Лекция 6. Методы численного интегрирования

1. Тема 2. Численное интегрирование Лекция 6. Методы численного интегрирования.

1.Обзор методов численного интегрирования.
2. Метод прямоугольников.
3. Метод трапеций.
4. Численное интегрирование методом
Симпсона.
Литература: [1] с.123-134.

2. 1. Обзор методов численного нтегрирования

Задача численного интегрированияb
вычислить интеграл
f ( x)dx используя
a
ряд значений подинтегральной
функции
y=f(x), которые известны заранее.
Методы численного интегрирования:
•Методы Ньютона-Котеса – основаны на
аппроксимации подинтегральной функции
полиномами степени n при равноотстоящих
друг от друга узлах;

3.

•Методы сплайн – интегрирования основаны
на аппроксимации подинтегральной функции
сплайнами – функциями, форма которых
близка к интегрируемой функции;
•Метод Гаусса использует специально
выбираемые неравноотстоящие узлы, что
обеспечивает высокую точность вычислений;
•Метод Монте-Карло используется для
вычисления кратных интегралов на случайно
выбираемых узлах; результат является
случайной величиной и определяется с
заданной вероятностью.

4.

Методы Ньютона-Котеса предусматривают
разбиение интервала интегрирования [a,b] на
n равных частей с шагом:
h=xi+1- xi=(b-a)/n, i=1,n
(4)
При этом известны в узлах разбиения
значения подинтегральной функции известны:
yi=f(xi)
(5)

5.

2. Метод прямоугольников
Интерполяционный многочлен 1-го порядка,
т.е. линейная интерполяция.
y
y=f(x)
a
xi
xi+1 b
x

6.

b
a
n
f ( x)dx h f ( kh)
(6)
k 1
1. Если узел α=а- левому краю отрезка
интегрирования, то (6) – формула «левых»
прямоугольников;
2. Если узел α=xi+1 –правому краю отрезка, то
(6) – формула «правых» прямоугольников;
3. Если узел α=(xi+1+xi)/2 – середине отрезка
то
(6)
–
формула
«средних»
прямоугольников;

7.

Погрешности:
(b a )
Rn ( f , a )
max{ f ( x)};
2n
2
(b a )
Rn ( f , a h)
max{ f ( x)};
2n
3
(b a )
Rn ( f , a h / 2)
max{
f
( x)};
2
24n
2
(7)

8.

3. Метод трапеций
Интерполяционный многочлен 1-го порядка,
т.е. линейная интерполяция.
y
yi
yi+1
y=f(x)
a
xi
xi+1 b
x

9.

b
a
f ( x)dx h / 2[ y0 2( y1 y2 ... yn 1 ) yn ]
(8)
Погрешность:
(b a)
Rn
max{
f
( x)}
2
24n
3
(9)

10. 4. Метод Симпсона. Описание метода.

b
a
h
f ( x)dx [ y0 y2 n 4( y1 y3 ... y2 n 1 )
3
(1)
2( y2 y4 ... y2 n 2 )]
b-a
где шаг определяется : h
2n
(2)
При этом, необходимым условием является то,
что количество интервалов разбиения отрезка
интегрирования должно быть четным.

11.

yi+2
y
y=f(x)
yi
yi+1
xi
xi+1
xi+2
x

12.

Погрешность метода Симпсона:
(b a)
( IV )
R
max{
f
(
x
*)}
4
180(2n)
5
где:
x [a; b]
*
(3)

13.

Начало
S=S+Cf(x)
C=6-C
x=x+H
f(x)
Ввод A,B,N,H
S=SH/3
S=f(A)+f(B)
Вывод S
C=4
x=A
Конец
i=1,2N-1