Сравнение функций

1.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 6
СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ

2.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Сравнение функций
Определение 1:
Пусть в некоторой проколотой окрестности U ( x0 )
f ( x), g ( x), ( x).
точки х0 определены три функции
Если выполняется равенство f ( x) ( x) g ( x),
где lim ( x) 0, то функцию f (x) называют
x x0
бесконечно малой функцией по сравнению с g (x)
при x x0 .
Это записывают так:
f ( x) o g ( x) ,
x x0 .

3.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Сравнение функций
Если g ( x) 0 для x U ( x0 ), то
f ( x)
o g ( x)
lim
lim
0
x x0 g ( x) x x0 g ( x)

4.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Сравнение функций
Определение 2:
Если f (x) и g (x) – бесконечно большие функции при
x x0 и при этом f ( x) o g ( x) , то говорят, что g (x)
есть бесконечно большая функция более высокого порядка
чем f (x) при
x x0 .
Определение 3:
Если f (x) и g (x) – бесконечно малые функции при
x x0 и при этом f ( x) o g ( x) , то говорят, что f (x)
есть бесконечно малая функция более высокого порядка
чем g (x) при x x0 .

5.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Сравнение функций
Пример 1:
Функции
f ( x) x 3 и g ( x ) x 5
x3 o( x5 ) при
так как
x
f ( x)
x3
1
lim
lim 5 lim 2 0
x g ( x) x x
x x

6.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Сравнение функций
Пример 2:
Функции
f ( x) cos x sin 2 x и g ( x) x
f ( x ) o g ( x )
так как
при
x 0
f ( x)
cos x sin 2 x
lim
lim
lim (cos x sin x) 0
x
x 0 g ( x ) x 0
x 0

7.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные функции
f (x) и g (x), определённые
в некоторой окрестности точки x0 , эквивалентны или равны
асимптотически при x x0 , если
Говорят, что функции
f ( x)
lim
1
x x0 g ( x)
Этот факт обозначают следующим образом:
f ( x) ~ g ( x) при x x0

8.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные функции
Пример:
Первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0 x
Следовательно,
sin x ~ x
при
x 0

9.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные функции
Теорема 1:
Для того чтобы две функции f (x) и g (x) были
эквивалентны при
x x0 , необходимо и достаточно,
чтобы
f ( x ) g ( x ) o g ( x )
при
x x0 ,
g ( x ) f ( x ) o f ( x )
при
x x0 .
либо

10.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Свойства эквивалентных функций
при
1. Если f ( x) ~ g ( x)
то g ( x) ~ f ( x)
2. Если при
то
при
x x0
f ( x) ~ h( x)
x x0 ,
x x0 .
f ( x) ~ g ( x) и g ( x) ~ h( x),
при
x x0 .
x x0 ,
то f1( x) f 2 ( x) ~ g1( x) g 2 ( x) при x x0 .
3. Если f1( x) ~ g1( x) и f 2 ( x) ~ g 2 ( x)
при
x x0 ,
то f ( x) g ( x) o f ( x) и f ( x) g ( x) o g ( x)
при x x0 .
4. Если f ( x) ~ g ( x)
при

11.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные функции
Теорема 2:
Если функция f (x) эквивалентна функции g (x)
при x x0 , то
1)
lim f ( x) h( x) lim g ( x) h( x) ;
x x0
x x0
f ( x)
g ( x)
2) lim
lim
.
x x0 h( x) x x0 h( x)
Если существуют пределы левых частей этих равенств, то
существуют равные им пределы правых частей.

12.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные бесконечно малые функции
(x) б.м.ф. при x x0 .
Пусть
Тогда:
1) sin ( x) ~ ( x)
x x0
при
2) tg ( x) ~ ( x) при
x x0
3) arcsin ( x) ~ ( x) при
x x0
4) arctg ( x) ~ ( x) при
x x0
5) ln 1 ( x) ~ ( x) при
x x0

13.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные бесконечно малые функции
(x) б.м.ф. при x x0 .
Пусть
Тогда:
6) e ( x) 1 ~
( x) при x x0
7) a ( x) 1 ~
( x) ln a при x x0
8)
1 ( x) 1
9) 1 cos ( x)
~ ( x) при x x0 , R
2 ( x) при
x x0
~
10) ln cos ( x) ~
2
2 ( x)
2
при
x x0

14.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные бесконечно малые функции
Пример 1:
lim
ln cos x
x 0
lim
2
x 0
tg x
lim
x 0
ln 1 (cos x 1)
x
2
x
x
2 1
2
2
2
lim
x 0
(1 cos x)
x
2

15.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные бесконечно малые функции
Пример 2:
x
x
sin x
tg 1 e
( sin x)
2
lim
lim 2
4
x 0 1 2 x 2 x3 1
x 0 1
(2 x 2 x3 )
4
sin x
x
2 lim
2 lim
1
x 0 x(2 x)
x 0 x(2 x)

16.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Эквивалентные бесконечно малые функции
Пример 3:
lim
x
ln cos(2 x)
1
x
2
y x
x y
y 0, x
lim
y 0
ln cos(2 y 2 )
1
y
2
(2 y )2
2
2
ln cos(2 y )
4
y
(
y
)
2
lim
lim
lim
2
2
2
y 0 y
y 0
y 0
y
2y
2
(
y
)
y
2 lim ( y )2 2 2
y 0

17.

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org