Асимптоты функции

1.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 7
АСИМПТОТЫ ФУНКЦИИ

2.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Определение:
Асимптотой функции называется прямая линия, к которой
приближается значение функции по мере удаления от начала
координат.

3.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Вертикальная асимптота:
Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика
функции f (x), если хотя бы один из пределов
lim
x x0 0
f ( x)
равен бесконечности.
или
lim
x x0 0
f ( x)

4.

Основы математического анализа
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Пример:
Y
f (x)
f (x)
x=x0
X

5.

Основы математического анализа
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Пример 1:
Найти вертикальные асимптоты функции
Решение:
Ответ:
x 1; x 1.
y
x 2
x2 1

6.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Наклонная асимптота:
Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой
графика функции f (x), если при x или x
выполняется равенство
f ( x) kx b ( x),
причём
lim ( x) 0
x
соответственно.
или
lim ( x) 0
x

7.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Наклонная:
Y
f (x)
y=
b
+
kx
X

8.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Наклонные:
Y
y=
k2 x
f (x)
+b
b1
+
x
2
k1
=
y
f (x)
X

9.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Горизонтальная:
Y
f (x)
y=b
X

10.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Теорема:
Для того чтобы прямая y = k x + b являлась наклонной
асимптотой графика функции f (x), необходимо и достаточно
существование следующих пределов:
lim
x
( x )
f ( x)
k;
x
lim
x
( x )
f ( x) kx b.

11.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Асимптоты функции
Пример 2:
Найти наклонные асимптоты функции
Решение:
Ответ:
y x 1
x2 2x 1
f ( x)
x 1

12.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 7
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

13.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке
Определение 1:
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если
она определена в этой точке и её предел в ней равен значению
функции в этой точке:
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
Запись через односторонние пределы:
lim
x x0 0
f ( x) lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )

14.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке
Определение 2:
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если
она определена в некоторой её окрестности и
0, 0, x : | x x0 | : | f ( x) f ( x0 ) | .

15.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке
Обозначения:
x x x0
– приращение аргумента
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
– приращение функции
Определение 3:
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если её
приращение в этой точке есть бесконечно малая функция при
x 0.

16.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке
Графическая интерпретация:
Y
f (x)
f (x0)
X
x0

17.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке
Пример 3:
Установить непрерывность или разрывность функции
x 1;
x 4,
2
f ( x) x 2, 1 x 1;
2 x,
x 1.
Решение:
Ответ:

18.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Классификация точек разрыва
1. Устранимый разрыв
lim
x x0 0
f ( x)
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
Y
f (x0)
f (x)
X
x0

19.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Классификация точек разрыва
2. Разрыв 1-го рода
lim
x x0 0
f ( x) lim
x x0 0
f ( x) const
Y
f (x)
X
x0

20.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Классификация точек разрыва
3. Разрыв 2-го рода
Y
Y
x0
X
f (x)
f (x)
X
x0

21.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке
Пример 4:
Найти точки разрыва функции и установить их характер
f ( x)
Решение:
Ответ:
sin x
1 x3

22.

Высшая математика
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org