Показательные и логарифмические уравнения

1. «Показательные и логарифмические уравнения»

2.

I.Простейшие показательные уравнения вида
х
а).
а b.
у а , а 0, a 1 .
х
D(у)=R;
Е(у)= R ;
Монотонна на всей области определения,
при a >1 возрастает,при 0< a <1 убывает, т.е
х
по теореме о корне уравнение а b.
Имеет один корень при b>0;
Не имеет корней при b 0.
c
Представим b в виде b а , имеем:

3.

а b a aпо свойству
х
x
c
степеней с одинаковыми основаниями
решением уравнения является
равенство
Пример:
Ответ: 4.
хх = с.
2 16;
х
4
2 2 ;
х 4.

4.

х
, левая и правая
2).В уравнении
части приведены к одному основанию и
решением уравнения является равенство х =
Т.к.
разделим обе части уравнения
нах правую
часть:
х
а а
а 0,
а
а
а
х
х
0
1
а
1
а
а
а
а
а
х 0 х .
3).Очевидно, что уравнение
Пример: 6 х 3 5 36 ;
6
х 3
2
5
6 ;
2
х 3 ;
5
а
а
f ( x) .
2
х 3 .
5
f ( х)
2
3 .
5

5.

II. Показательные уравнения вида
f ( х)
а).
На основании определения о нулевом
показателе имеем его решение: f ( x ) 0 .
2
х
5 х 6
Пример:
2
1;
1,
а
х 5 х 6 0;
х1 2; х2 3. Ответ: 2 и 3.
2
а
f ( х)
b
f ( x)
,
б).
Уравнения такого вида решаются с
использованием теорем о возведении в
степень произведения и дроби и им
обратные, рассмотрим решение на примере:

6.

Пример 1:
2
Т.к. 3
х 2
х 2
х 2
Пример 2:
3 .
0,
х 2
х 2
5
Т.к. 7
3 х
х 3
3 х
7 .
0,
х 3
3 х
2
3
х 2 ;
х 2
3
3
2 х 2
1;
х 2
3
х 2
2
1;
3
5
7
3 х ;
3 х
7
7
х 3
х 3
5 7 1;
х 3
(5 7 ) 1;
х 3 0;
2.
3.
х 2 0;
х 2.
х 3.

7.

III. Показательные уравнения вида
mx k 0
mx k1
mx k n
mx k 2
A1a
A2 a
... An a
M,
где A0 , A1 , A2 ,... An , М , a , m, k 0 , k1 , k 2 , k n сonst .
A0 a
Вынесем за скобки
число. Имеем:
a
mx k i
( A0 a
k0 ki
A1a
k1 k i
а
mx k i
A2 a
где
,
k-наименьшее
i
k 2 ki
k n ki
... An a
) M,
N const .
a mx ki N M , при N≠0 получим уравнение:
a
mx k i
M
,

8.

M
a
,
Возможны три случая:
mx k i
f ( x)
M
1 , уравнение сводится к виду
M
f ( x)
а , уравнение сводится к виду
M
0 , данное уравнение не имеет корней.
a
a
1;
а ;

9.

Пример 1:
6
х 1
35 6
х 1
Вынесем за скобки
х 1
Пример 2:
71.
6
х 1
,
6 (6 35) 71;
х 1
6 71 71;
71
х 1
6 ;
71
х 1
6 1;
2
х 1 0.
х 1.
3
х 1
2 3
х 2
Вынесем за скобки
х 1
х 75
.
1
3
,
3 (1 2 3 ) 75;
х 1
3 (1 54) 75;
3
х 1
( 53) 75;
75
х 1
3 ;
53
3
уравнение корней не имеет.
1.
корней нет.

10.

IV. Трёхчленное показательное уравнение:
а). A0 a 2 х A1a х A2 0,
x
Выполним подстановку а у , где у>0,
показательное уравнение превращается в обычное
квадратное уравнение
А0 у А1 у А2 0,
2
Решением этого уравнения являются значения
у1 и у2;
Чтобы найти корни показательного уравнения нужно
х
х
решить уравнения
и
2;
1
Если у1 0 и у 0, одновременно, то данное
2
показательное уравнение корней не имеет.
а у
а у

11.

Пример:
2 4 80.
х
2х
2 2 80 0;
Выполним подстановку 2 х t , где t>0,
2
t t 80 0;
t1 10;-посторонний корень;
t 2 8;
х
Решим уравнение 2 8,
х
х
2 2 ,
х
3
х 3.
3.

12.

х
2
б). A a х A a b
0
x
2
1
A2b 0,
x
Разделим данное уравнение на bx, ( bx≠0):
х
х
2
x
2
x
a
a b
b
A0 x A1 x A2 x 0,
b
b x
b
х
a
а 2
A0 A1 A2 0,
b
b
Решение этого уравнения сводится к решению
квадратного уравнения:
А0 у А1 у А2 0,
2
x
2
а
где у, y>0
b
Чтобы найти корни показательного уравнения нужно
х
2
х
2
а
а
решить уравнения у1 и у2;
b
b

13.

Пример:
2
2 х 1
5 6 3
х
2 х 1
0.
Преобразуем уравнение по свойствам степени:
2 2 5 2 3 2х 3 2х3
2х
х
х
2х
Разделим уравнение на 3 , 3 ≠0:
0;
2
2 3
3
2 2 х 5 2 х 3 2 х 0;
3
3
3
2х
х
2
2
2 5 3 0;
х
3
3
2х
х
х
2х
2
выполним подстановку t , t 0,
3
Решим уравнение
2t 5t 3 0;
2

14.

2t 5t 3 0;
2
а b c 2 ( 5) 3 0;
t1=1
х
и
2
1;
3
х
0
2 2
;
3 3
х 0.
-1 и 0.
3
t2=
х 2
3
2
;
2
3
х
1
2 2
;
3 3
х 1.

15.

Определение логарифмического
уравнения
Уравнение, содержащее переменную под
знаком логарифма, называется
логарифмическим
log x b
a
Где a 0 , a 1 Оно имеет единственное решение
x a
b
при любом b.

16. Определение логарифма.

Логарифмом данного числа по
данному
основанию
называется
показатель степени, в которую надо
возвести
это
основание,
чтобы
получить данное число.
log a x
a
x, а 0, х 0, а 1

17. Свойства логарифмов, где А и в – положительны а > 0, а ≠ 1

loga aaa 11
log
log a b
log
rrlog
logaabb
logaa11
0
0
log
b
log
log
logaa log
loga ac c
log a
c
log
loga aaa cc
log
log
logaabb log
log
c
logaabc
a ca
1
logaa b
log
log b a
log a x 22nnlog
logaa| |xx| ,| (, n(n ZZ) )
rr
cc
22nn
logaabb log
logaarr bb
log
rr
log
logc cbb
loga abb
log
log
logc caa

18. Основные сведения о логарифмах.

19. Математический диктант:

3 log 34 =
2. log 4 4 =
3. log 3 1 =
4. log -5 5=
5. log 6 2 + log 6 3 =
6. log 2 32 =
7. log 3 3
8. log 2 28 - log 2 7 =
1.
5 log 57 =
10. log 4 1=
11. log 6 6 =
12. log 5 (-2)=
13. log 3 27 =
14. log 2 15 - log 2 30 =
15. log 15 3 + log 15 5 =
9.

20. Математический диктант (ответы):

4
2. 1
3. 0
4. Не существует
5. 1
6. 5
7. 0,5
8. 2
1.
7
10. 0
11. 1
12. 3
13. Не существует
14. 0,5
15. 1
9.

21. Методы решения логарифмических уравнений

1.
2.
3.
Решение уравнений по свойствам
логарифма.
Решение уравнений по определению
логарифма
Решение уравнений заменой
переменной.

22.

Пути решения уравнений
1. Выбрать метод решения.
2. Решить уравнение.
3. Проверить найденные корни непосредственной
подстановкой в исходное уравнение.

23. Решение логарифмического уравнения по определению логарифма

1. Решите уравнение:
2 log 2 ( х 17 ) 13
Решение уравнения:
2
log 2 ( х 17 )
13
х – 17 = 13
Пояснения и применяемые
формулы:
а
log а в
в
Перенесём число 2 в правую часть
х = 13 +17 = 30
Сделаем проверку
2log 2 (30 17 ) 13
log 2 13
2
13
Посчитаем в скобках
13=13
Верно
Ответ: х = 30
а
log а в
в

24. Решение логарифмического уравнения по определению логарифма

2. Решите уравнение:
6
Решение уравнения:
6
log 6 ( х 2 3)
х2 – 3 = 1
log 6 ( х 2 3)
Пояснения и применяемые формулы:
log а в
а
1
Приведём подобные
х2 = 4,
Решим неполное квадратное уравнение
х1 = 2, х2 = -2
6
6
6
log 6 ( 4 3)
log 6 1
в
Перенесём число 3 в правую часть
х2 = 1 + 3
log 6 ( 2 2 3)
1
Сделаем проверку
1 6
log 6 (( 2 ) 2 3)
1
log 6 ( 4 3)
6
1,1 1 6
log 6 1
Ответ: х1 = 2, х2 = -2
1
1
1,1 1
Подставляем числа
Посчитаем в скобках
log а в
Верно
а
в

25. Решение логарифмического уравнения по определению логарифма

3. Решите уравнение:
Решение уравнения:
lg x 3
lg x lg 10
3
lg x 3
Пояснения и применяемые формулы:
lg 10b b
a n
1
an
1
lg x lg 3
1
1 10
0,001
3
10
1000
Левая и правая часть уравнения приведена
к логарифму по одному основанию
lg 0,001 3
0,001 10 3
lg 10 3 3
lg 10b b
-3=-3
Ответ: х = 0,001
Сделаем проверку
Верно

26. Решение логарифмического уравнения по определению логарифма

4. Решите уравнение: log 7 (5 x) 3
Решение уравнения:
Пояснения и применяемые формулы:
log 7 (5 x ) 3
log a a b b
log 7 (5 x ) log 7 7 3
Возведём 7 в куб
log 7 (5 x ) log 7 343
5 - х = 343,
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию
Решим линейное уравнение
- x = 338
Неизвестные оставим в левой части,
числа переносим вправо
Умножим все части на (-1)
х = - 338
Сделаем проверку
-x = 343 - 5

27. Решение логарифмического уравнения по определению логарифма

Решение уравнения:
log 7 (5 ( 338)) 3
Пояснения и применяемые формулы:
Подставим
log 7 (5 338) 3
Посчитаем в скобках
log 7 343 3
343 = 73
3
log 7 7 3
log a a b b
3=3
Верно
Ответ: х = - 338

28. Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма

5. Решите уравнение: log 3 ( x 1) log 3 ( x 3) 1
Решение уравнения:
Пояснения и применяемые
формулы:
log 3 ( x 1) log 3 ( x 3) 1 log a x log a y log a ( x y )
log a a 1
log 3 ( x 1)( x 3) 1
log 3 ( x 1)( x 3) log 3 3
( x 1)( x 3) 3
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию
x 2 3x x 3 3
Раскроем скобки
Приведём подобные
x2 4x 3 3 0
Перенесём все слагаемые в лево
x2 4x 0
Решим неполное квадратное
уравнение

29. Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма

Решение уравнения:
Пояснения и применяемые
формулы:
Вынесем за скобки общий
x2 4x 0
множитель
х ( х 4) 0
Произведение равно нулю, когда хотя
х 0или
бы один из множителей равен нулю
х 4 0, х 4
х 0
Сделаем проверку
log 3 (0 1) log 3 (0 3) 1
log 3 1 log 3 3 1
log a 1 0, log a a 1
Верно
0 1 1,1 1
х 4
log 3 ( 4 1) log( 3)
Ответ: х = 0
Посторонний корень
Не существует логарифма от
отрицательного числа.

30. Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма

6. Решите уравнение:
lg( x 2 2 х 7) lg( x 1) 0
Решение уравнения:
lg( x 2 2 х 7) lg( x 1) 0
x2 2x 7
lg
0
x 1
x2 2x 7
lg
lg 1
x 1
x2 2x 7
1
x 1
x2 2x 7 x 1
x2 2x 7 x 1 0
х2 х 6 0
Пояснения и применяемые
формулы:
log a x log a y log a
log a 1 0
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию
Применим свойство пропорции
Перенесём все слагаемые влево
Приведём подобные
Решим квадратное уравнение
x
y

31. Решение логарифмического уравнения по свойствам логарифма

Решение уравнения:
x2 x 6 0
D 12 4 1 ( 6) 1 24 25
1 5
6
x1
3
2 1
2
1 5
4
x2
2
2 1
2
х 2
lg(2 2 2 2 7) lg(2 1) 0
lg 1 lg 1 0,0 0
х 3
lg( 3 1) lg( 4)
Ответ: х = 2
Пояснения и применяемые
формулы:
a = 1, b = 1, c = -6
D b 2 4ac
b D
x1, 2
2a
Сделаем проверку
Верно
Посторонний корень
Не существует логарифма от
отрицательного числа.

32.

Введение новой переменной
2
A log a f ( x) B log a f ( x) C 0,
где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа.
Пусть t = loga f(x), t R.
Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x).
Учитывая область определения, выберем только те
значения x, которые удовлетворяют неравенству
f(x) > 0.

33. Решение логарифмического уравнения введением новой переменной

7. Решите уравнение:
log 32 log 3 x 2 0
Решение уравнения:
log 32 log 3 x 2 0
t2 t 2 0
D ( 1) 4 1 ( 2) 1 8 9
1 3 2
t1
1
2 1
2
1 3 4
t 2
2
2 1
2
2
log 3 х 1
log 3 х 2
log 3 x log 3 3 1 log x log 32
3
3
1
1
x 3
x 32 9
3
Ответ: х1 = 1/3, х2 = 9.
Пояснения и применяемые
формулы:
Обозначим:
log 3 x t
Решим квадратное уравнение
D b 2 4ac
b D
t1, 2
2a
log a a b
b
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию

34. Решите сами

1.2 log 52 x 5 log 5 x 2 0
2. log 21 x 3 log 1 x 2 0
2
2
1.3 log 24 x 7 log 4 x 2 0
2. log 52 x log 5 x 6 0
Ответы:
1. х1 = 0,0016, х2 = 0,2
2. x1 = 4, x2 = 2
1. х1 = 0,5, х2 = 16
2. x1 = 0,008, x2 = 25

35. Решение логарифмического уравнения приведением к одному основанию

8. Решите уравнение:
3 log х 16 4 log 16 x 2 log 2 x
Приведём все логарифмы к основанию 2 по свойству логарифма:
log a x
log b x
log b a
log 2 16
log 2 2 4
4 log 2 2
4
log x 16
log 2 x
log 2 x
log 2 x
log 2 x
log16 х
log 2 х
log 2 х
log 2 х
log 2 x
log 2 16
log 2 2 4
4 log 2 2
4
Подставим в исходное уравнение полученные результаты:
3
4
log 2 x
4
2 log 2 x
log 2 x
4
12
log 2 x 2 log 2 x
log 2 x

36. Решение логарифмического уравнения приведением к одному основанию

12
2 log 2 x log 2 x Приведём подобные
log 2 x
12
3 log 2 x
log 2 x
3 log 22 x 12
Умножим обе части уравнения на
log 2 x 4
Разделим обе части уравнения на 12
log 22 x 4
Получили уравнение вида: х2 = а
log 2 x 2
log 2 x 2
log 2 x log 2 2
2
x 22 4
Ответ: х1 = 4, х2 = 0,25
log 2 x log 2 2 2
x 2 2
1
1
0,25
2
2
4