Вычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла

1. Вычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла

2.

1612 г.
Австрия
город Линц.

3.

«Новая
стереометрия
винных бочек»,
1615 г.
Иоганн Кеплер
(1571 – 1630)

4. «Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде»

И привез
гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
«Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод».
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.

5. Проблема:

Могли ли
поместиться
Царевна с сыном
в бочке, если
радиус её
основания 30 см,
максимальная
ширина – 80 см, а
высота бочки - 1
метр?

6.

Если функция f(x) непрерывна на
промежутке I числовой оси,
содержащей точки х=а и х=b, то
разность значений F(b)-F(a) (где F(x) первообразная f(x) на I) называется
определенным интегралом от
b
функции
f(x) от a до b.
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x)
a
формула НьютонаЛейбница.
b
a

7.

Вычисление объёмов тел.
1. Заключаем
тело Т между двумя
параллельными плоскостями.
2. Вводим систему координат так,
что ось ОХ перпендикулярна
плоскостям.
3. Проводим плоскость Ф(х)
параллельно плоскостям через
точку с абсциссой х.
4. Определяем вид сечения и
выражаем площадь через
функцию S(х).
5. Проверяем, является ли
функция S(х) непрерывной на
[a;b].

8.

6. Разбиваем [a;b] на n - равных
отрезков точками а = х0, х1, х2,
…хn=b
и проводим через хi плоскости
перпендикулярно ОХ.
7. Плоскости разбивают тело Т на
n- тел Т1, Т2, Т3,... Тn с
основаниями Ф(хi) и высотой
xi= (b - a)/n
8. V Vn= (S(x1) + S(x2) +…+ S(xn) ) xi= =(S(x1) + S(x2) +…+
S(xn))(b - a)/n. При n , Vn V, поэтому V
Vn
lim
b
но lim V S ( x)dx
n
n
a
9.
b
V
S ( x)dx
a
n

9.

Задача 1.Найти объём наклонной треугольной призмы с
основанием S и высотой h.
А
В
1. Введём ось ОХ перпендикулярно
основаниям призмы.
Х
2. (АВС) OX=a, a=0, (A1B1C1) OX=b, b=h
h *
3. Проведём плоскость
С
A
B
перпендикулярно ОХ через точку с
абсциссой х.
*
x
x
А2В2С2-треугольник, равный
C
основаниям.
А
В
Площадь А2В2С2 равна S.
0 *
1
1
2
2
4. S(x) непрерывна на [0;h]
h
h
5.
V S ( x)dx Sdx Sx 0h Sh 0 Sh
0
С
0
Ответ: V=Sh
2
1

10.

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЁМОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.
1. Ввести систему координат так, что ось ОХ
перпендикулярна основанию геометрического тела.
2. Найти пределы интегрирования а и b.
3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси
ОХ через точку с абсциссой х.
Определить вид сечения, задать формулой его
площадь как функцию S(X).
4. Проверить
b непрерывность функции S(X) на [a;b].
5.
V
S ( x)dx
a

11. Задания для групп

Группа
Группа
Группа
Группа
Группа
Группа
№
№
№
№
№
№
1
2
3
4
5
6

12. Задачи для самостоятельного решения.

13.

1.
2.
3.
4.
5.
Металлический шар радиусом 100мм надо перелить в цилиндр,
высота которого равна 100мм. Найдите длину радиуса
основания цилиндра.
Стаканчик для мороженного конической формы имеет 12см
глубину и 5см по диаметру верхней части. На него сверху
положили две ложки мороженного в виде полушарий диаметра
5см. Переполнит ли мороженное стаканчик если позволить ему
растаять.
Инженер, рост которого 180см пришел рассмотреть новую
сферическую цистерну для хранения воды. Он забрался в
пустую цистерну, и, когда он поднялся на место, находящееся
в 5м 40см над точкой, в которой цистерна упирается на землю,
его голова коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город
потребляет в час 40тысяч литров воды, он немедленно
рассчитал, на сколько часов может хватить полной цистерны.
Как он это сделал и как он получил результат.
На полке в магазине стоят две банки земляничного варенья
одного и того же сорта. Одна банка в 2 раза выше другой, но
зато её диаметр в 2 раза меньше. Высокая банка стоит 23
цента, а низкая 43 цента. Какую купить выгоднее?
Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а
высота конуса равна 12см. Конус наполнили водой, затем в
конус опустили шар так, что он оперся на стенки конуса. над
водой при этом оказалось ровно половина шара. Сколько воды
осталось в конусе после того, как шар был вынут?

14. Проблема:

Могли ли
поместиться
Царевна с сыном в
бочке, если радиус
её основания 30 см,
максимальная
ширина – 80 см, а
высота бочки - 1
метр?

15. Итоги урока

1.
С помощью каких формул можно найти
объёмы геометрических тел: