Бесконечно большие и бесконечно малые функции

1.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 5
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ И
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

2.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Бесконечно малые функции
Определение:
Функция f (х) называется бесконечно малой функцией, или
б.м.ф., при x x0 , если
То есть,
lim f ( x) 0.
x x0
0, 0, x : 0 | x x0 | :
f ( x) .
Функция f (х) называется бесконечно малой функцией, или
б.м.ф., при x , если
0, 0, | x | :
f ( x) .

3.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Свойства бесконечно малых функций
1. Сумма конечного числа б.м.ф. при x x0
является б.м.ф. при x x0 .
2. Произведение конечного числа б.м.ф. при x x0
является б.м.ф. при x x0 .
3. Произведение б.м.ф. при x x0 на ограниченную
в некоторой проколотой окрестности точки х0 функцию
является б.м.ф. при x x0 .
4. Связь функции, её предела и б.м.ф.
Число А является пределом функции f (х) в точке х0 тогда
и только тогда, когда имеет место равенство
f ( x) A ( x)
где (х) – б.м.ф. при x x0 .

4.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Бесконечно малые функции
Пример 1:
f ( x) x 1 является бесконечно малой
при x 1, но не является бесконечно малой
при x x0 1.
Функция
Пример 2:
Функция f ( x )
при x .
1
x 4
2
является бесконечно малой

5.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Бесконечно большие функции
Определение:
Функция f (х) называется бесконечно большой функцией, или
б.б.ф., при x x0 , если для любого сколь угодно большого
числа М > 0 существует проколотая окрестность U ( x0 )
точки х0 такая, что для всех x U ( x0 ) выполнено условие
f ( x) M .

6.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Бесконечно большие функции
При этом:
lim f ( x)
x x0
M 0, U ( x0 ), x U ( x0 ) :
f ( x) M .
lim f ( x)
x x0
M 0, U ( x0 ), x U ( x0 ) :
f ( x) M .

7.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Свойства бесконечно больших функций
1. Произведение двух б.б.ф. при x x0
является б.б.ф. при x x0 .
2. Если в некоторой проколотой окрестности точки х0 для
функции f (х) выполнено условие | f1 ( x ) | c 0,
где с – константа, а f2 (х) – б.б.ф. при x x0 ,
то функция f1 ( x ) f 2 ( x) является б.б.ф. при x x0 .
3. Если f (х)
б.м.ф. при
Если f (х)
б.б.ф. при
1
является
– б.б.ф. при x x0 , то
f ( x)
x x0 .
1
является
– б.м.ф. при x x0 , то
f ( x)
x x0 .

8.

Предел функции в точке
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Бесконечно большие функции
Пример 1:
Функция f ( x) x 2 3 является бесконечно большой
при x , но не является бесконечно большой при
при любом другом значении х.
Пример 2:
Функция f ( x)
при x 2.
1
x 8
3
является бесконечно большой

9.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 5
НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

10.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Нахождение пределов функций
Для нахождения предела функции используют:
• понятие предела функции в точке;
• свойства функций, имеющих предел в точке;
• свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Начинать нахождение предела следует с подстановки х0 в
качестве аргумента функции. Если при этом получается
константа, то она и является пределом функции.

11.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Нахождение пределов функций
Определённости:
const
0
const
0
const
0
const
0
где константу считаем большей нуля.
Неопределённости:
0
;
; ; 0 ; 1 ; 0 ; 00
0

12.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Нахождение пределов функций
Пример 1:
Найти предел функции
lim
x x 4
x5 x
5 x3 x 2 1
Решение:
Имеем неопределённость вида
1 1 4
1
x
lim
1 1
x 1 5
0
2
3
5
x
x
x
x

13.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Нахождение пределов функций
Пример 2:
3x 2 1
x 5 3 x
3
Найти предел функции
Решение:
lim
x 1
0
Имеем неопределённость вида
0
(3 3x 2 1) x 5 3 x 3 (3 x 2) 2 3 3 x 2 1
lim
x 1 x 5 3 x x 5 3 x 3 (3 x 2) 2 3 3 x 2 1
(3x 3) x 5 3 x
lim
2
x 1 2( x 1) 3 (3 x 2) 2 3 3 x 2 1

14.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 5
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

15.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Первый замечательный предел
Замечательными пределами называются известные пределы от
известных функций.
Первый замечательный предел:
sin x
lim
1
x 0 x
К первому замечательному пределу сводятся следующие пределы:
sin x
lim
;
x 0 x
sin x
lim
;
x 0 sin x
tg x
lim
;
x 0 x
tg x
lim
.
x 0 tg x

16.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Второй замечательный предел
Замечательными пределами называются известные пределы от
известных функций.
x
1
Второй замечательный предел: lim 1 e
x
x
Следствие:
lim 1 ( x) ( x) e
1
x x0
где
(x) б.м.ф. при x x0 .
К второму замечательному пределу сводятся следующие пределы:
x
k
lim 1 e k ;
x
x
lim (1 k x)
x 0
1
x
ek .

17.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Другие замечательные пределы
ln(1 x)
lim
;
x
x 0
e x 1
lim
;
x
x 0
(1 x) 1
lim
;
x
x 0
a x 1
lim
ln a;
x
x 0
(1 x) 1
lim
;
x
x 0
x 1
lim
.
x 1 x 1

18.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Таблица замечательных пределов: Общий случай
Пусть
(x) б.м.ф. при x x0 .
Тогда:
sin ( x)
lim
1;
x x0 ( x)
x x0
ln 1 ( x)
lim
1;
( x)
x x0
e ( x) 1
lim
1;
x x0 ( x)
lim
x x0
1 ( x) 1 ;
( x)
lim 1 ( x) ( x) e;
1
a ( x ) 1
lim
ln a;
x x0 ( x)

19.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Замечательные пределы
Пример 1:
Найти предел
x x3
lim
x 0 e x
e 3 x
Решение:
0
Имеем неопределённость вида
0
lim
x 0 ( e
x(1 x 2 )
x
1) (e
3 x
1 x2
lim
1
4
x 0 1 ( 3)
1)
lim
x 0 (e
1 x2
x
3 x
1) (e
1)
x
x

20.

Основы математического анализа
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Замечательные пределы
Пример 2:
Найти предел
lim
x 1
ln( 2 x)
x3 1
Решение:
0
Имеем неопределённость вида
0
lim
ln 1 (1 x)
x 1 (1
x)( x 2 x 1)
lim
x 1 x 2
1
x 1
1
3

21.

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org