Численное интегрирование и его погрешности. Методы прямоугольников и трапеций. Метод Симпсона. Правило Рунге. (Лекция 5)

1. Лекция 5

1. Постановка задачи численного
интегрирования
2. Методы прямоугольников
3. Метод трапеций
4. Метод Симпсона
5. Погрешности численного
интегрирования. Правило Рунге

2. Определенный интеграл

Из курса математического анализа известно,
что, если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a;b] и дифференцируема, то определенный
интеграл от этой функции в пределах от a до b
существует и может быть вычислен по формуле
Ньютона-Лейбница:
b
S f(x) dx F(b) F(a), где f(x) F' (x)
a

3. Методы интегрирования

4.

5. Приближенное вычисление площади криволинейной трапеции

Для приближенного вычисления этой площади
отрезок [a;b] разбивается на n частей, внутри
которых
подинтегральная
функция
f(x)
заменяется с некоторой степенью точности более
простыми функциями gi(x), которые могут быть
проинтегрированы аналитически. Тогда
b
n
xi
S f(x) dx g i (x) dx
a
i 1 xi 1

6. Замена подинтегральной функции интерполяционными полиномами

В качестве заменяющих функций обычно используют
интерполяционные полиномы с узлами интерполяции в
точках разбиения отрезка интегрирования x0, x1, x2, … xn.

7. Методы численного интегрирования

Для получения простых формул используют
полиномы нулевой, первой и второй степени и,
соответственно, получают следующие методы и
формулы численного интегрирования:
• методы прямоугольников;
• метод трапеций;
• метод Симпсона.
Очевидно, что во всех случаях замена функции
f(x) интерполирующим полиномом приводит к
образованию погрешности вычисления значения
интеграла. Увеличение числа отрезков разбиения n
(уменьшение длины шага интегрирования h) ведет к
уменьшению погрешности.

8. Методы прямоугольников

В методах прямоугольников подинтегральная функция
f(x) заменяется в пределах каждого элементарного отрезка
[xi;xi+1] интерполяционным полиномом нулевой степени, то
есть постоянной величиной. При этом значение
элементарного интеграла равно площади прямоугольника,
а интеграл на отрезке [a;b] – сумме этих площадей.
Если в качестве значения подинтегральной функции
берется ее значение в левом конце отрезка, то получается
формула левых прямоугольников. При использовании
значения подинтегральной функции в правом конце
отрезка получается формула правых прямоугольников.
При одном и том же числе отрезков разбиения n
большую точность дает метод средних прямоугольников, в
котором используется значение подинтегральной функции
в середине отрезка. Поскольку объем вычислений во всех
трех случаях одинаков, то более предпочтительым
оказывается метод средних прямоугольников, который
часто называют просто методом прямоугольников.

9.

10.

11.

12. Схема алгоритма метода прямоугольников

13. Метод трапеций

В методе трапеций подинтегральная
функция f(x) на каждом элементарном
отрезке
[xi;xi+1]
заменяется
интерполяционным полиномом первой
степени.
При
этом
значение
элементарного интеграла равно площади
прямоугольной трапеции с высотой h и
основаниями f(xi) и f(xi+1), а интеграл на
отрезке [a;b] – сумме этих площадей.

14. Метод трапеций

15. Вывод формулы трапеций

f(x 0 ) f(x1 )
f(x 2 ) f(x 3 )
f(x1 ) f(x 2 )
S0
h, S1
h, S 2
h,
2
2
2
f(x n 2 ) f(x n 1 )
f(x n 1 ) f(x n )
Sn 2
h, S n 1
h
2
2
n 1
n 1
n 1
h
b a
S S i (f(x 0 ) f(x n ) 2 f(x i ))
(f(x 0 ) f(x n ) 2 f(x i ))
2
2n
i 0
i 1
i 1

16. Схема алгоритма метода трапеций

17. Метод Симпсона

В методе Симпсона применяется интерполирующий полином
второй степени, поэтому за элементарный отрезок
интерполирования принимается отрезок [xi;xi+2], а весь
отрезок интегрирования [a;b] разбивается на четное число
частей n = 2m.

18. Метод Симпсона

19. Вывод формулы Симпсона

Для получения интерполирующей функции на интервале [xi;xi+2]
воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, используя в
качестве узлов интерполяции точки xi, хi+1 и xi+2.
yi
2 yi
f(x) yi
(x xi )
(x xi )(x xi 1 ),
2
1!h
2!h
x [xi,xi 2 ].
Тогда в пределах отрезка [xi;xi+2] получим следующую приближенную
формулу:
xi 2
xi 2
xi
xi
f(x)dx
yi
2 yi
h
[yi
(x x i )
(x
x
)(x
x
)]dx
(y i 4y i 1 y i 2 ).
i
i 1
2
1!h
2!h
3
h
x0 f(x)dx 3 (y0 4y1 y 2 ).
x4
h
x2 f(x)dx 3 (y 2 4y3 y 4 ).
x2
В частности, для отрезка [x0;x2]
Для отрезка [x2;x4]

20. Вывод формулы Симпсона

Просуммировав подобные выражения на всем отрезке интегрирования [a;b],
получим формулу Симпсона:
h
S [(y 0 4 y 1 y 2 ) (y 2 4 y 3 y 4 ) (y 2 m 2 4 y 2 m 1 y 2 m )]
3
h
[y 0 y 2 m 4(y 1 y 3 y 2 m 1 ) 2(y 2 y 4 y 2 m 2 )]
3
m
m
h
(y 0 y 2 m 4 y 2 i 1 2 y 2 i 2 ),
где y i f(x i )
3
i 1
i 2

21. Схема алгоритма метода Симпсона

22. Погрешности численного интегрирования

Замена
подинтегральной
функции
интерполяционным полиномом приводит к
погрешности
вычисления
определенного
интеграла
R = |S – S*|, где S* – точное значение интеграла.
Имеются следующие оценки этой погрешности
для рассмотренных нами методов и случаев
аналитического
или
табличного
задания
подинтегральной функции:

23. Оценки погрешности численного интегрирования

при использовании метода средних прямоугольников
b a 2
R
h max | f '' (x) | при аналитически заданной f(x)
x [a;b]
24
b a 2
R
|Δ y|
при таблично заданной f(x)
24
при использовании метода трапеций
b a 2
R
h max | f '' (x) | при аналитически заданной f(x)
x [a;b]
12
b a 2
R
|Δ y|
при таблично заданной f(x)
12
при использовании метода Симпсона
b a 4
R
h max | f (4) (x) | при аналитически заданной f(x)
x [a;b]
180
b a 4
R
|Δ y|
при таблично заданной f(x)
180
где Δ (k) y – среднее арифметическое конечных разностей k–го порядка.

24. Сравнение погрешностей методов

Из приведенных формул видно, что
уменьшение шага интегрирования h
приводит к уменьшению погрешности.
Метод Симпсона при шаге h дает
примерно ту же точность, что и методы
прямоугольников и трапеций при шаге h/2,
а при одинаковой точности метод
Симпсона требует примерно вдвое меньше
вычислений.

25. Метод двойного просчета (правило Рунге)

Однако практическое использование этих формул ограничено в связи с
трудоемкостью вычислений и зависимостью оценок от свойств конкретных
подинтегральных функций. На практике для оценки погрешности численного
интегрирования используют метод двойного просчета (правило Рунге).
Приближенное значение интеграла вычисляют дважды: вначале с шагом h, а
затем с шагом h/2. Полученные значения интегралов Sh и Sh/2 могут быть
применены для оценки погрешности последнего, более точного значения Sh/2
по формуле:
где
| S h S h/ 2 |
R
2k 1
k=2 – для методов трапеций и средних прямоугольников;
k=4 – для метода Симпсона.
Метод двойного просчета может быть использован для
автоматического выбора шага интегрирования при заданной допустимой
погрешности.

26. Схема алгоритма метода двойного просчета