Электротехника и электроника. Лекция № 4. Основы однофазных электрических цепей переменного тока

1.

Кубанский государственный технологический университет
Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности
Учебная дисциплина
Электротехника и электроника
Лекция № 4
Основы
однофазных электрических цепей
переменного тока

2.

Учебные вопросы:
1. Гармонические колебания. Основные понятия и определения.
2. Интегральные оценки гармонических (синусоидальных)
колебаний
3. Способы представления гармонических колебаний.
4. Особенности символического метода анализа цепей
переменного тока
Литература:
Литература
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей:
Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 61 –84.
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и
электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 37 –54.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.

3.

1. Гармонические колебания. Основные понятия и определения
Гармоническим колебанием называют колебания,
изменяющиеся по синусоидальному или косинусоидальному
закону
u (t ) U m cos( t u )
i (t ) I m sin( t i )
u(t)
i(t)
Im
u>0
Um
Т
3Т
2Т
Параметры гармонических колебаний
Im,Um – амплитуда тока или напряжения (Im,Um ) = const
( t+ I),( t+ u) – полная фаза (фазовый угол), фаза, рад
d ( t u )
dt
Угловая частота,
рад/с.
t
2
Т
f
1
, Гц
Т
2 f

4.

При совместном рассмотрении двух гармонических колебаний одинаковой
частоты разность их фаз, равную разности их начальных фаз обычно
называют сдвигом фаз и обозначают или .
u (t ) U m cos( t u )
0
i (t ) I m sin( t i )
u i
2
Колебания синфазные (совпадают по фазе)
Колебания противофазные
Колебания находятся в квадратуре
0, т.е. u i
Напряжение опережает ток
по фазе
Напряжение отстает от
0, т.е. u i
тока по фазе
Для питания различных электроэнергетических установок в России принята
промышленная частота f = 50 Гц. В качестве источников гармонических
колебаний промышленной частоты используются электромашинные генераторы
f p p n / 60
где pp число пар полюсов ротора,
(об.мин) – скорость вращения ротора.
n–

5.

2. Интегральные оценки гармонических (синусоидальных)
колебаний
В практической электротехнике для оценки прежде всего
энергетических возможностей переменного тока вводятся понятия
действующего (среднеквадратического) и среднего значения
переменного тока за период.
Определение 1. Действующим (его также называют
эффективным или среднеквадратическим)
значением
периодического тока i(t) называют такой постоянный ток
I, который в одном и том же сопротивлении R за время
одного периода Т тока i(t) выделяет равное с переменным
током количества тепла
Т
0
I
1
T
T
T
0
0
p (t ) dt R i 2 (t ) dt R i 2 (t ) dt R T I 2
T
Действующее значение
0
переменного тока
(напряжения)
2
i
(t )dt
U
1
T
T
2
u
(t )dt
0

6.

i(t)
Im
I2
I
I2m
t
2Т
Т
0,707IIm
II==0,707
m
Установим связь между действующим значением I и амплитудой Im для
тока i(t)
T
I
1 2
i (t ) dt
T 0
T
1
2
2
I
sin
( t i ) dt
m
T 0
T
T
I m2
dt cos 2( t i ) dt
T 0
0
Im
I
2
I 0,707 I m
I m2
T
T
1
0 2 1 cos 2( t i ) dt
I m2
Im
0,707 I m
2
2
Um
U
U 0,707U m
2
Em
E
2

7.

Пример: Пусть действующее значение напряжения U = 220 В, в этом
случае амплитуда этого напряжения Um = 2·220 = 311 В.
Действующее (или эффективное) значение переменного тока –
это значение переменного тока, эквивалентное постоянному току
по тепловому воздействию
Действующие значения синусоидальных токов, напряжений и
ЭДС
измеряются
приборами
электромагнитной
и
электродинамической систем.
При расчете электрических цепей переменного тока и их
исследованиях чаще всего пользуются действующими
(эффективными) значениями тока, напряжения и ЭДС.
Среднеe значение переменного тока эквивалентно постоянному
току по количеству электричества Q, проходящему через
поперечное значение проводника за определенный промежуток
времени

8.

Определение 2. Средним значением IСР периодического тока i(t)
называют среднее значение тока за положительный полупериод,
совпадающее со средним значением по модулю.
U CР
2
Т
Т /2
0
2
u (t )dt
T
T /2
0
2U m
U m sin( t u )dt
0,637 U m
Средние значения синусоидальных токов, напряжений и ЭДС
измеряются приборами магнитоэлектрической систем
совместно с выпрямительными устройствами.
FСР
1
Т
Т
f (t )dt
0
Для
гармонически
изменяющихся
токов
и
напряжений среднее значение за период равно
нулю, так как площадь за период равна нулю.
I CP 0,637 I m
f(t)
t
U CP 0,637 U m
ECP 0,637 Em

9.

Отклонения кривых периодических токов и напряжений от
синусоидальной формы характеризуется коэффициентом
амплитуды КА и коэффициентом формы КФ
Im Um
KA
I
U
u(t)
KФ
I
I СР
U
U СР
u (t ) I m sin( t i ) 31,4 sin( t i )
Um
U m 31,4
KA
1,41
U
22,2
t
U 0,707 U m 0,707 31,4 22,2 B
U CP 0,637 U m 0,637 31,4 20,0 B
U
22,2
KФ
1,11
U СР
20

10.

Определим мгновенную мощность гармонического колебания в пассивном
линейном двухполюснике.
1
p(t ) u (t ) i (t ) U m sin( t u ) I m sin( t i ) U m I m cos( u i ) cos(2 t u i )
2
U I
m m cos( u i ) cos( 2 t u i ) U I cos( ) U I cos(2 t u i )
2 2
Постоянная
составляющая
Переменная
составляющая
Мгновенная мощность положительна, когда ток и напряжение имеют
одинаковые знаки (энергия поступает от источника в нагрузку), и
отрицательна если знаки напряжения и тока разные (энергия возвращается
источнику).
Определим среднюю мощность гармонических колебаний
1
P
T
T
0
T
1
p (t )dt UI cos( ) UI cos(2 t u i ) dt
T0
T
T
UI
UI
cos( ) dT
cos(2 t u i )dt U I cos( )
T
T 0
0
В пассивных электрических цепях Р > 0, разность фаз - /2<
Р Вт
< /2

11.

3. Способы представления гармонических колебаний.
Гармонические колебания можно представить различными способами:
функциями времени (временное представление), вращающимися векторами
(векторное представление), комплексными числами, амплитудными и
фазовыми спектрами (спектральное представление).
j
I m3
Im3
I m1 sin 1 I m 2 sin 2
3 arctg
I m1 cos 1 I m 2 cos
Im2
2 3
1
Im1
+1
Наиболее распространенными являются
представление гармонических колебаний с
помощью комплексных чисел
Мнимая часть
i (t ) I m e
I m I me
I m2 1 I m2 2 2 I m1 I m 2 cos( 2 1 ) ;
j ( t i )
j i
j t
Im I m e
I m cos( t i ) jI m sin( t i )
Комплексная амплитуда
тока
Im
1
j t Действительная
Re I m e
часть

12.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
U x jy r cos( ) j sin( )
x r cos( )
y r sin( )
Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексных чисел
U a jb r e
j
r exp( j )
arctg
r a jb 0
2
u (t ) U m cos( t ) jU m sin( t ) U m e
2
j ( t )
U
j t
U me
e
j
b
a
U m e j t
U m U m j
e U e j
2
2
Комплексное действующее
значение
Комплексная форма записи законов Ома и Кирхгофа
Im
Um
Z
;I
U
Z
n
I
k 1
mk
0
n
I
k 1
k
0
n
Z
k 1
k
n
I k Ek
k 1

13.

Пример: Представить комплексный ток,
I ( 4 j 3) A
заданный в алгебраической форме
в тригонометрической и показательной формах записи
Р е ш е н и е.
Действующее значение тока (модуль комплексного тока)
I
4 2 32
16 9
25 5 A
Аргумент комплексного тока
tg i 3
4
0,75
i 36 50 /
i arctg ( 3 4 )
Тригонометрическая форма записи комплексного тока
I (4 j 3) I (cos i j sin i ) 5(cos 36 50 / j sin 36 50 / ) A
Показательная форма записи комплексного тока
I (4 j 3) I exp( j i ) I e
j i
5 exp( j 36 50 ) 5 e
/
j 36 50 /
A

14.

4. Особенности символического метода анализа
цепей переменного тока
При расчетах электрических цепей переменного тока широко
используется метод комплексных амплитуд (составляющий основу
символического метода анализа)
I m Im e
j i
I I e
j i
U m Um e
j u
U U e
j u
При таком подходе методы расчета ЭЦ переменного тока
аналогичны методам расчета ЭЦ постоянного тока.
Записи соответствующих уравнений, составленных по
законам Ома и законам Кирхгофа одинаковы по форме для
ЭЦ однофазного переменного тока и постоянного тока
j u
U e
U
j ( u i )
j
Z
e
Z e
j i
I
I
e
I
U

15.

Рассмотрим пример использования символического
метода анализа для цепи переменного тока
i(t)
u(t)
L
uL(t)
uC(t)
iC(t) R
uR(t)
C
Система уравнений для мгновенных
значений i(t) и u(t)
i iR iC 0
di 1
L
idt u
dt C
1
R iR idt 0
C
jXL
iR(t)
I
UL
U
UR
UC
R
-jXC
Система уравнений для
комплексных действующих
значений токов и напряжений
Переход к
символическому
методу записи
I IR IC 0
jX L I jX C I C U
R I R jX C I C 0

16.

Задание на самостоятельную работу
Литература:
Литература
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы
теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 61 –
84.
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории
электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и
связь, 1999 г, с. 37 –54.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.