Системы эконометрических уравнений. (Тема 7)

1. Тема 7. Системы эконометрических уравнений

1. Системы независимых уравнений и
системы взаимозависимых уравнений.
2. Структурная и приведенная формы
модели.
3. Идентификация модели.
4. Двухшаговый и трехшаговый МНК.

2. Необходимость систем уравнений

1 вопрос
Изменение одного фактора, как правило, не может
происходить при неизменности других.
Отдельное уравнение регрессии не может
характеризовать истинные влияния факторов на y.
Структура связей между факторами описывается
системой одновременных (структурных) уравнений

3. Составляющие систем уравнений

переменные
уравнения
эндогенные
поведенческие
уравнения
экзогенные
уравнениятождества

4. Типы переменных

Эндогенные переменные обычно обозначаются как y. Это
зависимые переменные, значения которых определяются
внутри модели. Их число равно числу уравнений в системе.
Экзогенные переменные обычно обозначаются как x. Это
внешние по отношению к модели переменные. Они влияют на
эндогенные переменные, но не зависят от них.
Лаговые переменные – это значения эндогенных переменных
за предшествующий период времени (yt-1). В модели участвуют
в качестве экзогенных переменных.

5. Типы уравнений

В поведенческих уравнениях описываются взаимодействия
между переменными.
В уравнениях-тождествах описываются соотношения,
которые должны выполняться во всех случаях. Тождества
не содержат подлежащие оценке параметры a и b, а также
случайное отклонение ε.

6. Кейнсианская модель формирования доходов

ct b0 b1 yt t ,
yt ct it .
у-выпуск
с-объем потребления
i-инвестиции в закрытой экономике без
государственных расходов

7.

Системы эконометрических
уравнений
Система
независимых
уравнений
Система
рекурсивных
уравнений
Система
взаимозависимых
(одновременных)
уравнений

8. Система независимых уравнений

Каждая зависимая переменная y рассматривается
как функция одного и
того же набора факторов x.

9.

Система независимых уравнений
y1 a11 x1 a12 x2 ... a1m xm 1 ,
y a x a x ... a x ,
2 21 1 22 2
2m m
2
..........
..........
..........
..........
..........
..
yn an1 x1 an 2 x2 ... anm xm n .

10.

Набор
факторов xi
в каждом
уравнении
может
изменяться
• Экономическая
нецелесообразность
включения фактора в
модель
• Незначимое значение
t-статистики и
частного F-критерия

11. Система независимых уравнений с различным набором факторов

y1 f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ),
y f ( x , x , x , x ),
2
1 3 4 5
y
f
(
x
,
x
,
x
),
3
2
3
5
y4 f ( x3 , x4 , x5 ).

12. Система рекурсивных уравнений

Каждое последующее уравнение включает в качестве
факторов все зависимые переменные y предшествующих
уравнений наряду с набором собственно факторов х.

13. Система рекурсивных уравнений

y1 a11x1 a12 x2 ... a1m xm 1 ,
y b y a x a x ... a x ,
2m m
2
2 21 1 21 1 22 2
y3 b31 y1 b32 y2 a31x1 a32 x2 ... a3m xm 3 ,
.................................................................
yn . b. n1.y1. . b.n 2.y2. . b.n 3 .y3. ..... .bnn 1 yn 1
an1 x1 an 2 x2 ... anm xm n .

14. Модель производительности труда и фондоотдачи

y1 a11x1 a12 x2 a13 x3 1 ,
y2 b21 y1 a21x1 a22 x2 a23 x3 2 .
у1-производительность труда,
y2 - фондоотдача,
х1- фондовооруженность труда,
х2 - энерговооруженность труда,
х3- квалификация рабочих

15. Система взаимозависимых уравнений

Одни и те же зависимые переменные y в
одних уравнениях входят в левую часть, а в
других уравнениях – в правую часть системы.

16. Система взаимозависимых уравнений

y1 b12 y 2 b13 y3 ... b1n y n
a11 x1 a12 x2 ... a1m xm 1 ,
y b y b y ... b y
2
21 1
23 3
2n n
a21 x1 a22 x2 ... a2 m xm 2 ,
....................................
y n bn1 y1 bn 2 y 2 ... bnn 1 y n 1
a
x
a
x
...
a
x
.
n
1
1
n
2
2
nm
m
n

17. Модель динамики цены и заработной платы

y1 b12 y2 a11x1 1 ,
y2 b21 y1 a22 x2 a23 x3 21
у1-темп изменения месячной заработной платы,
у2- темп изменения цен,
х1- процент безработных,
х2 - темп изменения постоянного капитала,
х3 - темп изменения цен на импорт сырья

18. Система взаимозависимых (одновременных) уравнений

2 вопрос
Структурная
форма
модели
Приведенная
форма
модели

19. Структурная форма модели

Система взаимозависимых (одновременных) уравнений,
описывающая структуру связей между переменными,
называется структурной формой модели.
Коэффициенты bi и aj называются структурными
коэффициентами модели.
Все переменные в модели выражены в отклонениях от
среднего уровня (x-xср; y-yср), поэтому свободный член
в каждом уравнении отсутствует.

20. Структурная форма модели

y1 b12 y2 a11x1 1 ,
y
b
y
a
x
2 21 1 22 2 2.

21. Приведенная форма модели

представляет собой систему
линейных функций эндогенных переменных от экзогенных.
В каждое приведенное уравнение включаются все экзогенные
переменные структурной модели.
Приведенные коэффициенты представляют собой
нелинейные функции коэффициентов структурной модели.

22. Приведенная форма модели

y1 11 x1 12 x2 ... 1m xm ,
y2 21 x1 22 x2 ... 2 m xm ,
..........
..........
..........
..........
.......
yn n1 x1 n 2 x2 ... nm xm ,

23.

Почему нужна
приведенная форма модели?

24. МНК-оценки структурных коэффициентов

Обычный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки
структурных коэффициентов и поэтому не применим
Для нахождения структурных коэффициентов структурная
модель преобразуется в приведенную
Приведенные коэффициенты можно оценить обычным
МНК и затем определить структурные коэффициенты

25. Косвенный МНК

Исходя из
структурных
уравнений,
строятся
приведенные
уравнения
Определяются
МНК-оценки
приведенных
коэффициентов
Оцениваются
структурные
коэффициенты

26.

Всегда ли можно
применить косвенный МНК?

27. Идентификация модели

3 вопрос
• единственность
соответствия
между структурной и приведенной формами
Идентификация
модели
модели – это: • возможность
оценки
структурных
коэффициентов по
приведенным

28. Виды структурных моделей

идентифицируемые
неидентифицируемые
-
сверхидентифицируемые

29.

Модель
идентифицируема
Модель
неидентифицируема
(недоопределена)
Модель
сверхидентифицируема
(переопределена)
• Число параметров структурной модели
равно числу параметров приведенной
модели
• Применяется косвенный МНК
• Число параметров структурной модели
больше числа параметров приведенной
модели
• Нельзя оценить структурные коэффициенты
• Число параметров структурной модели
меньше числа параметров приведенной
модели
• Применяется двухшаговый МНК

30. Необходимое условие идентификации

D+1=H - уравнение идентифицируемо
D+1<H - уравнение неидентифицируемо
D+1>H - уравнение сверхидентифицируемо
D - число экзогенных переменных, которые
содержатся в системе, но не входят в
данное уравнение
H - число эндогенных переменных в уравнении

31. Достаточное условие идентификации

Определитель матрицы, составленной из коэффициентов
при переменных, отсутствующих в исследуемом
уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее
числа эндогенных переменных системы без единицы
Следует помнить, что на идентификацию
проверяется каждое уравнение модели

32.

Модель
идентифицируема
Модель
неидентифицируема
Модель
сверхидентифицируема
• Если каждое уравнение
модели идентифицируемо
• Если хотя бы одно уравнение
модели неидентифицируемо
• Если хотя бы одно уравнение
сверхидентифицируемо

33. Оценка структурной модели на идентификацию

y1 b12 y2 b13 y3 a11x1 a12 x2 ,
y2 b21y1 a22 x2 a23x3 a24 x4 ,
y b y b y a x a x .
3 31 1 32 2 31 1 32 2
Необходимое условие идентификации
1: H=3(y1,y2,y3), D=2(x3,x4) , 2+1=3 - выполнено
2: H=2(y1,y2), D=1(x1) , 1+1=2 - выполнено
3: H=3(y1,y2,y3), D=2(x3,x4) , 2+1=3 - выполнено

34. Оценка структурной модели на идентификацию (продолжение)

Достаточное условие идентификации
уравнение
переменные
2
Х3
а23
Х4
а24
3
0
0
уравнение
переменные
1
y3
b13
x1
a11
3
-1
a31
detA=0 нарушено
detA 0,
R=2, H=3,
3-1=2

35. (продолжение)

уравнение
переменные
1
Х3
0
Х4
0
2
а23
а24
detA=0 нарушено
Вывод: модель, идентифицируемая по
необходимому условию, не
идентифицируема исходя из
достаточного условия.

36.

4 вопрос
Если система сверхидентифицируема, то КМНК
не дает однозначных оценок для параметров
В этом случае наиболее простым является
двухшаговый метод наименьших квадратов
(ДМНК)

37.

Основная идея ДМНК
На основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого
уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в
правой части уравнения
Подставить их вместо фактических значений и применить обычный МНК к
структурной форме сверхидентифицируемого уравнения

38.

Таким образом, МНК используется дважды:
1) При определении приведенной формы
модели и нахождении на ее основе оценок
эндогенной переменной yˆ i i1 x1 i 2 x2 ... ij x j
2) При определении структурных
коэффициентов структурного
сверхидентифицируемого уравнения на основе
оценок эндогенных переменных

39.

Если все уравнения
системы
сверхидентифицируемы
Если в системе есть
точно
идентифицируемые
уравнения
• То для оценки структурных
коэффициентов каждого
уравнения используется ДМНК
• То структурные коэффициенты по
точно идентифицируемым
уравнениям находятся из
системы приведенных уравнений

40.

Пример ( И. И. Елисеева,Эконометрика, 2005)
Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели:
y1 b12 ( y2 x1 ) 1 ,
y2 b21 y1 a22 x2 2 .
1 уравнение является сверхидентифицируемым: H=1 (y1), D=1 (x2) и D+1>H.
2 уравнение является точно идентифицируемым: H=2 (y1, y2), D=1 (x1) и D+1=H.
Условные данные по пяти регионам
Регион
Y1
Y2
X1
X2
1
2
5
1
3
2
3
6
2
1
3
4
7
3
2
4
5
8
2
5
5
6
5
4
6
Средние
4
6,2
2,4
3,4

41.

Приведенная форма модели составит:
y1 11x1 12 x2 u1 ,
y2 21x1 22 x2 u2 .
Используя отклонения от средних уровней, для первого уравнения
приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:
y1 x1 11 x12 12 x1 x2 ,
2
y1 x2 11 x1 x2 12 x2 .
6 5,2 11 4,2 12 ,
10 4,2 11 17,2 12 .
y1 0,852 x1 0,373 x2 u1.

42.

Используя отклонения от средних уровней, для второго уравнения
приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:
y2 x1 21 x12 22 x1 x2 ,
2
y2 x2 21 x1 x2 22 x2 .
0,4 5,2 21 4,2 22 ,
0,4 4,2 21 17,2 22 .
y2 0,0728 x1 0,00557 x2 u2 .
Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:
y1 0,852 x1 0,373x2 u1 ,
y2 0,0728x1 0,00557 x2 u2 .

43.

На основе второго уравнения данной системы можно найти
теоретические значения (оценки) для эндогенной переменной y2.
Затем, используя сверхидентифицируемое структурное уравнение:
y1=b12(y2+x1), и заменив фактические значения y2 их оценками, найдем
значения новой переменной z:
yˆ 2 x1 z
Расчетные данные для второго шага ДМНК
X1
X2
Y2 (теорет)
Z
Y1
Y1 Z
Z2
-1,4
-0,4
0,103
-1,297
-2
2,594
1,682
-0,4
-2,4
0,042
-0,358
-1
0,358
0,128
0,6
-1,4
-0,035
0,565
0
0
0,319
-0,4
1,6
0,020
-0,380
1
-0,380
0,144
1,6
2,6
-0,130
1,470
2
2,940
2,161
Cумма =0
0
0
0
0
5,512
4,434

44.

Далее применим МНК к уравнению y1=b12(y2+x1):
y1 b12 z ,
2
y
z
b
z
1 12 ,
b12
y z 5,512
1,243.
z 4,434
1
2
Таким образом, первое сверхидентифицируемое структурное уравнение составит:
y1 1,243( y2 x1 ) 1.

45.

Второе точно идентифицируемое структурное уравнение найдем из
системы приведенных уравнений:
y1 0,852 x1 0,373x2 u1 ,
y2 0,0728x1 0,00557 x2 u2 .
С этой целью из второго уравнения приведенной формы модели
следует исключить x1, выразив его через первое уравнение и подставив
во второе:
y1 0,373 x2
,
0,852
y 0,373 x2
yˆ 2 0,0728( 1
) 0,00557 x2 ,
0,852
x1
Таким образом, второе уравнение структурной формы модели:
yˆ 2 0,085 y1 0,026 x2 2

46.

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:
y1 1,243( y2 x1 ) 1 ,
y2 0,085 y1 0,026 x2 2 .
Двухшаговый метод наименьших квадратов является наиболее общим
и широко распространенным методом решения системы одновременных
уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает
тот же результат, что и КМНК.