Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение

1. Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение.

Их числовые характеристики
КАЛАБУХОВА Галина Валентиновна
к.социол.н., доцент

2. Вопросы темы

Типичные законы распределения вероятностей
Нормальное распределение. Числовые характеристики
Показательное распределение. Числовые характеристики
Равномерное распределение. Числовые характеристики
Функция надежности. Показательный закон надежности

3. Типичные законы распределения вероятностей

4. Характеристики дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины X
называется соответствие между каждым ее возможным
значением x1 и вероятностью ее появления p1
Функцией распределения вероятностей дискретной
случайной величины X называется функция F(X),
определяющая для каждого значения x вероятность того, что
случайная величина X примет значение, меньшее x:
F(x)=P(X<x).

5. Свойства функции распределения

1.
2.
3.
4.
F(x) определена при x (-∞; +∞)
0 ≤ F(x) ≤ 1, причем F(-∞)=0, F(+∞)=1
F(x) – неубывающая функция на (-∞; +∞)
F(x) – непрерывная функция слева в точках x=xk (k=1, 2, …) и непрерывная
во всех остальных точках
5. Для дискретной случайной величины X, заданной таблицей, функция F(x)
определяется формулой:
0, если x x ,
1
p , если x x x ,
1
2
1
F ( x) p1 p2 при x2 x x3
...
1, если x xn .

6. Характеристики непрерывной случайной величины

Законом распределения непрерывной случайной величины X
называется соответствие между каждым ее возможным
значением x1 и вероятностью ее появления p1
Функцией распределения вероятностей непрерывной
случайной величины X называется функция F(X), равная при
каждом xЄR вероятности того, что X в результате испытания
примет значение, меньшее x:
F(x)=P(X<x), xЄR.

7. Характеристики непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной
случайной величины X называется функция f(X), задаваемая
равенством:
f(x)=F'(x), xЄR.

8. Свойства плотности распределения случайной величины

f ( x ) 0 для любого x R
F ( x)
f ( x ) dx
b
P ( a X b)
a
f ( x ) dx 1
f ( x ) dx

9. Числовые характеристики случайных величин

ХАРАКТЕРИСТИКА
Математическое
ожидание
Дисперсия
ДСВ
i n
M ( X ) xi pi
M(X )
i 1
D( X ) x pi ( M ( X ))
2
i
( X ) D( X )
xf ( x)dx
i n
i 1
Среднее
квадратическое
отклонение
НСВ
2
D( X ) ( x M ( X )) 2 f ( x)dx
( X ) D( X )

10. Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина X задана плотностью
распределения f(х), то вероятность того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу (α,β):
P( X ) f ( x)dx.

11. Нормальное распределение. Числовые характеристики

12. Определение

Нормальным называется распределение вероятностей таких
непрерывных случайных величин, у которых плотность
распределения вероятностей задается формулой:
1
f ( x)
e
2
( x m ) 2
2 2
,
где m, σ – некоторые числа и σ>0.
Функция распределения вероятностей вычисляется по
формуле:
x m
1
F ( x ) Ф(
)
2
x t2
1
2
e
dt - функция Лапласа
где Ф( x )
2 0

13. Числовые характеристики нормального распределения

ХАРАКТЕРИСТИКА
Математическое
ожидание
Дисперсия
Среднее
квадратическое
отклонение
НСВ
M (X ) m
D( X ) 2
(X )

14. Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина X задана плотностью
распределения f(х), то вероятность того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу (α,β):
P( X ) f ( x)dx.

15. Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина X задана плотностью
распределения f(х), то вероятность того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу (α,β):
P( X ) f ( x)dx.
Для случая нормального распределения
1
a
( x a ) 2 /( 2 2 )
P( X )
e
dx Ф(
) Ф(
)
2
Значения функции Лапласа Ф(X) определяются из таблиц

16. Пример.

Случайная величина X распределена по нормальному
закону. Математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой величины соответственно
равны 30 и 10. Найти вероятность, того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу (10, 50)

17. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)

18. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)
По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.

19. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)
По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
a
50 30
10 30
P( X ) Ф(
) Ф(
) Ф(
) Ф(
)
10
10

20. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)
По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
a
50 30
10 30
P( X ) Ф(
) Ф(
) Ф(
) Ф(
)
10
10
Ф(2) Ф( 2)

21. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)
По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
a
50 30
10 30
P( X ) Ф(
) Ф(
) Ф(
) Ф(
)
10
10
Ф(2) Ф( 2) 2 Ф(2)

22. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)
По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
a
50 30
10 30
P( X ) Ф(
) Ф(
) Ф(
) Ф(
)
10
10
Ф(2) Ф( 2) 2 Ф(2) 2 0,4772

23. Решение

Для решения воспользуемся формулой
a
P( X ) Ф(
) Ф(
)
По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
a
50 30
10 30
P( X ) Ф(
) Ф(
) Ф(
) Ф(
)
10
10
Ф(2) Ф( 2) 2 Ф(2) 2 0,4772 0,9544

24. Ответ

Вероятность того, что случайная величина X, распределенная
по нормальному закону, примет значение, принадлежащее
интервалу (10, 50), ≈0,9544

25. Пример. Определение вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение
нормально распределенной случайной величины X по
абсолютной величине меньше заданного положительного
числа δ:

26. Пример. Определение вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение
нормально распределенной случайной величины X по
абсолютной величине меньше заданного положительного
числа δ.
Для нормального закона распределения вероятностей:
(a ) a
(a ) a
P(| X a | ) P(a X a )
2 Ф ( )
Значение функции Лапласа Ф(X) определяется с помощью
таблиц

27. Пример.

Случайная величина X распределена нормально.
Математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти
вероятность того, что отклонение по абсолютной величине
будет меньше 3

28. Решение

Для решения воспользуемся формулой
P(| X a | ) 2 Ф( )

29. Решение

Для решения воспользуемся формулой
P(| X a | ) 2 Ф( )
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

30. Решение

Для решения воспользуемся формулой
P(| X a | ) 2 Ф( )
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10
3
P(| X 20 | 3) 2 Ф( ) 2 Ф( )
10

31. Решение

Для решения воспользуемся формулой
P(| X a | ) 2 Ф( )
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10
3
P(| X 20 | 3) 2 Ф( ) 2 Ф( ) 2 0,1179
10

32. Решение

Для решения воспользуемся формулой
P(| X a | ) 2 Ф( )
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10
3
P(| X 20 | 3) 2 Ф( ) 2 Ф( ) 2 0,1179 0,2358
10

33. Ответ

Вероятность того, что среднее значение случайной величины
X, распределенной по нормальному закону, может иметь
отклонение по абсолютной величине, меньшее 3, составляет
0,2358

34. Показательное распределение. Числовые характеристики

35. Определение

Показательным (экспоненциальным) называется
распределение вероятностей непрерывных случайных
величин, у которых плотность распределения вероятностей
задается формулой:
при x 0
0,
f ( x ) x
e , при x 0
где λ – положительное число.
Функция распределения вероятностей вычисляется по
формуле:
при x 0
0,
F ( x)
x
1
e
, при x 0

36. Числовые характеристики показательного распределения

ХАРАКТЕРИСТИКА
Математическое
ожидание
Дисперсия
Среднее
квадратическое
отклонение
НСВ
M (X )
D( X )
(X )
1
1
2
1

37. Пример

Написать плотность и функцию распределения
показательного закона, если параметр λ = 8

38. Решение

Плотность распределения вероятности показательного
распределения определяется формулой:
при x 0
0,
f ( x ) x
e , при x 0

39. Решение

Плотность распределения вероятности показательного
распределения определяется формулой:
при x 0
0,
f ( x ) x
e , при x 0
По условию задачи, λ = 8, следовательно можно записать:

40. Решение

Плотность распределения вероятности показательного
распределения определяется формулой:
при x 0
0,
f ( x ) x
e , при x 0
По условию задачи, λ = 8, следовательно можно записать:
при x 0
0,
f ( x) 8 x
8 e , при x 0

41. Решение

Функция распределения вероятности показательного
распределения определяется формулой:
при x 0
0,
F ( x)
x
1
e
, при x 0

42. Решение

Функция распределения вероятности показательного
распределения определяется формулой:
при x 0
0,
F ( x)
x
1
e
, при x 0
По условию задачи, λ = 8, следовательно можно записать:

43. Решение

Функция распределения вероятности показательного
распределения определяется формулой:
при x 0
0,
F ( x)
x
1
e
, при x 0
По условию задачи, λ = 8, следовательно можно записать:
при x 0
0,
F ( x)
8 x
1
e
, при x 0

44. Ответ

Плотность распределения и закон распределения
вероятности показательного распределения при λ = 8:
при x 0
0,
f ( x) 8 x
8 e , при x 0
при x 0
0,
F ( x)
8 x
1
e
, при x 0

45. Пример

Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
Найти вероятность того, что в результате испытания X
попадает в интервал (0,3; 1).

46. Решение

По определению понятия закона распределения
вероятности:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)

47. Решение

По определению понятия закона распределения
вероятности:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
По условию задачи, известна функция плотности
распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.

48. Решение

По определению понятия закона распределения
вероятности:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
По условию задачи, известна функция плотности
распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
По определению, f(x) = F’(x), следовательно

49. Решение

По определению понятия закона распределения
вероятности:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
По условию задачи, известна функция плотности
распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
По определению, f(x) = F’(x), следовательно
F ( X ) 2e 2 x dx

50. Решение

По определению понятия закона распределения
вероятности:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
По условию задачи, известна функция плотности
распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
По определению, f(x) = F’(x), следовательно
F ( X ) 2e 2 x dx e 2 x

51. Решение

Вычислим:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
для поставленных условий на значения a и b

52. Решение

Вычислим:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
для поставленных условий на значения a и b
P(0,3<X<1) = F(1) — F(0,3) = -e-2∙1 + e-2∙0,3

53. Решение

Вычислим:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
для поставленных условий на значения a и b
P(0,3<X<1) = F(1) — F(0,3) = -e-2∙1 + e-2∙0,3 = 0,54881—0,13534

54. Решение

0,54881—0,13534
0,41
Решение
Вычислим:
P(a<X<b) = F(b) — F(a)
для поставленных условий на значения a и b
P(0,3<X<1) = F(1) — F(0,3) = -e-2∙1 + e-2∙0,3 = 0,54881—0,13534 ≈ 0,41

55. Ответ

Вероятность того, что в результате испытания X попадает в
интервал (0,3; 1) составляет ≈0,41.

56. Равномерное распределение. Числовые характеристики

57. Определение

Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои
возможные значения только на отрезке [a, b], называется
равномерно распределенной, если ее плотность
распределения равна
при x a
0,
1
f ( x)
, при a x b
b a
при x b
0,
Функция распределения вероятностей вычисляется по
формуле:
при x a
0,
x a
F ( x)
, при a x b
b a
при x b
1,

58. Числовые характеристики равномерного распределения

ХАРАКТЕРИСТИКА
Математическое
ожидание
Дисперсия
Среднее
квадратическое
отклонение
НСВ
M (X )
a b
2
(b a) 2
D( X )
12
(X )
b a
2 3

59. Функция надежности. Показательный закон надежности

60. Определение

Функцией надежности R (t) называют функцию,
определяющую вероятность безотказной работы элемента
за время длительностью t:
R(t) = P(T>t).

61.

Если функция распределения
F (t) = P(T<t)
определяет вероятность отказа за время длительностью t,
то вероятность безотказной работы за это же время
длительностью Т > t, равна
R(t) = P(T>t) = 1- F(t).

62. Определение

Часто длительность времени безотказной работы момента
имеет показательное распределение, функция
распределения которого определяется формулой:
F(t)=1- e -λ·t
Следовательно, функция надежности в случае
показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = 1 — F (t) = 1 — (1 - e -λ·t) = e -λ·t

63. Пример

Время безотказной работы элемента распределено по
показательному закону f(t)=0,01∙e-0,01∙t (t>0), где t — время, ч.
Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно
100 ч.

64. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t

65. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t

66. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,01

67. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,01
По условию задачи, t = 100

68. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,01
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒

69. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 =

70. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 = e-1 =

71. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 = e-1 ≈ 1/2,71828 =

72. Решение

В соответствии с определением, функция надежности в
случае показательного распределения времени безотказной
работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 = e-1 ≈ 1/2,71828 ≈ 0,37

73. Ответ

Вероятность того, что время безотказной работы элемента
составит 100 часов приблизительно равно 0,37