Электротехника и электроника. Расчет электрических цепей переменного тока. (Лекция 3)

1. БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова кафедра электротехники, О8

Лекция 3
Расчет электрических цепей
переменного тока
1

2. Однофазный синусоидальный ток

Основные понятия
Um
t 2
Т
U m , I m -амплитудное значение напряжения u, и тока i
u , i -начальная фаза напряжения u, и тока i
2
2 f -циклическая частота или угловая скорость
T
Период Т и
частота
1
f [Гц]
T
В России и Европе
f=50 Гц,
Т=20 миллисекунд
2

3. Мгновенные значения напряжения u(t), тока i(t) и фазовый сдвиг 

Мгновенные значения напряжения u(t), тока i(t) и фазовый сдвиг
i (t ) I m sin( t i )
u (t ) U m sin( t u )
i,u
u
Um
u 0
t
Im
0
i
i 0
Фазовый сдвиг:
i u
3

4.

Однофазный синусоидальный ток
Средние и действующие значения величин
Среднее значение переменной величины за период Т равно нулю. Поэтому
среднее значение вычисляют за половину периода:
2 T /2
1
2
U ср udt U m sin( t )dt U m
T 0
0
Среднее значение для мощности за период времени Т можно вычислить формулой:
T
1
P
pdt
T0
Для оценки периодически изменяющегося величин (напряжение, ЭДС и
ток) используется и понятие «действующее значение».
Действующим значением переменного периодического сигнала (i(t)) называется
значение такого постоянного сигнала (I), который за один период совершает ту же
работу, что и рассматриваемый переменный.
4

5.

Действующее значение переменной величины
Величина
Мгновенное значение
Действующее значение
u(t)=Umsin( t+ u)
U
Ток
i(t)=Imsin( t+ i)
I
ЭДС
e(t)=Emsin( t+ e)
E
Напряжение
Работу, совершаемую при приложении напряжения на резистор с сопротивлением
r находим по закону Джоуля-Ленца.
Переменное напряжение
Постоянное напряжение
2
T
u2
A
dt
r
0
U
A
T
r
u U M sin t
Если мгновенное значение напряжения:
То постоянное напряжение U вычислим из равенства работ
1
1 1 cos 2 t
1
U
U M2 sin 2 tdt U M
dt
UM
T0
T0
2
2
T
I
1
IM
2
T
E
1
EM
2
5

6.

Мощность в сети переменного тока
1T
1T
P uidt U M sin t I M sin( t )dt
T0
T0
1T
UI (1 cos 2 t ) cos UI sin 2 t sin dt.
T0
UI (1 cos 2 t ) cos 0
P UI cos
UI sin 2 t sin
Q UI sin
Мощность отбирается от сети и совершает полезную работу
Активная мощность. Единица измерения - Вт
Знакопеременная величина. Средняя значения за период =0!
Реактивная мощность. Единица измерения - ВАр
Наибольшее значение активной мощности, возможное при данных значениях
напряжения и тока, называется полной мощностью и обозначается S:
S=UI
[ВА]
S P2 Q2
6

7.

Соотношение действующих значений напряжения и тока и сдвиг по фазе в цепи
синусоидального переменного тока
Мгновенные значения тока i(t) и
напряжения u(t) на зажимах двухполюсника:
i I m sin t
u U m sin( t )
Составим уравнение на основании второго закона Кирхгофа для замкнутого контура:
u ur uL uC ir L
di 1
1
idt I m sin( t ) r I m cos( t ) L I m cos( t )
dt C
C
Обозначим:
x L L
xC
Для отдельных элементов цепи можем написать:
Для резистора:
uL L I m cos t xL I m cos t
uL IxL sin( t )
2
1
uC
I m cos t xC I m cos t
C
uC IxC sin( t )
2
Для индуктивности:
Для емкости:
ur I m r sin t
1
L
7

8.

u ur uL uC I m sin( t ) r I m cos( t ) ( L
1
) I m sin( t ) r I m cos( t ) ( xL xC )
C
Для данной схемы введем:
Активное напряжение:
uакт ur rI m sin t
Реактивное напряжение:
uреак. uL uC I m x cos t
Полное напряжение:
Введем величину:
x x L xC
u ur u реак. 2 I ( r sin t x cos t )
z r 2 x 2 Полное напряжение умножим и поделим на z:
r
x
x
r
u I m z ( sin ωt cos t )
sin
где:
cos ;
z
z
z
z
x
arctg
Отсюда получим:
r
Мгновенное значение напряжения на входе двухполюсника u(t):
Тогда можем написать:
u I m z[sin( ωt ) cos( ) cos( t ) sin( )] I m z sin( ωt )
- фазовый сдвиг между входным напряжением u(t) и током i(t)
8

9.

введённые выше величины xL, xC, x, z имеют размерность
сопротивления (Ом).
Поэтому в соответствии с их физическим смыслом – они называются:
r - активное сопротивление;
x - реактивное сопротивление;
Закон Ома для действующих
значений тока и напряжения:
xL - индуктивное сопротивление;
xC - ёмкостное сопротивление;
z- полное сопротивление.
U r Ir
Подставляя данные величины в формулы мощности:
Активная мощность :
P I 2 r Вт ;
Полная мощность :
S I z
Реактивная мощность : Q I 2 x ВАр ;
2
ВА .
U L Ix L
U C IxC
U Iz
Реактивную мощность можем представить в виде:
Q I 2 ( x L xC ) I 2 x L I 2 xC QL QC
9

10.

Параллельное соединение элементов:
Приложенное напряжение:
u U m sin t
Входящий ток можем найти в виде:
i 2 I sin( t )
Для данной схемы:
bL
индуктивная проводимость;
ёмкостная проводимость;
реактивная проводимость;
b
полная проводимость;
y
Единица измерения – (Сим) Сименс
bС
1
;
L
bC C ;
bL
b bL bC ;
y
g 2 b2
Закон Ома для действующих значений токов отдельных элементов и приложенного напряжения:
I r Ug
-для активной проводимости (g);
I L UbL
-для индуктивной проводимости (bL);
I C UbC
-для ёмкостной проводимости (bС);
I реак. Ub -для реактивной проводимости(b);
I Uy
-для полной проводимости (y);
10