Уравнения логарифмические, иррациональные, показательные

1.

Уравнения
Логарифмические
Иррациональные
Показательные

2. Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется
иррациональным уравнением.
Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком корня,
основано на следующих основных теоремах:
f ( x) g ( x)
f(x)=g(x)
f 2(x)= g 2 (x)
f (x)= g 2(x)
g(x) 0
f(x)=g(x)
f 3(x)= g 3 (x)
X R
f ( x)
g ( x)
f(x)=g(x)
g(x) 0
Если уравнение без нахождения ООУ
Необходима проверка!

3. Примеры:

1). 2 х 5 х 1
2). 2 х х 6 х 1
2
3 ). х х 6 х
* 3
2
4 ). х 5 х 3
*
х 3 х 2 1

4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

• Показательными уравнениями,
называется уравнение вида
а
a
а- положительное число,
f ( x)
g ( x)
а 1
• Решение уравнений, содержащих неизвестное в показатели
степени, основано на следующей теореме
• Основные методы:
а) Метод введение новой переменной
а f ( x) a f ( x)
a 0
f ( x) g ( x)
a 1
б) Метод разложения на множители
в) Если левая и правая части уравнения- произведения, положительные на
области определения уравнения, то логарифмируем обе части уравнения
по любому удобному основанию.

5. Примеры:

5).3 4
х
х 2
2
х

6. Логарифмические уравнения

• Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком
логарифма, основано на следующих теоремах:
log a f ( x) g ( x)
f ( x) a
g ( x)
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
log a ( f ( x)) 2 n g ( x)
2n log a f ( x) g ( x)

7. ПРИМЕРЫ:

1
1) log 3 (4 x 1) 2 log 1
x 1
3
2) log
1
(2
x 2
4 ) 4
x
2
3)2 log 2 x 5 3 log x 2
1
4) log 9 x 2 (6 2 x x )
2
lg x 3
0,01
5) x
2

8. Проверь себя

х 5
х 3
х 3 х 2 1
х 3 t 0
Пусть
t2 х 3
х t2 3
Подставим вместо х выражение t 2 3 в исходное уравнение получаем :
t2 3 5 t
1
2
t t2 3 2
t2 t 2 1 2 t t2 5 t2 t 5
2t 6 2 t 2 t 5
3 t
t2 t 5
9 6t t 2 t 2 t 5
0 t 3
t 2
0 t 3
х 3 2
х 3 4
х 1
Ответ 1
2

9.

3
х
х2 х 6 х
2
х R
х 6 х3
х3 х2 х 6 0
1 2
3
6
P3 1 1 1 1 6 5
1 1 1 1
P3 2 8 4 2 6
P3
6 9
0
х3 х2 х 6
х - 2
х 3 2х 2
х
х
2
х
х
2
- 2х
2
х 3
3х - 6
3х - 6
х
х
- 2
х
0
2
- 2 0
х 2
Ответ 2
х 3 0
х
2
х 3 0
Д 0
корней нет

10. Проверь себя

12 4 х 35 6 х 18 9 х 0
Функциях у 9 х хположитель
на при любых действительных значениях х,
х
12 4 35 6 18 9 0
поэтому
разделим
обе частина
уравнения
надействител
9 х.
Функция
у 9 х положитель
при любых
ьных значениях х,
х
4поэтому
6х
разделим
обе части уравнения на 9 х .
12 х 35 х 18 0
9 4х 9 6х
12
2хх
35
х
3
х
18
х 0
9 2
2 9
12 2 х35 х 18 0
3 2 35 3 2 18 0
12
3
2 х
2 t
3 3 t
12 12
t 2 t 235 35
t t18
0 0
18
D D361
361
2 2
t 1 t 1
3 3
х
99
t 2 t 2
44
х
2
2
2
9
2 2
2 9
3 3 3 4
3
4
3
3
х 1
х -2
х Ответ
1
х -2
1; - 2
х
Ответ 1; - 2
х

11. Проверь себя

3 х 4 х 2 2 х
log 2 3 x log 2 4 x 2 2 x
x log 2 3 x 2 log 2 4 x log 2 2
x log 2 3 2 x 4 x
x log 2 3 3 x 4
x log 2 3 3 4
4
x
log 2 3 3
4
Ответ
log 2 3 3

12. Проверь себя

log 9 x 2
Проверь себя
6 2 x x 12
2
6 2x x 2 0
9x
2
1 7
1
х 0
9x 2 6 2x x 2
3x 6 2 x x 2
3x 6 2 x x 2
3 x 6 2 x x 2
x 3 не удовл.
x 2
x 6
не удовл.
x 1
Ответ 1; 2
1 7

13. Проверь себя

х lg x 3 0,01
Прологарифмируем обе части уравнение по основанию10
х 0 *
х 1
lg x lg x 3 lg 0,01
lg x 3 lg x 2
lg x t
t 3 t 2
t 2 3t 2 0
t 2
t 1
lgx 2
lgx 1
x 100
x 10
Ответ
10; 100