Численное интегрирование

1.

Российский государственный университет
нефти и газа
им. И.М. Губкина
Кафедра «Информатики»
Лекция
1

2. Постановка задачи:

вычислить интеграл вида
b
I f ( x )dx ,
a
где a и b – пределы интегрирования;
f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]
2

3. Определенный интеграл Римана

a x0 x1 x2 ... xn 1 b
i xi 1 , xi
Интегральная сумма:
n
si f i xi
i 1
b
si
f x dx maxlim
x 0
i xi 1 , xi
i
a
xi 1 xi
a
b
i
3

4. Вычисление определенных интегралов

b
b
f x dx F x a F b F a
a
Значение определенного интеграла можно трактовать
как площадь криволинейной трапеции
4

5. методы численного интегрирования применяют

Если:
1) вид функции f(x) не допускает
непосредственного интегрирования;
2) значения функции f(x) заданы в виде таблицы
Основная идея - замена подынтегральной
функции на более простую, интеграл от
которой легко вычисляется аналитически.
5

6. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Замена f(x) – на полином различных
степеней.
f(x)=const - метод прямоугольников,
f(x)=kx+b - метод трапеций,
f(x)=ax2+bx+c - метод Симпсона.
6

7. Формула левых прямоугольников

S1=(0.24-0.08)·f(0.08)=
=0.16*0.98=0.1568
S1
S1 xi xi 1 f xi 1
7

8. Формула правых прямоугольников

S1=(0.24-0.08)·f(0.24)=
=0.16*0.78=0.1248
S1
S1 xi xi 1 f xi
8

9. Формула средних прямоугольников

S1=(0.24-0.08)·f(0.16)=
=0.16*0. 9=0.144
S1
S1 xi xi 1
xi xi 1
f
2
9

10. Формула трапеции

S1=(0.24-0.08)·(f(0.08)+ f(0.24))/2=
=0.16*(0. 98+0.78)/2=0.1408
S1
S1 xi xi 1
f xi 1 f xi
2
10

11. Формула Симпсона

(трехточечная схема)
h=0.08
S1=0.08/3*f(0.08)+4f(0.16)+ f(0.24))=
=0.08/3*(0. 98+ 4*0.9+ 0.78)=0.1429
h xi xi 1 xi 1 xi
h
S1 f xi 1 4 f xi f xi 1
3
11

12. Сравнение методов

метод
N узлов
результат
левых прям.
1
0.1568
правых прям.
1
0.1248
средних прям.
1
0.144
трапеций
2
0.1408
Симпсона
3
0.1429
12

13. Формула левых прямоугольников

13

14. Метод левых прямоугольников

b
a
n 1
f ( x ) dx h f ( xi )
i 0
n – количество отрезков
14

15. Формула правых прямоугольников

15

16. Метод правых прямоугольников

b
a
n
f ( x ) dx h f ( xi )
i 1
16

17. Формула средних прямоугольников

17

18. Метод средних прямоугольников

b
n 1
h
f
(
x
)
dx
h
f
(
x
)
i
2
i 0
a
n – количество отрезков
18

19. Формула трапеций

19

20. Метод трапеций

b
1
1
f ( x ) dx h ( 2 f0 f1 f2 ... fn 1 2 fn )
a
20

21. Формула Симпсона

21

22. Метод Симпсона

b
h
f ( x ) dx ( f0 f n 2 ( f 2 f4 f6 ... f n 2 )
3
a
4 ( f1 f 3 f5 ... f n 1 ))
22

23. Оценка точности интегрирования

точное значение
1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0 ,32
0,90
f ( x ) dx 0,278967
0,78
0,8
n=1
0
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
n количество интервалов
I n значение интеграла при данном разбиении
I n 1 I n
I n 1
точн
I точн I n
I точн
23

24. увеличение точности интегрирования

1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0,90
0,78
0,8
n=2
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
24

25. увеличение точности интегрирования

1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0,90
0,78
0,8
n=4
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
25

26. увеличение точности интегрирования

1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0,90
0,78
0,8
n=8
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
26

27. Погрешность интегрирования

количество интервалов разбиения
Значение In
ε
εточн
n=1
n=2
0,320
0,304
0,293
0,286
0,283
0,0526
0,038
0,023
0,013
0,090
0,050
0,026
0,013
0,147
n=4
n=8
n=16
27

28. Погрешность интегрирования

16%
сравнение с предыдущей итерацией
сравнение с точным значением
12%
8%
4%
0%
n=1
n=2
n=4
n=8
n=16
число интервалов интегрирования
28

29. Символьное интегрирование в среде Matlab

syms x
f=sym(‘x/(4+x^2’)
s=int(f,x) – функция вычисляющая значение интеграла,
где
s – символьное значение интеграла
f –подынтегральная функция.

30. Численное интегрирование в среде Matlab

a=0;
b=1;
s=int(‘x/(4+x^2’,a,b)
где
s – численное значение интеграла
a, b – пределы интегрирования

31. Численное интегрирование в среде Matlab

Метод трапеций:
s=trapz(x,y)
– функция вычисляющая значение интеграла методом
трапеций, где
s – численное значение интеграла
x – вектор значений аргумента
y – вектор значений подынтегральной функции.

32. Численное интегрирование в среде Matlab

Метод Симпсона:
[Q,FCNT]=quad(FUN,A,B,TOL)
Q – значение интеграла по методу Симпсона;
FCNT – Количество узлов при заданной точности;
FUN – подынтегральная функция;
A,B – пределы интегрирования;
TOL – точность вычислений, если не указывать, то
принимается равной 10-6