Плоскости. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

1.

Лекция 3. Плоскости.
Взаимное расположение
точки, прямой и плоскости.
Инженерная и компьютерная графика Б1.В.07
09.03.01. Информатика и вычислительная техника
Доцент Ткачук Евгений Остапович
2019/2020

2.

Плоскость
• 1. Плоскость есть поверхность, содержащая
полностью каждую прямую, соединяющую любые
ее точки;
• 2. Плоскость есть множество точек,
равноотстоящих от двух заданных точек.
• Общее уравнение плоскости:
• Ax+By+Cz+D=0,
• где А, В, С, и D - постоянные, причём А, В и С
одновременно не равны нулю.

3.

Способы задания плоскостей
• тремя точками, не лежащими на одной прямой линии
• прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой
• двумя пересекающимися прямыми
• двумя параллельными прямыми

4.

Задание плоскости тремя точками, не
лежащими на одной прямой линии

5.

6.

Задание плоскости прямой линией и
точкой, не принадлежащей этой
прямой

7.

8.

Задание плоскости двумя
пересекающимися прямыми

9.

10.

Задание плоскости двумя параллельными
прямыми

11.

12.

Следом плоскости…
• называется прямая линия, по которой
плоскость пересекается с плоскостью
проекций.
• В зависимости от того, какую плоскость
проекций пересекает данная α плоскость
различают:
• горизонтальный αП1,
• фронтальный αП2
• профильный αП3 следы.

13.

14.

Положение плоскости относительно
плоскостей проекций
• 1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости
проекций называется плоскостью общего
положения. Такая плоскость пересекает все плоскости
проекций (имеет три следа: - горизонтальный П1; фронтальный П2; - профильный П3).
• 2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций –
занимают частное положение в пространстве и называются
проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости
проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:
• 2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций П , называется горизонтально
проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция
такой плоскости представляет собой прямую линию,
которая одновременно является её горизонтальным
следом. Горизонтальные проекции всех точек этой
плоскости совпадают с горизонтальным следом

15.

Горизонтально проецирующая плоскость

16.

17.

Фронтально проецирующая плоскость

18.

19.

Биссекторная плоскость

20.

Плоскости, параллельные плоскостям
проекций называются плоскостями
уровня
• 3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная
горизонтальной плоскости проекций ( П1) - ( П2, П3).
Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости
проецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскости П2 и
П3 в прямые - следы плоскости П2 и П3

21.

Горизонтальная плоскость

22.

23.

Профильная плоскость
• плоскость, параллельная профильной плоскости проекций
( //П3), ( П1, П2). Геометрический объект, принадлежащий
этой плоскости проецируется на плоскость П3 без искажения, а на
плоскости П1 и П2 в прямые - следы плоскости П1 и П2

24.

Профильная плоскость

25.

26.

Следы плоскости
• Следом плоскости называется линия пересечения
плоскости с плоскостью проекций. В зависимости,
от того с какой из плоскостей проекций
пересекается данная плоскость, различают:
горизонтальный, фронтальный и профильный
следы плоскости.

27.

Построение следов плоскости

28.

Построение следов плоскости

29.

Взаимное расположение прямой и
плоскости
• Известны три варианта взаимного расположения прямой и
плоскости:
• Прямая принадлежит плоскости.
• Прямая параллельна плоскости.
• Прямая пересекает плоскость.

30.

условие принадлежности прямой
плоскости
• Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки
принадлежат этой плоскости.
• Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с
плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой
расположенной в этой плоскости.

31.

Задача
• Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2
• Требуется найти недостающие проекции прямой m, если
известно, что она принадлежит плоскости, заданной
пересекающимися прямыми n и k.

32.

33.

Прямая и плоскость имеют две общие
точки

34.

Прямая и плоскость имеют две общие
точки

35.

Прямая и плоскость имеют две общие
точки

36.

Задача.
• Через точку В провести прямую m, если известно, что она
принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n
иk

37.

38.

39.

40.

41.

Главные линии плоскости
• Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и
параллельные горизонтальной плоскости проекций (h АВС
h h Ох,h Оy)

42.

43.

44.

• Фронтали f - прямые, расположенные в
плоскости и параллельные фронтальной
плоскости проекций (f АВС f f Ох, f Оz)

45.

46.

47.

• Профильные прямые р - прямые, которые
находятся в данной плоскости и параллельны
профильной плоскости проекций (р АВС р
р1 Ох р Ох)

48.

49.

50.

• Прямые, принадлежащие плоскости и образующие с плоскостью
проекций наибольший угол называются линиями наибольшего
наклона данной плоскости к плоскости проекций
• Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости
проекций называется линией ската.

51.

52.

53.

Прямая, параллельная плоскости
• При решении вопроса о параллельности прямой линии и
плоскости необходимо опираться на известное положение
стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она
параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не
принадлежит этой плоскости.

54.

• Задача. Дано: плоскость общего положения ABC и прямая общего
положения а.

55.

56.

57.

58.

• Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую
плоскость - в данном случае горизонтально проецирующая
плоскость. Найдем линию пересечения плоскостей и АВС прямую п (DF). Проекция прямой п на горизонтальную плоскость
проекций совпадает с проекцией а1 и со следом плоскости .
Проекция прямой п2 параллельна а2, п3 параллельна а3,
следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС.

59.

Прямая пересекает плоскость
• Дано: плоскость AВС и прямая а.
• Алгоритм решения задачи (рис.60):
• Через горизонтальную проекцию прямой а1 проведем
вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость (таким
образом а ).
• Находим линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной.
Горизонтальный след плоскости 1 пересекает проекцию плоскости
A1В1С1 в точках D1 и F1, которые определяют положение
горизонтальной проекции п1- линии пересечения плоскостей и AВС.
Для нахождения фронтальной и профильной проекции п спроецируем
точки D и F на фронтальную и профильную плоскости проекций.

60.

• Определяем точку пересечения прямых а и п. На фронтальной и
профильной проекциях линия пересечения плоскостей п
пересекает проекции а в точке К, которая и является проекцией
точки пересечения прямой а с плоскостью AВС, по линии связи
находим горизонтальную проекцию К1.
• Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а
по отношению к плоскости AВС.

61.

62.

63.

64.

65.

Прямая, перпендикулярная плоскости
• Теорема о перпендикуляре к плоскости:
• Если прямая перпендикулярна плоскости, то
горизонтальная проекция этой прямой
перпендикулярна горизонтальной проекции
горизонтали плоскости, а фронтальная проекция –
фронтальной проекции фронтали плоскости.

66.

• Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.
• Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А
и перпендикулярную плоскости ВСD.

67.

68.

69.

• В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь
h. В горизонтальной плоскости проекций проведем
через точку А1 прямую n1 перпендикулярно
горизонтальной проекции горизонтали h1, а на
фронтальной плоскости проекций через точку А2
прямую n2 перпендикулярно фронтальной проекции
фронтали f2, согласно, теореме о перпендикуляре к
плоскости, полученная прямая n будет
перпендикулярна плоскости ВСD.

70.

71.

Взаимное расположение точки и плоскости

72.

73.

Взаимное расположение плоскостей
• Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в
частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться.
Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой
частный случай пересекающихся плоскостей

74.

75.

76.

пересекающиеся плоскости

77.

78.

Взаимно перпендикулярные плоскости
• Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно
перпендикулярные плоскости.
• Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно
перпендикулярны, если одна из них проходит через
перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести
множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости
(h,f).