Постановка задачи:
Определенный интеграл Римана
Вычисление определенных интегралов
методы численного интегрирования применяют
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Формула левых прямоугольников
Формула правых прямоугольников
Формула средних прямоугольников
Формула трапеции
Формула Симпсона
Сравнение методов
Формула левых прямоугольников
Метод левых прямоугольников
Формула правых прямоугольников
Метод правых прямоугольников
Формула средних прямоугольников
Метод средних прямоугольников
Формула трапеций
Метод трапеций
Формула Симпсона
Метод Симпсона
Оценка точности интегрирования
увеличение точности интегрирования
увеличение точности интегрирования
увеличение точности интегрирования
Погрешность интегрирования
Погрешность интегрирования
Символьное интегрирование в среде Matlab
Численное интегрирование в среде Matlab
Численное интегрирование в среде Matlab
Численное интегрирование в среде Matlab
1.04M
Category: mathematicsmathematics

Численное интегрирование

1.

Российский государственный университет
нефти и газа
им. И.М. Губкина
Кафедра «Информатики»
Лекция
1

2. Постановка задачи:

вычислить интеграл вида
b
I f ( x )dx ,
a
где a и b – пределы интегрирования;
f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]
2

3. Определенный интеграл Римана

a x0 x1 x2 ... xn 1 b
i xi 1 , xi
Интегральная сумма:
n
si f i xi
i 1
b
si
f x dx maxlim
x 0
i xi 1 , xi
i
a
xi 1 xi
a
b
i
3

4. Вычисление определенных интегралов

b
b
f x dx F x a F b F a
a
Значение определенного интеграла можно трактовать
как площадь криволинейной трапеции
4

5. методы численного интегрирования применяют

Если:
1) вид функции f(x) не допускает
непосредственного интегрирования;
2) значения функции f(x) заданы в виде таблицы
Основная идея - замена подынтегральной
функции на более простую, интеграл от
которой легко вычисляется аналитически.
5

6. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Замена f(x) – на полином различных
степеней.
f(x)=const - метод прямоугольников,
f(x)=kx+b - метод трапеций,
f(x)=ax2+bx+c - метод Симпсона.
6

7. Формула левых прямоугольников

S1=(0.24-0.08)·f(0.08)=
=0.16*0.98=0.1568
S1
S1 xi xi 1 f xi 1
7

8. Формула правых прямоугольников

S1=(0.24-0.08)·f(0.24)=
=0.16*0.78=0.1248
S1
S1 xi xi 1 f xi
8

9. Формула средних прямоугольников

S1=(0.24-0.08)·f(0.16)=
=0.16*0. 9=0.144
S1
S1 xi xi 1
xi xi 1
f
2
9

10. Формула трапеции

S1=(0.24-0.08)·(f(0.08)+ f(0.24))/2=
=0.16*(0. 98+0.78)/2=0.1408
S1
S1 xi xi 1
f xi 1 f xi
2
10

11. Формула Симпсона

(трехточечная схема)
h=0.08
S1=0.08/3*f(0.08)+4f(0.16)+ f(0.24))=
=0.08/3*(0. 98+ 4*0.9+ 0.78)=0.1429
h xi xi 1 xi 1 xi
h
S1 f xi 1 4 f xi f xi 1
3
11

12. Сравнение методов

метод
N узлов
результат
левых прям.
1
0.1568
правых прям.
1
0.1248
средних прям.
1
0.144
трапеций
2
0.1408
Симпсона
3
0.1429
12

13. Формула левых прямоугольников

13

14. Метод левых прямоугольников

b
a
n 1
f ( x ) dx h f ( xi )
i 0
n – количество отрезков
14

15. Формула правых прямоугольников

15

16. Метод правых прямоугольников

b
a
n
f ( x ) dx h f ( xi )
i 1
16

17. Формула средних прямоугольников

17

18. Метод средних прямоугольников

b
n 1
h
f
(
x
)
dx
h
f
(
x
)
i
2
i 0
a
n – количество отрезков
18

19. Формула трапеций

19

20. Метод трапеций

b
1
1
f ( x ) dx h ( 2 f0 f1 f2 ... fn 1 2 fn )
a
20

21. Формула Симпсона

21

22. Метод Симпсона

b
h
f ( x ) dx ( f0 f n 2 ( f 2 f4 f6 ... f n 2 )
3
a
4 ( f1 f 3 f5 ... f n 1 ))
22

23. Оценка точности интегрирования

точное значение
1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0 ,32
0,90
f ( x ) dx 0,278967
0,78
0,8
n=1
0
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
n количество интервалов
I n значение интеграла при данном разбиении
I n 1 I n
I n 1
точн
I точн I n
I точн
23

24. увеличение точности интегрирования

1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0,90
0,78
0,8
n=2
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
24

25. увеличение точности интегрирования

1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0,90
0,78
0,8
n=4
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
25

26. увеличение точности интегрирования

1,2
1,0
1,00
f(x)
0,98
0,90
0,78
0,8
n=8
0,62
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
0,08
0,16
0,24
0,32
0,4
26

27. Погрешность интегрирования

количество интервалов разбиения
Значение In
ε
εточн
n=1
n=2
0,320
0,304
0,293
0,286
0,283
0,0526
0,038
0,023
0,013
0,090
0,050
0,026
0,013
0,147
n=4
n=8
n=16
27

28. Погрешность интегрирования

16%
сравнение с предыдущей итерацией
сравнение с точным значением
12%
8%
4%
0%
n=1
n=2
n=4
n=8
n=16
число интервалов интегрирования
28

29. Символьное интегрирование в среде Matlab

syms x
f=sym(‘x/(4+x^2’)
s=int(f,x) – функция вычисляющая значение интеграла,
где
s – символьное значение интеграла
f –подынтегральная функция.

30. Численное интегрирование в среде Matlab

a=0;
b=1;
s=int(‘x/(4+x^2’,a,b)
где
s – численное значение интеграла
a, b – пределы интегрирования

31. Численное интегрирование в среде Matlab

Метод трапеций:
s=trapz(x,y)
– функция вычисляющая значение интеграла методом
трапеций, где
s – численное значение интеграла
x – вектор значений аргумента
y – вектор значений подынтегральной функции.

32. Численное интегрирование в среде Matlab

Метод Симпсона:
[Q,FCNT]=quad(FUN,A,B,TOL)
Q – значение интеграла по методу Симпсона;
FCNT – Количество узлов при заданной точности;
FUN – подынтегральная функция;
A,B – пределы интегрирования;
TOL – точность вычислений, если не указывать, то
принимается равной 10-6
English     Русский Rules