Числовая последовательность и её предел

1.

Введение в математический анализ
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Лекция 2
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И
ЕЁ ПРЕДЕЛ

2.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Числовые последовательности
Определение:
Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, …
поставлено в соответствие действительное число xn.
Тогда множество пронумерованных чисел x1, x2, x3, …, xn, …
называется числовой последовательностью, или ч.п., и
обозначается (xn).
Примеры:
2n 2,
4, 6, 8,
( 1)n 1,
1
1,
n
1 1
,
,
2 3
n2 2 3
,
n 1 2
1
,
4
1, 1, 1,
6 11 18
,
,
,
3
4
5

3.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Числовые последовательности
Определения:
Отдельные числа xi называются членами числовой
последовательности.
Выражение xn называется общим членом числовой
последовательности.
Если из некоторого бесконечного подмножества членов
числовой последовательности образована новая
последовательность, в которой порядок следования членов
такой же, как и в исходной последовательности, то она
называется подпоследовательностью.
Пример:
1
n
1
2 1,
n
1 1
1
,
,
,
4 9 16

4.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Постоянные и ограниченные ч.п.
Определение:
Числовая последовательность (xn) называется постоянной,
если все её члены равны одному и тому же числу c:
xn c, n N
Определение:
Числовая последовательность (xn) называется ограниченной,
если существует такое число c > 0 такое, что
Примеры:
| xn | c, n N
1 1 1
1
1
1
,
,
,
,
– ограничена, т.к. 0 1
2 3 4
n
n
–
ограничена,
т.к.
arctg n , arctg 2, arctg 3,
0 arctg n
4
2

5.

Лiкавая паслядоўнасць
Аўтар: I. В. Дайняк, к.т.н., дацэнт
Кафедра вышэйшай матэматыкi БДУIР
Манатонная лiкавая паслядоўнасць
Азначэнне 1:
Лiкавая паслядоўнасць (xn) не змяншаецца, калi
x1 x2 x3 xn xn 1 , n N
Азначэнне 2:
Лiкавая паслядоўнасць (xn) строга ўзрастае, калi
x1 x2 x3 xn xn 1, , n N
Азначэнне 3:
Лiкавая паслядоўнасць (xn) не ўзрастае, калi
x1 x2 x3 xn xn 1 , n N
Азначэнне 4:
Лiкавая паслядоўнасць (xn) строга не змяншаецца, калi
x1 x2 x3 xn xn 1, , n N

6.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел числовой последовательности
Определение:
Число a называется пределом числовой последовательности
(xn) при n , если для любого сколь угодно малого
числа e > 0 существует такой номер N = N(e), начиная с
которого выполнено неравенство | xn – a | < e.
Обозначение:
lim xn a.
n
Также пишут: xn a при n .
Числовая последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся.
Числовая последовательность, не имеющая предела, называется
расходящейся.

7.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел числовой последовательности
Пример 1:
1
Пределом числовой последовательности является
n
число 0, так как
1
1
0 e
n
n
для любого номера N, большего целой части числа 1/e.
Пример 2:
n2 2
расходящаяся,
Числовая последовательность
n 1
3 6 11 18
так как
2 3 4 5

8.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел числовой последовательности
Рассмотрим неравенство | xn – a | < e.
Раскрывая его, получим:
a e xn a e , n N
Значит, число а является пределом числовой последовательности
(xn), если для любого e > 0 найдётся такой номер N = N(e),
начиная с которого все члены последовательности принадлежат
e-окрестности точки x = a.
Иначе говоря, числовая последовательность (xn), сходится к
числу а, если вне любой e-окрестности точки а имеется
конечное число членов этой последовательности.

9.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел числовой последовательности
Определение:
Число b не является пределом числовой
последовательности (xn), если существует число e* > 0
такое, что для любого натурального числа N найдётся
такое натуральное число n* > N, что
| xn* b | e * .

10.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Монотонная числовая последовательность
Теорема:
(критерий сходимости монотонной последовательности)
Если монотонная числовая последовательность (xn) ограничена,
то она сходится.
При этом:
1) если (xn) неубывающая ч.п., то
lim xn sup{xn }.
n
2) если (xn) невозрастающая ч.п., то
n
lim xn inf {xn}.
n
n

11.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Бесконечно большие числовые последовательности
Определение:
Числовая последовательность (xn) называется бесконечно
большой числовой последовательностью, или б.б.ч.п., если для
любого сколь угодно большого числа М > 0 существует такой
номер N = N (M), начиная с которого для всех п выполнено
неравенство:
| xn | M .
Случай 1. Если М > 0 и xn > М, то lim xn .
n
Случай 2. Если М > 0 и xn < – М, то lim xn .
n
Примеры:
2
n
2
2
; (q n ) при q 1.
(n );
n 1

12.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Бесконечно малые числовые последовательности
Определение:
Числовая последовательность (an) называется бесконечно
малой числовой последовательностью, или б.м.ч.п., если
lim a n 0
n
или для любого сколь угодно малого числа e > 0 существует
такой номер N = N (M), начиная с которого для всех п
выполнено неравенство
| an | e .
Примеры:
1
n
; (q ) при | q | 1.
n

13.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства бесконечно малых ч.п.
1. Сумма конечного числа б.м.ч.п. есть б.м.ч.п.
2. Произведение конечного числа б.м.ч.п. есть б.м.ч.п.
3. Произведение ограниченной числовой последовательности
на б.м.ч.п. есть б.м.ч.п.
4. Связь числовой последовательности, её предела и б.м.ч.п.
Числовая последовательность (хп) имеет своим пределом
число а тогда и только, когда её можно представить в виде
xn a a n
где an – бесконечно малая числовая последовательность

14.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства сходящихся числовых последовательностей
1. Единственность предела
Сходящаяся числовая последовательность имеет
единственный предел.
2. Предел подпоследовательности
Любая подпоследовательность сходящейся числовой
последовательности сходится к такому же пределу.
Следствие:
Если из числовой последовательности можно выделить две
подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам, то
исходная числовая последовательность предела не имеет.
3. Сходящаяся числовая последовательность ограничена.

15.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства сходящихся числовых последовательностей
4. Если
lim xn a 0 то, начиная с некоторого номера N,
n
все члены числовой последовательности имеют знак,
совпадающий со знаком числа а.
5. Если
lim xn a,
n
lim yn b
n
и a < b,
то, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство
xn yn
6. Пусть
lim xn a,
n
lim yn b.
n
Если, начиная
с некоторого номера N, выполняется неравенство
то a b .
xn yn ,

16.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства сходящихся числовых последовательностей
7. Теорема о зажатой числовой последовательности
Пусть три числовых последовательности (xn), (yn), (zn)
удовлетворяют неравенству xn yn zn , причём
lim xn lim zn a .
n
Тогда
n
lim yn a .
n
Свойства 6 и 7 позволяют переходить к пределу в
неравенствах.

17.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства сходящихся числовых последовательностей
8. Арифметические операции над пределами
Если числовые последовательности (xn) и (yn) сходятся и
lim xn a,
n
то:
1)
2)
lim yn b
n
lim ( xn yn ) lim xn lim yn a b
n
n
n
lim (c xn ) c lim xn c a, c const
n
n
3) lim ( xn yn ) lim xn lim yn a b
n
n
n
lim x
xn n n a
4) lim
, b 0
lim yn b
n yn
n
5)
lim c c
n

18.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Нахождение пределов числовых последовательностей
Пример 1:
Найти предел числовой последовательности
xn
ak nk ak 1 nk 1 a2 n2 a1 n a0
bl nl bl 1 nl 1 b2 n2 b1 n b0

19.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
«Замечательные» пределы
1:
2:
lim
n
an 1, a 0
lim
n
n 1
n
n
n
3:
1
lim 1 e, e 2,7182818284 59
n
n
Следствие:
1
lim 1
f ( n)
n
f ( n)
e,
f (n) npu n

20.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Нахождение пределов числовых последовательностей
Пример 2:
Найти предел числовой последовательности
xn n2 3 n2 1 n2 1

21.

Числовая последовательность
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Нахождение пределов числовых последовательностей
Пример 3:
Найти предел числовой последовательности
3n 4
xn
3n 5
2 7 n

22.

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org