Электротехника и электроника. Однофазные электрические цепи синусоидального тока. (Лекция 2)

1. Электротехника и электроника

Лекция 2
Однофазные электрические
цепи синусоидального тока

2. Параметры синусоидальных электрических величин

Синусоидальная функция является периодической
функцией времени, т.е. через равный промежуток
времени, называемый периодом T, цикл колебаний
повторяется i (t ) i (t T )
Периоду Т соответствует фазовый угол 2π или 360°
Величина обратная периоду Т называют частотой и
измеряется в Гц f 1
T
Угловая частота показывает насколько фазовый
угол синусоиды изменился за период 2 f

3. Аналитические выражения синусоидальных величин

e(t ) Em sin( t e )
Мгновенное значение ЭДС
u(t ) U m sin( t u )
Мгновенное значение напряжения
i(t ) I m sin( t i )
Мгновенное значение тока
Im, Um, Em - амплитудные значения тока, напряжения и ЭДС
(ωt+ψ)- аргумент синуса, который определяют фазовый угол
синусоидальной функции в данный момент времени t (фаза)
Ψ – начальная фаза

4. Начальные фазы синусоидальных величин

i 0
u 0
e 0
Знак «+» или «-» перед начальной фазой означает,
сколько не хватает градусов, чтобы наша функция
выходила из начала координат.

5. Сдвиг фаз между напряжением и током

u i

6. Действующие и средние значения

Расчет действующих значений
T
1 2
I
dt
i
T 0
Im
I
2
0,707 I m
U
Um
2
0,707 U m
Расчет среднего значения
Т
1
I ср
Т
2
2
I
0
m
sin tdt
2
I m 0,638I m

7. Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей

A(t ) Am sin( t a ) A m Am e
A a1 ja2
a1 A cos a a2 A sin a
A Ae
j a
j a
A A cos a jAsin a

8. Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей

А m Am e
A t Am sin ωt ψ
a
Амплитудные значения
I
j a
m
Im e
j i
Um Um e
jψu
E m Em e
jψ e
Действующие значения
I Ie
j i
U U e
j u
E Ee
j e

9. Правила перехода из одной формы в другую Из показательной в алгебраическую

A Ae
j a
Формула Эйлера:
e
j a
cos a j sin a
Результат:
A A(cos a j sin a ) A cos a jA sin a

10. Правила перехода из одной формы в другую Из алгебраической в показательную

A A cos a jA sin a
Длина вектора А:
A
а1
2
а2
2
Угол между вектором и осью:
a2
a arctg
a1

11. Простейшие математические операции с комплексными числами

A A cos jAsin
Ae
j
B B cos jB sin Be
Сложение и вычитание:
A B A cos B cos j ( A sin B sin )
Умножение и деление:
AB
j
Ae Be
j
AB
j
A
B
A j
Be
j

12. Простейшие математические операции с комплексными числами

Единичные комплексы
e
e
e
j0
j180
j 90
j 90
e
Действия с j
1
jj 1
1
j ( j ) 1
j
j
1
j
j
1
j
j

13. Комплексное сопротивление

Комплексное сопротивление:
Um
Um j ( u i ) Um j
j
Z
Ze
e
e
Im
Im
Im
Модуль комплексного
Комплексное сопротивление
сопротивления:
через действующие значения:
Um
Z
Im
U
Z
I
Закон Ома для амплитудных значений:
Um Im Z
Закон Ома для действующих значений:
U I Z

14. Треугольник сопротивлений

В алгебраической форме
Z=R+jX, где
R- активное сопротивление ,
X- реактивное сопротивление
R=Zcosφ, R≥0
X=Zsinφ
Причем реактивное
сопротивление может быть как
положительным так и
отрицательным или равное
нулю.

15. Мощности в цепях переменного тока

Полная мощность:
S UI
Комплексное действующее
значение напряжения:
Сопряженный
I I
комплекс тока:
U U e
j i
e
S U e
S UI e
j u i
j u
j u
Ie
j i
j
UI e S e
S UI
j

16. Мощности в цепях переменного тока в алгебраической форме

S UI cos jUI sin
(ВА –вольт-ампер)
Активная мощность:
P UI cos
(Вт – ватт)
Реактивная мощность:
Q UI sin
(ВАр – вольт-ампер реактивный)

17. Электрическая цепь с R,L,C-элементами

Для каждого элемента необходимо определить:
Угол сдвига фаз между напряжением и током
(угол φ), построить векторную диаграмму
Полное комплексное сопротивление (Z)
Энергетическую характеристику цепи (P, Q, S)

18. R-элемент

Начальная фаза
u i
Угол сдвига фаз
u i 0
i u
Um
sin( t u ) I m sin( t i )
R
R
Um ImR
U IR

19. Полное комплексное сопротивление R-элемента

Комплексное сопротивление
резистивного элемента всегда
является действительным
положительным числом,
которое равно значению
активного сопротивления R.
Закон Ома: U IR
Z
U
I
Z R

20. Мощность на R-элементе

На резистивном элементе
полная мощность равна
активной мощности. Это
означает, что на резисторе
совершается работа по
преобразованию
электрической энергии в
другие виды энергии.
S R P jQ
P UI cos UI
Q UI sin 0
SR P

21. L-элемент

Начальная фаза
u i 90
Угол сдвига фаз
u i 90
i(t ) I m sin( t i )
di
u L L L I m sin( t i 90 ) U m sin( t u )
dt
u(t ) U m sin( t u )

22. Полное комплексное сопротивление L-элемента

Комплексное сопротивление Lэлемента всегда является мнимым
положительным числом, модуль
которого равен ХL.
Реальная катушка имеет активное
сопротивление, определяемое
сопротивлением проводов, поэтому
полное комплексное сопротивление
равно:
Z
U
jX L
I
Z X L L
Z L RL jX L
Закон Ома: U IX L

23. Мощность на L-элементе

S L P jQ
На L–элементе происходит
обмен энергией между
источником электрической
энергии и магнитным полем
катушки, что определяет
реактивную мощность Q.
P UI cos 0
Q UI sin UI
S L jQ

24. C-элемент

Начальная фаза
i u 90
Угол сдвига фаз
u i 90
u(t ) U m sin( t u )
i (t ) C
du
C U m sin( t u 90 ) I m sin( t i )
dt
i(t ) I m sin( t i )

25. Полное комплексное сопротивление C-элемента

Комплексное сопротивление C-элемента всегда
является мнимым отрицательным числом,
модуль которого равен ХС.
Z
U
jX C
I
1
Z XC
C
Следовательно сопротивление конденсатора
чисто реактивное и равно:
Z C jZ
Закон Ома: U IX C

26. Мощность на C-элементе

S C P jQ
На C–элементе происходит обмен
энергией между источником
электрической энергии и
электрическим полем конденсатора,
что определяет реактивную
мощность Q. С-элемент работы не
совершает, поэтому активная
мощность равна 0.
P UI cos 0
Q UI sin UI
S C jQ

27. Анализ цепей синусоидального тока

Анализ цепей синусоидального тока происходит при условии, что все элементы
цепи идеальны, т.е. R, L, C идеальны.
Электрическое состояние цепей синусоидального тока описывается теми же
законами, что и в цепях постоянного тока.
U
I
z экв
Закон Ома:
Законы Кирхгофа
Первый закон:
Тригонометрический
вид
n
n
k 1
j ik
I
I
e
0
k k
k 1
k 1
m
m
m
m
k 1
k 1
k 1
k 1
i
k 1
Второй закон:
n
Комплексный вид
k
I km sin( ik t ) 0
u k U km sin( t n ) 0
j nk
U
U
e
0
k k

28. Правила построения векторных диаграмм

Если электрическая
цепь содержит
идеализированный R
элемент, то угол φ=0 и
векторная диаграмма
имеет вид
Если электрическая
цепь содержит
идеализированный L
элемент, то угол φ=90
и векторная
диаграмма имеет вид
Если электрическая
цепь содержит
идеализированный C
элемент, то угол φ=-90
и векторная
диаграмма имеет вид

29. Правила построения векторных диаграмм

φR=0
φL=90
φC=-90

30. Правила построения векторных диаграмм

Если электрическая цепь содержит
активно-индуктивную нагрузку, то
угол 0<φ<90 и векторная диаграмма
имеет вид:
Если электрическая цепь содержит
активно-емкостную нагрузку, то угол
-90<φ<0 и векторная диаграмма имеет
вид:

31. Правила построения векторных диаграмм

Если электрическая цепь содержит
последовательное соединение элементов, то за
основу векторной диаграммы принимается
вектор тока, относительно которого строятся
вектора напряжений.
Если электрическая цепь содержит
параллельное соединение элементов, то за
основу векторной диаграммы принимается
вектор напряжения, относительно которого
строятся вектора токов.

32. Последовательное соединение элементов в цепи синусоидального тока.

i
U U R U L U C RI jX L I ( jX C ) I
R
U ( R jX L jX C ) I ( R j ( X L X C )) I
U
z экв
UR
UL
C
L
Закон Ома:
Z Экв
UC
U Z экв I
U
R jX L jX C Z экв e j экв
I

33. Треугольник сопротивлений

Z R j ( X L X C ) R jX
+j
X X L XC
Z
jX
jX
+1
R
z R X
2
X L L
2
R Z cos
1
XC
c
2 f
X Z sin
arctg
X
R

34. Треугольники напряжений

+j
Если XL>XC то отсюда
следует что U опережает I,
значит цепь имеет
индуктивный характер.
UC=-jXCI
UL=jXLI
0
UR=IR
I
+1

35. Треугольники напряжений

+j
UL=jXLI
UR=IR
I
+1
UC=-jXCI
Если XL<XC то отсюда
следует что I опережает U,
значит цепь имеет
емкостной характер.
0

36. Резонанс напряжений

Режим работы RLC цепи, при
условии равенства реактивных
сопротивлений XC=XL, когда
общее напряжение цепи
совпадает по фазе с её током φ=0
- называется резонансом
напряжений.
Цепь имеет активный характер:
0

37. Признаки резонанса напряжений

1. Напряжение на входе совпадает по фазе с током,
т.е. сдвиг фаз между I и U φ=0, cos(φ)=1
2. Ток в цепи будет наибольшим и как следствие
Pmax=I2maxR тоже максимальна, а реактивная
мощность равна нулю.
3. Напряжения на элементах цепи могут в несколько
раз превышать напряжение на входе
4. U C U L U C U L 0 U U L U C U R U R .

38. Параллельное соединение элементов в цепях синусоидального тока

I
I I1 I 2
A
U
I2
I1
R1
I 1
-jXC
j XL
B
R2
I 2
U
Z ЭКВ1
U
Z ЭКВ 2
Z ЭКВ1 R1 jX L Z ЭКВ 2 R2 jX C

39. Треугольники проводимостей

1
Y G jB
Z
B
G – действительная часть, активная составляющая
B – мнимая часть, реактивная составляющая
Y
jB
G Y cos
B Y sin
Y G B
2
G
R
G 2
R X2
R
G 2
Z
X
B 2
R X2
2
X
B 2
Z

40. Треугольники токов

I Ie j i I 2 I 2
A
P
IP
I A I cos
jIP
I
IA
I P I sin
U
IP
arctg
IA

41. Резонанс токов

+j
I1R1
IPC
I
U
+1
Режим токов при котором в
цепи, содержащей
параллельные ветви с
индуктивными и емкостными
элементами, ток
неразветвленного участка цепи
совпадает по фазе с
напряжением (φ=0), называют
резонансом токов.
Условие резонанса токов:
IPL
I2R2
Равенство реактивных составляющих
проводимостей в ветвях B B
L
C

42. Признаки резонанса токов

1. Токи ветвей равны IPC=IPL и находятся в
противофазе.
2. Токи ветвей превышают полный ток цепи,
который имеет минимальное значение.
3.
I и U совпадают по фазе, φ= 0

43. Частотные характеристики цепей синусоидального тока

R – активное сопротивление не
зависит от частоты
XL,XC – реактивные сопротивления
зависят от частоты
На графиках показаны зависимости
тока, полного комплексного
сопротивления и угла сдвига фаз от
частоты

44. Коэффициент мощности в цепях синусоидального тока

P UI cos
cos
S
UI
P UI cos
Увеличение напряжения
U приведет к
увеличению изоляции
проводов, увеличение
тока I приведет к
увеличению площади
сечения проводов.

45. Повышение коэффициента мощности в цепях синусоидального тока

IR совпадает с U следовательно φ=0, cosφ=1 и Р=Рмах
Имеется возможность:
1. использовать для неразветвленного участка провода меньшей площади
сечения
2. использовать источник меньшей мощности
3. подключать к источнику дополнительную нагрузку