Дифференцируемость функции

1.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Лекция 3
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

2.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференцируемость функции
Определение:
Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х0,
если её приращение в этой точке может быть представлено
в виде
Df ( x0 ) f ( x0 Dx) f ( x0 ) A Dx o(Dx)
где А – некоторое число; о(Dx) – бесконечно малая
функция более высокого порядка малости, чем Dx при
x 0.

3.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференцируемость функции
Теорема:
Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в
точке х0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке
существовала производная f ’(x0) = A.
Следствие:
Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то она
непрерывна в ней.
Обратное утверждение неверно.

4.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференциал функции
Из определения дифференцируемости функции и её производной
получаем, что
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) o( x x0 )
Если
f ( x0 ) 0, то
f ( x) f ( x0 )
o( x x0 )
lim
1
lim 1
x x0 f ( x0 ) ( x x0 )
f ( x0 ) ( x x0 )
x x0
Значит, при
x x0 имеем
f ( x) f ( x0 ) ~ f ( x0 ) ( x x0 )

5.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференциал функции
Определение:
Главная линейная часть приращения функции f (x) в точке
х0 называется дифференциалом функции в этой точке и
обозначается df (x0).
Таким образом, по определению
df ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) Dx

6.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференциал функции
Рассмотрим функцию у = х.
Найдём её дифференциал:
dy y Dx 1 Dx.
С другой стороны, имеем:
y x dy dx.
То есть, приращение и дифференциал независимой переменной
равны между собой:
dx Dx.
Значит, можно записать:
df ( x0 ) f ( x0 ) dx.

7.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Геометрический смысл дифференциала функции
Пусть y = f (x) – некоторая функция.
Перепишем выражение для дифференциала функции в виде
y y ( x0 ) ( x x0 ) y ( x0 )
Это выражение представляет собой уравнение касательной к
графику функции y = f (x) в точке х0.

8.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства дифференциала функции
Для дифференциалов двух функций f (x) и g(x)
справедливы следующие формулы:
d ( f g ) df dg
d ( f g ) g df f dg
g df f dg
f
d
g
g2

9.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференциал функции
Пример:
Найти дифференциал функции
Решение:
y sin x
в точке х0 = 1.

10.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Приложения дифференциала функции
С помощью дифференциала можно приближённо вычислять
значения функции f (x) для значений x, близких к некоторому
значению x0.
Имеем:
y y ( x0 ) ( x x0 ) y ( x0 ) o( x x0 )
y ( x0 ) dy ( x0 ) o( x x0 ).
Тогда
y ( x) y ( x0 ) dy ( x0 )
или
y ( x) y ( x0 ) y ( x0 ) ( x x0 ).

11.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Приложения дифференциала функции
Пример:
Вычислить приближённо
Решение:
120 .

12.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Дифференциал сложной функции
Пусть f (x) – сложная дифференцируемая функция,
где x = j (t) – дифференцируемая функция.
Найдём её дифференциал.
Если х – независимая переменная, то
dy f ( x)dx.
Если независимой переменной является t, то
dy yt dt ( y x xt ) dt y x ( xt dt ) y x dx,
где dx xt dt .

13.

Дифференциальное исчисление
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции всегда равен произведению её
производной на дифференциал аргумента и не зависит от того,
является ли величина, по которой взята производная,
независимой переменной или функцией другой переменной.
Из приведенных выше формул имеем:
dy f ( x)dx
f ( x)
dy
,
dx
то есть производная функции в точке численно равна отношению
дифференциалов функции и её аргумента независимо от того,
является х независимой переменной или является функцией
другой переменной.

14.

Высшая математика
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org