ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Задача численного интегрирования
Постановка задачи:
Погрешность численного интегрирования
Связь
Метод прямоугольников
Погрешность формул средних прямоугольников
Метод трапеций
Погрешность формулы трапеций
Составная формула трапеции
Метод парабол (метод Симпсона)
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
Формула Симпсона
Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола
Вычислим значение функции в точках
Найдём интеграл
Составная формула Симпсона
Пример: Вычислить определённый интеграл
Ответ:
Метод Монте-Карло
Пример использования метода Монте-Карло
Вычисление числа π методом Монте-Карло
1.04M
Category: mathematicsmathematics

Численное интегрирование

1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

2.

Если функция f(x)
непрерывна на отрезке a,b
то определенный интеграл
от этой функции
в пределах от a до b
существует и имеет вид
b
f ( x )dx F ( b ) F ( a )
a

3. Задача численного интегрирования

Найти определенный интеграл
на отрезке a,b
если подынтегральная функция
на отрезке задана таблично.
Формулы
приближенного интегрирования
называются
квадратурными формулами.

4. Постановка задачи:

b
n
f ( x )dx c i f i
(1)
i 0
a
y
a
0
b
x0 x1
x 0 a; x n b
xn-1
xn
x
b a
h
n
b
n 1 x k 1
a
k 0 xk
f ( x )dx f ( x )dx
(2)

5. Погрешность численного интегрирования

x k 1
k - погрешность вычисления интеграла f ( x )dx
xk
- погрешность в малом
En
- погрешность вычисления интеграла
b
n 1 x k 1
a
k 0 xk
f ( x )dx f ( x )dx - погрешность в целом

6. Связь

Пусть
k
и En
k o( h )
p
b a
E n k n max k
max k
k
k
h
E n o( h
p 1
)

7. Метод прямоугольников

основан на непосредственном
определении интеграла:
b
n 1
a
i 0
f ( i ) xi
f ( x )dx nlim
n 1
где
f ( i ) xi - интегральная сумма, соответствующая
i 0
некоторому разбиению отрезка a,b
и некоторому выбору точек
0 , 1 ,…, n 1
на отрезках разбиения

8.

Вычисление определенного
интеграла
b
I f ( x )dx
a
геометрически сводится
к вычислению площади
криволинейной трапеции,
ограниченной функцией f(x),
осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

9.

y
Учитывая,
что высота
Прямоугольника
ABba есть
значение
функции
в точке
b
f(x)
A
+
B
C
D
0
a
f x dx b a f
a
–E
b
x

10.

Для увеличения точности
численного интегрирования
можно отрезок a,b
разбить на несколько частей
и для каждой из них вычислить
приближенное значение
площади криволинейной
трапеции, основанием которой
является отрезок
xi xi 1 xi (i = 0, 1, …,n – 1),
а высотой число
f i т.е. значение функции
в точке i xi , xi 1
b
f x dx f 0 x0 f 1 x1 f 2 x2 f n 1 xn 1
a

11.

Практически удобно делить
отрезок a,b
на равные части, а точки
i (i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми
f i f xi
или с правыми f i f xi 1
концами отрезков разбиения.

12.

Если точку i
совместить с левым концом
отрезка xi
то приближенное значение
интеграла может быть
представлено
формулой левых
прямоугольников:
n 1
b a
I л f x dx
y0 y1 y n 1 h y i
n
i 0
a
b
где
b a
h
n
– шаг.

13.

y
0 x0 a x1 x2
xn 1b xn x

14.

.
Если же в качестве точки i
выбрать правый конец отрезка xi
то приближенное значение
интеграла вычисляется
по формуле правых
прямоугольников:
n
b a
I П f x dx
y1 y2 yn h yi
n
i 1
a
b

15.

y
0 x0 a x1x2
xn 1 b xn
x

16.

Формула средних прямоугольников
y
xk 1
f ( x )dx f
xk
f
f(x)
1
k
2
f (x
1
k
2
1
k
2
)
b
n 1
a
k 0
f ( x )dx h f
a
b
x0
xn
h
k
1
2
– составная формула
x

17. Погрешность формул средних прямоугольников

k
xk 1
f ( x)dx f
xk
k
xk 1
xk
k
1
2
h
xk 1
f ( x) f 1 dx f 1 x x k 1
k 2
k
2
2
xk
h
2
h
2
x x k 1
2
f 1
2
k 2
z2
h3
4
f 1 zdz f 1 dz o(h )
f 1 o(h 4 )
k
k
24 k 2
2
2
h
h 2
2
2
b a h3
(b a )h 2
E
M2
M2
h 24
24
об
M 2 max f 1
k 0 , n 1
k
2
2
o x x
1
k
2
3
dx

18. Метод трапеций

Заменим на отрезке a,b
дугу AB графика
подынтегральной функции y = f(x)
стягивающей ее хордой и
вычислим площадь трапеции ABba.
Примем значение определенного
интеграла численно равным
площади этой трапеции:
f a f b
f x dx b a
2
a
Это и есть формула трапеций
b

19.

y
f(x)
B
A
0
a
b
x

20.

Если отрезок a,b
разделить на несколько
частей и применить
формулу трапеции
к каждому отрезку xi
Тогда
f xi f xi 1
xi
f x dx
2
xi
x i 1

21.

y
0
x0 a x1
xn 1 b xn
x

22.

Для простоты вычислений
удобно разделить отрезок a,b
на равные части,
в этом случае длина
каждого из отрезков
разбиения есть
b a
x i
n
Численное значение
интеграла на отрезке xi
равно
b a f xi f xi 1
f x dx n
2
xi
x i 1

23.

А на всем отрезке
a,b
соответственно
b a n 1 f xi f xi 1 b a n 1 yi yi 1
f x dx n
2
n i 0
2
i 0
a
b
Эта формула называется
общей формулой трапеции.
Ее можно переписать в виде
b
h
f x dx 2 y0 2 y1 2 y 2 2 y n 1 y n
a
b a
h
где
– шаг.
n

24. Погрешность формулы трапеций

k
xk 1
xk 1
r ( x)dx
1
xk
M2
2
xk
xk 1
M2
x xk x xk 1 dx
2
M 2 h3
x x xk x xk 1 dx 12
k
M2 2
E
h (b a )
12
об
M 2 max f 1
k 0 , n 1
k
2

25. Составная формула трапеции

b
h
f ( x )dx ( f 0 f1 f1 f 2 f 2 f 3 ...
2
a
n 1
h
f n 1 f n 1 f n ) f 0 f n 2 f k
2
k 1
об
M 2,k 3
k
h , где M 2 max f 1
k 0 , n 1 k
12
2
M2
2
En
(b a )h
12

26. Метод парабол (метод Симпсона)

y
h
0
x0
h
x1
x2
x

27. Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

28. Формула Симпсона

29.

30.

Определитель матрицы отличен от 0 =>
система уравнений имеет единственное
решение

31. Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола

32. Вычислим значение функции в точках

33. Найдём интеграл

34.

Для увеличения точности
вычислений отрезок a,b
разбивают на n пар участков
x2i 2 , x2i 1 , x2i
и заменяя подынтегральную
функцию интерполяционным
многочленом Ньютона
второй степени, получают
приближенное значение
интеграла на каждом участке
длины 2h:

35.

x2
f x dx
x0
x4
x2
h
y0 4 y1 y2
3
f x dx
h
y 2 4 y3 y 4
3
……………………………………
x2 n
h
f x dx y2 n 2 4 y2 n 1 y2 n
3
x2 n 2

36.

Тогда численное значение
определенного интеграла
на отрезке a,b
будет равно сумме интегралов
b
f x dx
a
h
y0 y 2 n 4 y1 . y 2 n 1 2 y 2 y 2 n 2
3
Это соотношение называется
общей формулой Симпсона.
Ее можно записать также в виде
b
a
f x dx
b a
y0 y 2 n 4 y1 . y 2 n 1 2 y 2 y 2 n 2
6n
где h b a
2n

37. Составная формула Симпсона

b
h
f ( x )dx ( f 0 4 f1 f 2 f 2 4 f 3 f 4 ...
3
a
n
n 1
2
2
h
f n 2 4 f n 1 f n )
f 0 f n 4 f 2 k 1 2 f 2 k
3
k 0
k 1
M4 5
k
h
90
M4
4
En
( b a )h
90

38. Пример: Вычислить определённый интеграл

6
dx
2 ln( x)
График подынтегральной функции

39. Ответ:

40. Метод Монте-Карло

Методы Монте-Карло – это общее
название группы методов для решения
различных задач с помощью случайных
последовательностей. Название этой
группе методов дал город Монте-Карло
– столица европейского игорного
бизнеса (казино).

41.

Сущность метода Монте-Карло
состоит в следующем:
Требуется найти значение а некоторой
изучаемой величины.
Для этого выбирают такую случайную
величину X, математическое ожидание
которой равно а:
М(Х)=A.

42. Пример использования метода Монте-Карло

Предположим, что нам нужно определить площадь плоской
фигуры, расположенной внутри квадрата, сторона которого
равна единице , при этом площадь квадрата Sкв=1. Выберем
внутри квадрата наугад N точек. Обозначим через M количество
точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь
фигуры S приближенно равна отношению M/N . Отсюда, чем
больше N, тем больше точность такой оценки.
S/Sкв≈M/N или
S ≈ M/N

43. Вычисление числа π методом Монте-Карло

Рассмотрим четверть круга единичного
радиуса. Площадь четверти круга
равна: S=πr2/4. Для r=1 S=π/4
Y1
A
B
M/N ≈ π/4
C
O
1
X
English     Русский Rules