mathematicsSimilar presentations:
Понятие функции
1.
Введение в математический анализАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Лекция 3
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
2.
Введение в математический анализАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Лекция 3
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
3.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел функции в точке
Определение (по Коши):
Число А называется пределом функции f (x) в точке x0,
если она определена в некоторой проколотой окрестности
этой точки и если для любого сколь угодно малого 0
можно указать такое число ( x0 , ) 0 , что для всех
x U ( x0 ) , для которых 0 | x x0 | ,
выполнено неравенство | f ( x) A | .
Запись:
lim f ( x) A
x x0
или
f ( x) A
при
x x0
4.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел функции в точке
Определение (по Гейне):
Число А называется пределом функции f (x) в точке x0,
если она определена в некоторой проколотой окрестности
этой точки и если для любой числовой последовательности
( xn ), xn x0 , сходящейся к х0, соответствующая
числовая последовательность f ( xn ) значений функции
сходится к числу А при n .
Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
5.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел функции в точке: Геометрическая интерпретация
6.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел функции на бесконечности
7.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел функции на бесконечности
8.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Односторонний предел функции в точке
Определения:
Левая полуокрестность точки х0 – это произвольный
интервал (а, х0), где а < х0.
Правая полуокрестность точки х0 – это произвольный
интервал (х0, b), где х0 < b.
9.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Односторонний предел функции в точке
Определение:
Число А называется пределом функции f (x) в точке x0
слева, если она определена в левой полуокрестности этой
точки и если для любой числовой последовательности
( xn ), xn x0 , сходящейся к х0, соответствующая числовая
последовательность f ( xn ) значений функции сходится
к числу А при n .
Запись:
lim
x x0 0
f ( x) A
10.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Односторонний предел функции в точке
Определение:
Число А называется пределом функции f (x) в точке x0
справа, если она определена в правой полуокрестности этой
точки и если для любой числовой последовательности
( xn ), xn x0 , сходящейся к х0, соответствующая числовая
последовательность f ( xn ) значений функции сходится
к числу А при n .
Запись:
lim
x x0 0
f ( x) A
11.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Предел функции в точке
Замечание:
При нахождении предела функции f (x) в точке x0 сама
точка х0 из рассмотрения исключается, а функция f (х)
считается определённой в некоторой достаточно малой
окрестности этой точки.
12.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства функций, имеющих предел в точке
1. Единственность предела
Если функция имеет предел в точке, то он единственный.
2. Ограниченность функции
Функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
3. Сохранение знака функции в окрестности предела
Если lim f ( x) A 0 , то существует проколотая
x x0
окрестность точки х0, в которой функция f (x) имеет знак,
совпадающий со знаком числа А.
13.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства функций, имеющих предел в точке
4. Предел «зажатой» функции
Если
lim f1( x) A,
x x0
lim f 2 ( x) A
x x0
и в некоторой проколотой окрестности точки х0 выполняется
неравенство
f1( x) f ( x) f 2 ( x) ,
то lim f ( x) A.
x x0
14.
Предел функции в точкеАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Свойства функций, имеющих предел в точке
5. Арифметические операции над пределами
Если
lim f ( x) A,
x x0
1) lim
x x0
lim g ( x) B,
то:
x x0
f ( x) g ( x)
lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0
x x0
2) lim c ( x) c lim f ( x) c A,
x x0
3) lim
x x0
x x0
f ( x) g ( x )
lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0
lim f ( x)
x x0
f ( x) x x0
A
4) lim
, B 0
lim g ( x) B
x x0 g ( x )
x x0
c const
15.
Высшая математикаАвтор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org