Цепи синусоидального напряжения

1.

Электротехника и электроника
для заочников
Лекция 2
Цепи синусоидального напряжения
Мириленко Андрей Петрович, к.т.н.
кафедра Электротехники

2. Основные понятия

Основные понятия
Цепи синусоидального напряжения – электрические
величины изменяются по синусоидальному закону.
В частности ЭДС
e – мгновенное значения
Em — амплитудные значения
— фаза
2 f
— начальная фаза
- угловая частота [рад/сек]
― частота [1/сек = Гц]
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 1
2

3. Скачать http://mirylenka.com/zmpt.zip

Основные понятия
Скачать
http://mirylenka.com/zmpt.zip
3

4. Почему применяют синусоидальный ток

Основные понятия
Почему применяют синусоидальный ток
В практике применяются частоты переменного тока от долей герца до
миллиардов герц.
В электроэнергетике стран Европы и СНГ стандартная частота 50 Гц, а
в США — 60 Гц.
Почему 50 Гц? - компромисс
Если частота ниже 50 Гц – заметно мигание ламп и возрастают
размеры оборудования. Если частоту увеличивать, то растут потери на
вихревые токи, снижается КПД, увеличиваются механические нагрузки
на валах.
Почему переменный?
- удобство производства
- удобство трансформации т.е. повышения или понижения напряжения
- снижение потерь на линиях передач.
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
4

5. Почему применяют синусоидальный ток

Основные понятия
Почему применяют синусоидальный ток
Почему синусоидальный
Форма кривой периодически изменяющегося переменного тока может
быть любой (синусоидальной, пилообразной, прямоугольной и т.д.). Но
в практике энергетики применяется синусоидальный ток.
- производство электроэнергии естественным образом даёт
синусоидальный ток
- оптимальные условия работы электрических установок.
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
5

6. Действующие значения синусоидального тока

Основные понятия
Действующие значения синусоидального тока
Действующее значение численно
равное величине постоянного тока,
который протекая по некоторому
T
T
резистору за то
выделит
такое
1 же время
1
E
T
Eср E (t )dt Em sin( t )dt m cos( t ) 0 0
T 0
t
же количество Tтеплоты.
0
за полпериода
2
Eср
T
T /2
Em sin( t )dt
0
Постоянный ток
Em
cos( t )
t
T /2
0
2
Em
Переменный ток
T
T
Q i Rdt I m2 R sin 2 ( t )dt
2
0
Q I RT
2
Q
T
0
Im
Iдейств
2
0
T
I2 T
1 cos( 2wt )
I m2
dt m Rdt R cos( 2 t )dt
0
2
2 0
I m2 RT
I m2
2
Q
0 I
2
2
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
6

7. Синусоидальные функции как комплексные числа

Комплексные числа
Синусоидальные функции как комплексные
числа
u(t) = Umsin(ωt + ψ)
Зачем ?
1. Чтобы действия над
векторами заменить
алгебраическими
действиями над
комплексными числами.
2. Чтобы все законы сохранили
свой вид, только вместо
простых чисел мы будем
подставлять комплексные
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
7

8. Синусоидальные функции как комплексные числа

Комплексные числа
Синусоидальные функции как комплексные
числа
Формы представления
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
8

9. Связь между формами комплексных чисел

Комплексные числа
Связь между формами комплексных чисел
p Am cos( a )
q Am sin( a )
Векторная
Алгебраическая
Показательная
Am Am e
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
j a
9

10. Пример преобразования комплексных чисел

Комплексные числа
Пример преобразования комплексных чисел
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
10

11. Действия над комплексными числами

Комплексные числа
Действия над комплексными числами
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
11

12. Действия над комплексными числами

Комплексные числа
Действия над комплексными числами
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
12

13. Действия над комплексными числами. Пример

Комплексные числа
Действия над комплексными числами. Пример
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
13

14. Принятые обозначения величин

Комплексные числа
Принятые обозначения величин
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
14

15. Синусоидальный ток в резисторе

Синусоидальный ток
Синусоидальный ток в резисторе
u = Umsin(ωt + ψ)
В каждый момент времени по закону Ома
i
Um
sin( t u )
R
u
i
R
i I m sin( t i )
Выводы:
1. Функция тока тоже синусоидальная
2. Амплитудные значения связаны
законом Ома следовательно
действующие значения тоже связаны
законом Ома
3. Начальная фаза тока равна
Закон
Ома верен для всех величин
начальной фазе напряжения
мгновенных, действующих, комплексных
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
15

16. Синусоидальный ток в индуктивном сопротивлении

Синусоидальный ток
Синусоидальный ток в индуктивном
сопротивлении
!!! Закона Ома для мгновенных величин тут нет
При протекании переменного тока через индуктивность возбуждается
ЭДС самоиндукции уравновешивающее соответствующее напряжение.
eL uL
i I m sin( t i )
eL L
di
dt
uL L
di
dt
u L L I m cos( t i ) L I m sin( t i 90 )
Выводы:
1. Функция тока тоже синусоидальная
2. Начальная фаза напряжения
опережает ток на 90º.X L
L
3. Сопротивление индуктивности
Закон Ома для индуктивности
UL
I
XL
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
16

17. Синусоидальный ток в конденсаторе

Синусоидальный ток
Синусоидальный ток в конденсаторе
!!! Закона Ома мгновенных величин тут нет
В емкости есть напряжение между обкладками, которое и
уравновешивает соответствующее входное напряжение
i
Q UC
dQ
du
d (U m sin( t UC ))
C c C
CU m cos( t UC )
dt
dt
dt
i CU m sin( t UC 90 )
Выводы:
1. Функция тока тоже синусоидальная
2. Начальная фаза напряжения отстает
1
от тока 90º.
X
C
3. Сопротивление конденсатора
C
Закон Ома для конденсатора
U mC
Im
XC
UC
I
XC
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
17

18. Цепь с последовательным соединением R L C элементов

Синусоидальный ток
Цепь с последовательным соединением R L C
элементов
1
U U R U L U C IR j LI j
I
C
I
U
1
R j L j
C
U
R j( X L X C ) )
Закон Ома в комплексной форме
U
I
Z
Z R j( X L X C )
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
18

19. Цепь с последовательным соединением R L C элементов. Пример расчета

Синусоидальный ток
Цепь с последовательным соединением R L C
элементов. Пример расчета
U=100В
R=8 Ом
L= 31,8 мГн
С= 796 мкФ
X L L 314 31.8 10 4 10 Ом
XC
1
1
4 Ом
6
С 314 796 10
Z R j ( X L X C ) 8 j (10 4) 8 j 6
I
U
100
100(8 j 6)
800 j 600
8 j6 А
Z 8 j 6 (8 j 6)(8 j 6)
64 36
I I 82 62 10 А
Закон Ома в комплексной форме
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
19

20. Мощность синусоидального тока

Синусоидальный ток
Мощность синусоидального тока
u U m sin t
i I m sin( t )
Мгновенная мощность
p ui
p ui U m sin t I m sin( t )
UmIm
cos cos(2 t )
2
p UI cos UI cos( 2 t ).
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
20

21. Мощность синусоидального тока 2

Синусоидальный ток
Мощность синусоидального тока 2
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую
составляющую частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока.
Два процесса – необратимое преобразование энергии и накопление/возврат
источнику.
Когда мгновенная мощность положительная, энергия поступает в цепь, и когда
отрицательная, энергия отдается источнику.
Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия
периодически запасается в индуктивности и в емкости, входящих в состав
двухполюсника.
Средняя мощность
T
PcpT U ui dt UI cos
0
Интенсивность обмена энергией называют
реактивной мощностью.
Полная мощность - физического
смысла не имеет [ВА]
P
cos
S
Q UI sin
[ВАР]
Вольт Ампер
реактивные
S UI
― коэффициент мощности
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
21

22. Резонанс

Синусоидальный ток
Резонанс
Резонанс в электрических цепях это такой режим работы, когда при наличии ёмкости
и индуктивности входное сопротивление или входная проводимость являются чисто
активными. Это приводит к резкому возрастанию электрических величин.
Резонанс напряжений
Z R
Условие резонанса
2
1
LC
0
1
LC
X j ( L
1
1
) 0 L
C
C
- резонансная частота, частота собственных колебаний
I рез
U
R
U L I 0 L I
1
L
L I
C
LC
Напряжение может возрасти во много раз
L
C
волновое сопротивление
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
22

23. Резонанс токов

Синусоидальный ток
Резонанс токов
Резонанс в электрических цепях это такой режим работы, когда при наличии ёмкости
и индуктивности входное сопротивление или входная проводимость являются чисто
активными. Это приводит к резкому возрастанию электрических величин.
Условие резонанса
L
bL 2
R 1 ( L ) 2
bC b
bC
1
C
R 21 ( 1 ) 2
C
При выполнении условий резонанса реактивные составляющие токов равны,
противоположны по фазе и компенсируют друг-друга.
При этом ток на входе имеет только активную составляющую и уменьшается !!!
1
L
2 C 2
2
2
R 1 ( L)
R 1 (1 )
C
1
LC
2 R12
2 R22
При резонансе токов нет опасных факторов, разве что возрастание токов в
ветвях. Но на входе ток уменьшается.
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
23