Предел числовой последовательности

1. Предел последовательности

2. Предел числовой последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:
( xn ) : 2, 4, 6, 8, 10, …, 2n ,…;
( yn ) : 1,
1
2
,
1
,
4
1
1
,
,
8 16
…
1
,
2n
…
Изобразим члены этих последовательностей
точками на координатных прямых.
Обратите внимание как ведут себя члены
последовательности.

3. Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности таковой точки не наблюдается.

Замечаем, что члены последовательности y n как бы
«сгущаются» около точки 0, а у последовательности
таковой
точки
не
наблюдается.
Но, естественно, не всегда удобно изображать члены
последовательности, чтобы узнать есть ли точка
«сгущения» или нет, поэтому математики придумали
следующее…
хn

4.

Определение 1. Пусть
a - точка прямой, а r -
положительное число. Интервал
(a-r, a+r)
называют окрестностью точки a , а
число r - радиусом окрестности.
Геометрически это выглядит так:

5. Например

(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус
окрестности равен 0. 3.
Теперь можно перейти к определению точки
«сгущения», которую математики назвали
«пределом последовательности».

6.

Определение 2. Число
b
называют пределом
последовательности y n, если в любой заранее
выбранной окрестности точки b содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Пишут: yn b.
Читают: y n стремится к
Либо пишут:
b.
lim yn b .
n
Читают: предел последовательности y n при
стремлении
nк бесконечности равен b .

7. Комментарий

Пусть
r,
lim yn b . Возьмем окрестность точки r радиуса,
n
то есть
(b-r, b+r) . Тогда существует такой номер n1 ,
начиная с которого все последующие члены
последовательности содержатся внутри указанной
окрестности, например,
yn+1, yn+8
и т. д., а вне этой
окрестности содержится конечное числа членов
последовательности
y1,
yn-1, yn-5
и т. д.
При этом, если выбрать другую окрестность (другого
радиуса), то для нее также найдется какой – то номер, начиная с
которого все последующие члены последовательности будут
попадать в указанный интервал.

8. Пример.

Существует ли номер n0 , начиная с которого все
члены последовательности
( xn ) попадают в
окрестность точки а радиуса r 0.1 , если
1
1. xn 2 , a 0;
n
Решение.
1
0 0.1
n2
1
0.1
n2
1
0.1
n2
n 2 10
10 ; n n0 4

9. Пример

Существует ли номер n0, начиная с которого все
члены последовательности (хn) попадают в
окрестность точки а радиуса r=0.1, если а=0, хn= 12
n
Решение
1
0 0.1
2
n
1
0.1
2
n
1
0.1
2
n
n 2 10
10 ; n n
0
4
Ответ: начиная с n0=4 все члены последовательности (хn) попадают
в окрестность (-0.1;0.1)

10. Практические задания

1. Запишите окрестность точки
виде интервала, если:
а) a 0, r 0.1;
a радиуса r
в
б ) a 3, r 0.5;
2. Окрестностью какой точки и какого радиуса
является интервал:
а) (2.1, 2.3);
3. Принадлежит ли точка
радиуса
, если:
r
б ) ( 7, 5) ?
х1 окрестности точки а
a) x1 1, a 2, r 0.5; б ) x1 0.2, a 0, r 0.3 ?

11. Практические задания

4. Существует ли номер n0 , начиная с которого все члены
последовательности ( xn ) попадают в окрестность точки а
радиуса
:
r1
1
а ) xn
, a 0, r 0,1; б ) xn 3 2 , a 3, r 0,2.
2n
n
5. Постройте график последовательности y n и составьте,
если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты
графика:
n
1
а ) yn 2 ;
2
2
б ) yn 5 .
n