Взаимное положение прямой линии и плоскости, плоскостей. (Лекция 4)

1. Лекция 4 Взаимное положение прямой линии и плоскости, плоскостей

•Условия параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости,
плоскостей
•Пересечение прямой с плоскостью
частного и общего положения
•Пересечение плоскостей

2. ПЛОСКОСТЬ. ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Прямая может
принадлежать плоскости
пересекать плоскость под некоторым
углом
пересекать плоскость под прямым
углом (быть перпендикулярна
плоскости)
быть параллельна плоскости
2

3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Точка принадлежит плоскости, если она лежит
на прямой, принадлежащей этой плоскости
3

4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Дано: АВС и точка
К.
B2
K2
D2
A2
A1
C2
K2
C1
D1
B1
Определить, принадлежит ли К АВС?
4

5. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Дано: ( 1, 2), А2В2.
C2
A2
B2
D2
x
C1
A1
АВ принадлежит
Построить А1В1.
B1
D1
5

6. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

n2
B2
Дано: А2В2С2 принадлежит
плоскости (m//n).
22
m2
12
3 2 C2
42
A2
Построить горизонтальную
проекцию треугольника.
x
21
21
1111
A1
B1
3 1 C1
31
41
n1
m1
6

7. ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ

Прямая параллельна плоскости, если в этой
плоскости имеется прямая, параллельная ей
Две плоскости взаимно параллельны, если две
пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости
Две плоскости параллельны, если они заданы
следами и два пересекающихся между собой следа
одной плоскости параллельны одноименным с ними
следам другой плоскости
7

8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

B2
n2
D2
A2
E2
m2
K2
C2
x
A1
Построить
плоскость (m n)
параллельную АВС
C1
E1
Дано: АВС и
точка D
K1
D1
B1
n1
Задать
m1 горизонталью
(m) и линией
ската (n)
8

9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости перпендикулярны, если одна из
них проходит через прямую линию
перпендикулярную другой плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
этой плоскости
9

10. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Дано: АВС и точка D
Построить плоскость α(f m)
∆АВС
f2
B2
D2
m2
C2
A2
C2
D2
A2
B2
f1
m1
10

11. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Любая фигура, принадлежащая проецирующей
плоскости, имеет одну из своих проекций на
соответствующем следе этой плоскости
Эта особенность используется при решении
задач на определение точек пересечения прямых
линий с проецирующими плоскостями и линий
пересечения с ними плоскостей произвольного
положения
11

12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Дано: α АВ. Построить точку пересечения – К, определить
видимость участков прямой
1) К принадлежит АВ и α,
поэтому К1 находим на απ1
2) К2 определяется как
недостающая проекция
точки К, принадлежащей
прямой АВ
3) Для определения
видимости АВ на π2
посмотрим в направлении
стрелки на π1
12

13. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Дано: α m, α(∆АВС). Построить точку пересечения – D,
определить видимость участков прямой
1) D принадлежит m и α,
поэтому D1 находим на απ1
(А1В1С1)
2) D2 определяется как
недостающая проекция точки
D, принадлежащей прямой m
3) Для определения
видимости m на π2
посмотрим в направлении
стрелки на π1
13

14. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Среди позиционных задач НГ важнейшей
является задача на определение точки
пересечения прямой линии с плоскостью общего
положения
Схема решения такой задачи используется и
для задач на определение точек пересечения
прямых с поверхностью
линий пересечения плоскости с поверхностью
линий пересечения любых поверхностей с
линейчатыми поверхностями и др.
14

15. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ на ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

1.
2.
3.
4.
Через прямую проводим одну из проецирующих
плоскостей
Определяем линию пересечения заданной плоскости
с вспомогательной проецирующей плоскостью
Определяем точку пересечения данной прямой с
построенной линией пересечения – эта точка, общая
для заданных прямой и плоскости, является искомой
точкой пересечения
Определяем видимые и невидимые (относительно
плоскостей проекций) отрезки прямой линии,
применяя способ «конкурирующих точек»
15

16. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Дано: α m, α(∆АВС). Построить точку пересечения – К,
определить видимость участков прямой
1)
Провести вспомогательную
плоскость α
2)
2) Построить линию
пересечения α и ∆АВС. Это
линия 1-2
3)
3) Определить точку
пересечения линии 1-2 и m.
Это точка К – точка
пересечения α и m
L
Xm
X АВ X ВС
Xm
L
4) Видимость участков прямой m определить с помощью
конкурирующих точек 1 и 3, 4 и 5
16

17. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Если две плоскости пересекаются, то линия их
пересечения – прямая линия и она принадлежит
обеим плоскостям
Если одна из плоскостей – проецирующая, то
одна из проекций линии пересечения
располагается на соответствующем следе этой
плоскости
17

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ С ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Дано:α(απ1,απ2)
пересекает β(βπ1,βπ2)
АВ принадлежит
плоскостям α и β
Построить линию
пресечения АВ
А1В1 принадлежит βπ1, т.к. Β –
горизонтальнопроецирующая плоскость
В≡ В2 (точка пересечения
фронтальных следов)
А≡А1, т.к. А - точка пересечения
горизонтальных следов,
поэтому А2 принадлежит оси x
18

19. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

52
E2
Дано: АВС и DEK
B2
22
D2
M2
612 2 12
N2
A2
x
32
D1
C2
42
72 2) C2
42 7
K2
Построить линию
пересечения.
Определить видимость линий
на 1.
B1
Определить видимость
линий на 2.
11
31
1 6
5 15 6
1)1 M1
N1
A1
1
71
C1
41 K 1
21 1
19

20. ВЫВОДЫ

Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
этой плоскости. За эти пересекающиеся прямые
плоскости принимают обычно фронталь и
горизонталь, т. к. к ним можно провести линию
под прямым углом
2. Прямая параллельна плоскости, если она
параллельна прямой этой плоскости
1.
20

21. ВЫВОДЫ

Две плоскости параллельны, если две
пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны двум пересекающимся прямым
другой
4. Две плоскости перпендикулярны, если одна из
них проходит через прямую перпендикулярную
другой плоскости
3.
21

22. Контрольные вопросы

Условие перпендикулярности прямой и
плоскости
2. Условие перпендикулярности двух плоскостей
3. Условие параллельности прямой и плоскости
4. Условие параллельности двух плоскостей
5. Если плоскость задана следами, как определить,
принадлежит ли отрезок прямой этой плоскости?
1.
22