Similar presentations:
Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
1. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
ВЫЧИСЛЕНИЕОБЪЕМОВ
ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
2. Проблема: найти объем мороженицы
3. Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла
4. Алгебра Определенный интеграл
Если функция f(x) непрерывна напромежутке числовой оси, содержащей
точки х=а и х=b, то разность значений
F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на
данном промежутке называется
определенным интегралом от функции
f(x) от a до b.
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) ba
5.
АлгебраУ
O
y=f(x)
a
b
х
Определение криволинейной трапеции
Если функция y = f(x) определена, неотрицательна и
непрерывна на отрезке [a; b],тогда график кривой
у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют
криволинейную трапецию.
Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной
трапеции вокруг оси OX и найдем его объем.
6. Определение тела вращения
Тело, полученноевращением криволинейной
трапеции вокруг её
основания, называется
телом вращения
7.
Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольнымобразом, через каждую точку деления проведем
плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём
площади полученных поперечных сечений.
У
O
Любое
поперечное
сечение тела
вращения –
круг.
y=f(x)
х
8.
Построим на каждом промежуткецилиндрическое тело, образующая которого
параллельна оси ОХ,
а основанием является сечение - круг.
y
y=f(x)
f(xс)
Радиус круга равен
значению функции в хс
.
Площадь этого круга –
S(x) = π f 2 (xс)
r
xс
Объём цилиндра –
V=S(x)∙ Δx
9.
Объем каждого цилиндра с основаниемS(x) и высотой Δx равен S(x)∙ Δx , а объем
всего ступенчатого тела равен сумме
объёмов всех цилиндров.
n
VCT S ( xk ) xk
k 1
b
V lim VCT S ( x) x
n
a
10.
Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞равен определенному интегралу.
Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ:
b
b
b
a
a
a
V S ( x) x f 2 ( x) x f 2 ( x) x
Если тело образовано вращением криволинейной
трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке
[a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по
формуле:
y=f(x)
y
b
V f ( x) x
2
x
a
11. Замечание!
Объем тела вращения вычисляется поодной из формул:
,если вращение
криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.
, если вращение
криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.
12. Алгоритм решения задач:
Сделать приблизительный графикзаданных функций, ограничивающих
плоскую фигуру, при вращении которой
образуется тело вращения;
Найти пределы интегрирования;
Выяснить какой формулой удобно
пользоваться в данном случае;
Вычислить объем тела вращения.
13.
bV f 2 ( x) x
Задача.
a
Пусть тело образовано вращением параболы у=х2
на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ.
Найдите объём тела вращения.
у
2
у=х2
2
V S ( x) x ( х ) x
2 2
0
0
5 2
2
О
2
х
х
х x
5
0
4
0
32
(куб .ед.)
5
14.
bV f 2 ( x) x
Задача.
a
Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x
на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ.
Найдите объём тела вращения.
y
y 0,5 х
4
V (0,5х) x
2
O
4
x
0
0,25x
3
3
4
0
16
( кв.ед.)
3
15. Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту русского инженера, почётного
академика В. Г.Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов
вращения. А спутниковые антенны состоят из
параболоидов вращения
16. Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;4] вокруг оси ОУ. Найдите объём тела вращения.(параболоид)
4V ( у ) у
2
0
2
у
2
4
0
8 ( кв .ед.)
17. Решение проблемы: Как найти объем мороженицы?
Поверхность телаполучена вращением
фигуры, образованной
графиками функций:
у 0,5x 2 1, на [ 3; 2]
у 6 x 12 3, на [2; 8]
у 4 x 4 , на [4; 8]
18. Решение:
у 0,5x 2 1, на [ 3; 2]у 6 x 12 3, на [2; 8]
у 4 x 4 , на [4; 8]
19. Схема решения
bV f 2 ( x) x
a
V Vîñíîâàíèÿ V÷àøè Vâûåìêè
2
Vоснования 0,5x 1 x
2
2
3
8
Vчаши
2
6 x 12 3 x
2
8
Vвыем ки 4 4 x 4 x
4
2
20. Вычисление определённых интегралов
bV f 2 ( x) x
a
V Vоснования Vчаши Vвыемки
2
2
Vоснования 0,5 x 2 1 x (0,25x 4 x 2 1) x
30 125 куб .ед.
3
3
8
Vчаши
2
8
2
8
6 x 12 3 x (6 x 12 6 6 x 12 9) x
2
306 куб .ед.
2
8
Vвыем ки 4 4 x 4 x 16(4 x 4) x 128 куб .ед.
2
4
Vкубка 208 125 654.4куб .ед
4