Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов)
1. Аналитический метод
Графическая интерпретация определенного интеграла
2. Численные методы
1. Метод прямоугольников
А. Метод левых прямоугольников
B. Метод правых прямоугольников
С. Метод средних прямоугольников
Блок-схема метода средних прямоугольников
2. Метод трапеций
Блок-схема метода трапеций
3. Метод Симпсона
Блок-схема метода Симпсона
Замечания о погрешности численного интегрирования
234.50K
Category: mathematicsmathematics

Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов)

1. Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов)

2. 1. Аналитический метод

b
f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a)
b
a
Где F(x) – первообразная функции f(x)

3.

Аналитический метод интегрирования не
всегда может быть применен на
практике.
Пример «неберущегося» интеграла:
b
e
dx
x
a
2

4. Графическая интерпретация определенного интеграла

Линии
ограничения:
y=0;
y=f(x);
x=a;
x=b.
b
f ( x)dx S
y
a
f(x)
S
a
b
x

5. 2. Численные методы

1. [a, b] разбивается на n
равных отрезков
длиной h.
y
n=10
2. Площадь S разбивается
на n полос шириной h.
f(x)
3. Полоса представляется
в виде геометрической
фигуры.
4. Рассчитывается
площадь каждой
полосы.
a
x1
x2
xi
b
h
x
5. Искомый интеграл есть
сумма площадей всех
полос.

6. 1. Метод прямоугольников

Отдельно взятая полоса представляется
в виде прямоугольника шириной h.
ВОПРОС: Какая величина принимается за
высоту прямоугольника?

7. А. Метод левых прямоугольников

Высота - значение
функции в левой
точке основания
каждой полосы.
y
n=10
f(x)
Формула расчета
интеграла:
a
x1
x2
xi
b
h
x
b
n 1
a
i 0
f ( x)dx h f (a i h)

8. B. Метод правых прямоугольников

Высота - значение
функции в
правой точке
основания
каждой полосы.
y
n=10
f(x)
Формула расчета
интеграла:
a
x1
x2
xi
b
h
x
b
n
a
i 1
f ( x)dx h f (a i h)

9. С. Метод средних прямоугольников

Высота - значение
функции в
середине
основания
каждой полосы.
y
n=10
f(x)
Формула расчета
интеграла:
a
x1
x2
xi
b
x
h
b
a
n 1
h
f ( x)dx h f (a i h)
2
i 0

10. Блок-схема метода средних прямоугольников

НАЧАЛО
ввод
f(x), a, b, n
Блок-схема
метода
средних
прямоугольников
h=(b-a)/n
S=0
i=0, n-1
S=S+h*f(a+h/2+i*h)
вывод
S
КОНЕЦ

11. 2. Метод трапеций

Отдельно взятая полоса представляется в виде
перевернутой трапеции высотой h.
Основания трапеции будут равны значениям
функции в левой и правой точке высоты
трапеции.
c1 c 2
Площадь трапеции:
S h
;
2
где
h высота;
c1и c 2 основания

12.

y
Гладкая кривая
заменяется
ломаной линией
n=5
f(x)
a
x1
x2
h
xi
b
x
Интеграл рассчитывается по следующей формуле:
b
a
f ( x)dx h
f ( xi 1 ) f ( xi )
f (a) f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x2 )
h
... h
...
2
2
2
n 1
f ( xn 1 ) f (b)
f (a) f (b)
h
h
h f ( a i h)
2
2
i 1

13. Блок-схема метода трапеций

НАЧАЛО
ввод
f(x), a, b, n
Блок-схема
метода
трапеций
h=(b-a)/n
S=h*(f(a)+f(b))/2
i=1, n-1
S=S+h*f(a+i*h)
вывод
S
КОНЕЦ

14. 3. Метод Симпсона

Гладкая функция заменяется участками
парабол.
Через любые 3 точки на плоскости можно
провести одну и только одну параболу.
Парабола проводится через точки
пересечения границ 2-х соседних полос
с графиком подынтегральной функции.

15.

y
Гладкая
кривая
заменяется
участками
парабол
n=6
f(x)
a
x1
x2
h
xi
b
x
Каждая парабола заменяет исходную подынтегральную
функцию сразу над двумя полосами. Следовательно,
число разбиений должно быть четным !!!
Рассмотрим ситуацию с одной параболой (2-мя полосами)
и выведем формулу для расчета интеграла.

16.

y
y2
y0
y1
0
h
2h
x
Любая парабола описывается
уравнением:
y=ax2+bx+c
Точки (0, y0), (h, y1), (2h, y2)
лежат на одной параболе,
следовательно, должны
удовлетворять одной и той
же функции.
Число разбиений должно быть четным !!!

17.

Подставляем координаты 3-х точек в уравнение для
параболы, получаем систему линейных
алгебраических уравнений.
a 0 2 b 0 c y 0
2
a h b h c y1
2
a
(
2
h
)
b 2h c y 2
Здесь неизвестные - параметры параболы: a, b, c.
Из 1-го уравнения: y0=c.
Произведя замену, получим новую систему уравнений:
a h 2 b h y1 y0
a (2h) 2 b 2h y2 y0
Решаем полученную СЛАУ методом Крамера:

18.

a
y1 y0
y1 y0
h
h2
y 2 y0
2h
( 2 h ) 2 y 2 y0
h
2
h
; b
( 2h) 2 2h
h2
h
( 2h) 2 2h
Выведем формулу для расчета коэффициентов a и b:
a
y1 y0
h
y 2 y0
2h
h2
h
2h( y1 y0 ) h( y2 y0 ) y2 y0 2 y1
3
3
2h 4h
2h 2
( 2h) 2 2h
y1 y0
h2
b
( 2 h ) 2 y 2 y0
h2
h
( 2h) 2 2h
h 2 ( y2 y0 ) 4h 2 ( y1 y0 ) 4 y1 y2 3 y0
3
3
2h 4h
2h

19.

Площадь под фигуры
можно вычислить,
проинтегрировав
полученную
параболическую
зависимость:
y=ax2+bx+c
y
y2
y0
y1
h
0
2h
x
2h
ax bx
8 3
S (ax bx c)dx
cx ah 2bh 2 2ch
2
3
0 3
0
2h
3
2
2
Подставим в полученную формулу значения
для коэффициентов параболы a, b и c:

20.

Получим:
4 y1 y2 3 y0 2
8 y2 y0 2 y1 3
S
h 2
h 2 y0 h
2
3
2h
2h
4
h( y2 y0 2 y1 ) h(4 y1 y2 3 y0 ) 2 y0 h
3
h
( y0 4 y1 y2 )
3
Если число разбиений будет не 2, а 4, то формула для
вычисления интеграла будет иметь следующий вид:
h
h
h
S ( y0 4 y1 y2 ) ( y2 4 y3 y4 ) ( y0 4 y1 2 y2 4 y3 y4 )
3
3
3

21.

В общем виде:
h
S ( y0 4 y1 2 y2 4 y3 2 y4 ... 2 yn 2 4 yn 1 yn )
3
h
S ( y0 4 yнечетн. 2 yчетн . yn )
3
Формула Симпсона

22. Блок-схема метода Симпсона

НАЧАЛО
ввод
f(x), a, b, n
h=(b-a)/(2*n)
Блок-схема
метода
Симпсона
S1=0; S2=0
i=1, n
x1=a+(2i-1)*h
S1= S1+f(x1)
x2= x1+h
S2= S2+f(x2)
S=h/3*(f(a)+4S1+2S2-f(b))
вывод
S
КОНЕЦ

23. Замечания о погрешности численного интегрирования

24.

Для оценки погрешности численного
интегрирования сравним значения интеграла,
рассчитанные различными численными
методами с истинным значением интеграла,
рассчитанным аналитически.
Пример:
/4
10
sin
2
xdx
0
Истинное значение: S=5

25.

Метод
n=4
n=10
n=50
Значение,
S
Погрешность, %
Значение,
S
Погрешность, %
Значение,
S
Погрешность, %
Левых
прямоугольников
3,953831
20,9234
4,597016
8,0597
4,921049
1,5790
Средних
прямоугольников
5,032273
0,6454
5,005144
0,1029
5,000206
0,0041
Трапеций
4,935579
1,2884
4,989714
0,2057
4,999589
0,0082
Симпсона
5,000041
0,0008
5,000001
0,00002
5,000000
~10-7
Истинное значение
5

26.

Из таблицы видно, что погрешность зависит от
метода интегрирования и от количества
разбиений интервала интегрирования.
Метод левых (правых) прямоугольников
Метод трапеций
Погрешность
уменьшается
Метод средних прямоугольников
Метод Симпсона

27.

Зависимость погрешности численного
интегрирования от числа разбиений
интервала интегрирования
R
(1)
(2)
n
min
English     Русский Rules