Расчет электрического сопротивления бесконечного каркаса

1. Расчет электрического сопротивления бесконечного каркаса (the calculation of electric resistance of the endless frame)

Семичастнов А.С.
РГУНГ (НИУ) им. И.М. Губкина
Научный руководитель: к.ф.-м.н. Иванов В.И.

2.

Рассматривается каркас, составленный из бесконечного числа вписанных
друг в друга квадратов, стороны которых являются однородными
проводниками определённого сечения.
Все проводники состоят из материала с удельной проводимостью σ.
L
a
R
r Ro r
S
So
Ln
ln
Sn
2;
k ; Lo a
Ln 1 ln 1
S n 1
a
Ln , ln Ln / a, Sn
длина, безразмерная длина
и сечение стороны n-го
вписанного квадрата
2

3.

относительно оси АА’
B
Ток не будет перетекать из одной
половины в другую.
C
F
Rобщ R / 2.
A
A
N
M
относительно оси BB’
B
I1 I 2 , I3 I 4 .
Следовательно, ток не перетекает
из проводника DE в проводник EF.
Поэтому можно разъединить
проводники CEF и DEG в т. E.
C
D
I1
E I2
I3
I4
F
G
3

4.

Нечетное количество квадратов
а) 1
б)3
1
2
2 /2
2
4
r1 2
1/ 2
1/ 2
r3 1
2
4
1
1
1 1
1
2
1
2
2
k
k
k
2
2
2 2
4

5.

Четное количество квадратов
а)2
б)4
1
1
1/ 2
1/ 2
2 /2
r2 1
1/ 2
2
4
1/ 2
1/ 4
1/ 4
2
4
2 /4
1
1 2
k 2
1/ 2
2 /2
r4 1
1
1 1
1
1
k 2
2
2 k 2 k 1 1
2 2
1 2
k 2
5

6.

r2 n 3 1
1
r2 n 2 1
1 1
1
2
1
2
2
k
k
k
r
2
2 2 2 n 1
rn 2 1
1
1 1
1
2
1
2
2
k
k
k
r
2
2 2 2n
1
1
1 1
2
2
2
k
k
k
r
2
2 2 n
6

7.

r1 r2 r3 r4
Сравним
Очевидно,
Предположим, что rn rn 1 ,
1
rn 3 1
покажем, что rn 2 rn 3 ,
1
1
rn 2
1
1
1
1 1
1
2
2
2
2
k
2
2
k
k
k
rn 1
k
k
rn
2
2 2
2
2 2
1
1
rn 1 rn , т.е. rn 3 rn 2 .
2
2
k 2 k rn 1 k 2 k rn
2 2
2 2
rn 1.
По теореме Вейерштрасса последовательность rn
lim
r lim r r. Тогда, r 1
n n n n 2
r
имеет предел
1
2
1 2
k 2 k 2 k 2 r
4 2k 2 2 k 4 2 2k 3 4k 2 4 2k 4
2 k 2 2k
, R a r.
So
7

8.

r
Предельные случаи:
1. k (отсутствуют внутренние проводники)
lim r (k ) 2
k
2. k 0 (квадрат «заполнен проводником»)
k
lim r (k ) 1 (внутренний «пробой»)
k 0
3. k 1 (проводники одинаковой толщины)
r (1) 9 6 2 1 1.32
1 2
8

9.

di
2a
4
y 1 2
2
k 1,
do
a
1
d02
a2
d0
a
- физические соображения
2
d
d
d
k 2 o 1 2 o 2 o 1 kc
a
a
a
9

10.

R3 D 1 a
4 So
4 2k 2 2 k 4 2 2k 3 4k 2 4 2k 4
2 k 2 2k
10

11.

1. Получена рекуррентная формула для сопротивления каркаса в зависимости
от числа вложенных квадратов.
2. Получена формула для сопротивления бесконечного каркаса.
3. Рассмотрены предельные случаи отношения сечений проводников:
отсутствие внутренних проводников и внутренний «пробой».
4. Вычислено сопротивление 3-х мерного каркаса с использованием
полученных формул.
11

12.

12