В качестве произвольной
прямой может быть выбрана
одна из сторон фигуры,
ограничивающей плоскость
N1

5.

2. Пересечение прямой и плоскости
Задачи на определение
пересечения (общих элементов)
заданных поверхностей
называются позиционными.

6.

2.
Пересечение прямой и плоскости
Определение точки пересечения
прямой и плоскости
1. Через прямую (АВ) ввести
вспомогательную проецирующую
плоскость P;
В
P
К
1
Алгоритм решения:
2. Найти линию пересечения
вспомогательной плоскости с
заданной;
2
3. Определить точку пересечения
построенной линии с заданной;
4. Определить видимость .
А

7.

2.
Пересечение прямой и плоскости
Задача. Определить точку пересечения прямой (АВ) и
плоскости { DEF}.
51
А2
X
А1
41
E2 12
E1
41=51
11
Р2
В2
F2
22=32
С2
К2
В1
Дано:
{ АВС}: А(110, 70, 40),
В(50, 0, 70),
С(20, 40, 20) ;
(EF): E(90, 10, 20),
F(10, 70, 65);
Найти:
К={ АВС}∩(EF)
Решение:
1. Р: P П2, (EF)ϵP;
2. (12)=Р∩{ АВС};
3. К=(12)∩(EF);
21
К1
С
1
31
4. Определить видимость
прямой (EF) с помощью
конкурирующих точек.
F1

8.

3. Параллельность двух плоскостей
Две плоскости параллельны, если
две пересекающиеся прямые
одной плоскости параллельны
двум пересекающимся прямым
другой плоскости.

9.

3.
Параллельность двух плоскостей
Задача. Через точку М провести плоскость, параллельную
плоскости { АВС}.
N2
В2
Алгоритм решения:
М2
А2
L2
С2
X
С1
А1
В1
М1
N1
1. В плоскости { АВС}
выбрать две пересекающиеся
прямые, например, (АВ) и (АС);
2. Через точку М провести
прямые (МN) и (ML),
параллельные выбранным
прямым (АВ) и (АС),
соответственно;
Пересекающиеся прямые
(МN) и (ML) задают искомую
плоскость.
L1

10.

3.
Параллельность двух плоскостей
Замечание. Если плоскости параллельны, то их
одноименные следы также параллельны.
1. РП1 // QП1
{Р} // {Q}
2. РП2 // QП2
X
QX
РX

11.

4. Пересечение двух плоскостей
Пересечение проецирующих
плоскостей
Пересечение плоскости общего
положения и проецирующей
Пересечение плоскостей общего
положения

12.

4.
Пересечение плоскостей
Задача. Определить точку пересечения плоскостей { АВС} и { DEF}.
M2
В2
E2
Дано:
F2
А2
Найти: (MN)={ АВС}∩{ DEF}
Решение:
D2 N2
С2
D1
С1
1. Так как заданные плоскости
горизонтально-проецирующие,
то на горизонтальной плоскости
проекций их общим элементом
является горизонтальнопроецирующая прямая (MN);
X
M1=N1 В1
А1
{ АВС} П1;
{ DEF} П1.
2. Определить видимость
плоскостей.
E1
F1

13.

4.
Пересечение плоскостей
Задача. Определить точку пересечения плоскостей { АВС} и { DEF}.
В2
M2
E2
{ DEF} П1.
F2
А2
D2 N2
X
D1
M1
А1
Дано: { АВС};
С2
В1
С1
N1E1
F1
Найти: (MN)={ АВС}∩{ DEF}
Решение:
1. Так как одна из заданных
плоскостей горизонтальнопроецирующая, то на
горизонтальной плоскости
проекций их общим элементом
является прямая (MN),
горизонтальная проекция
которой совпадает с проекцией
горизонтально-проецирующая
плоскости { DEF};
2. Фронтальная проекция
строится по линиям связи.
3. Определить видимость
плоскостей.

14.

4.
Пересечение плоскостей
Определение линии пересечения плоскостей общего положения
Алгоритм решения:
7. Найденные
точки
задают
искомую
линию спересечения;
8. Определить
видимость
4.
Ввести
вспомогательную
проецирующую
плоскость;
5.
пересечения
вспомогательной
плоскости
заданными;
6.
Определить
точку
пересечения
построенных
линий;.
1.
3.
2. Найти линии
В
А
D
M
1
2
5
4
7
6 N
С
3
8
E
F

15.

4.
Пересечение плоскостей
Задача. Определить линию пересечения двух плоскостей.
Дано:
В2 F2
22
E2
А2
X
А1
12
M2
32
F1
31
E1
11
M1
В1
42
N2
С2
D2 0
С1
N1
41
21 D1
Q1 Р1
{ АВС}: А(120, 15, 0),
В(70, 70, 50),
С (10, 35, 25);
{ DEF}: D(30, 70, 0)
Е (105, 10, 40),
F (60, 10, 60).
Найти: (MN)={ АВС}∩{ DEF}
Решение:
1. {Р}: (DE)ϵP, P П1;
2. (12)={Р}∩{ АВС};
3. М=(12)∩(DE);
4. {Q}: (DF)ϵQ, Q П1;
5. (34)={Q}∩{ АВС};
6. N=(34)∩(DF);
7. (MN) – искомая линия
пересечения плоскостей;
8. Определить видимость
плоскостей.