Степень с натуральным и целым показателем

1. Степень с натуральным и целым показателем

2. Степень с натуральным показателем

an= a∙a∙…∙a
n
a n a
a
...
a
n раз
Степенью числа a с
натуральным
показателем n
называется
произведение n
множителей, каждый
из которых равен a.

3. Свойства степени

p
q
p q
a a a
a a a
a p a
ab a b
a a
b b
p
p q
q
q
p
p
pq
p
p
p
p

4. Определение степени с нулевым показателем

Степень числа a, не
равного нулю, с
нулевым
показателем равна
единице
a 1
0

5.

В чём смысл этой
записи?

6. Определение степени с целым отрицательным показателем

Если а 0 и n , то
a
n
1
n
a

7. Вычислите:

2
3
3 = 9 ; 0,01 =0,001
=
2
22
4 = 16; ;(-6)
(-6) == 36
°
23
23
5 = 1 ;; 11 ==1
°°
6
О = 0 ; 00== 1

8. Представьте число в виде произведения двух одинаковых множителей двумя способами:

25
1/81
1/25
2
1/а

9. Найдите число, обратное данному:

6
1/7
0
2
а
2
1/х (x≠0)
0
2
х
1/6
2
1/а
7

10. Взгляните на число 10-24 Как вы думаете, это положительное или отрицательное число?

Вписать такие основания и
показатели степени, чтобы
получились верные равенства
4
-6
а ∙а- =а-2
a)
-3
-2
в) a ∙ a- =a-5
4 -2
д) (a-) =a-8
7
б)
∙ a- =a5
8
г) а- ∙ а-3 = а5
5 -5 =15-5
е) 3-5 ∙ __
a-2

11. 1) Уловите закономерность и продолжите ряд чисел

1. Выполнить действия
а-11
a) а-6∙а∙а-4 =___;
а8
в) (a-4)-2 =___;
a-8
-3
-5
а
a =___;
б)
:
1
г) а-15: а-15 = ___;
-2
-3
а
е) а ∙а=___.
д) (2a3)-3 =___;
2. Вписать недостающий множитель
-5
-5
4а
3а ∙ ___
=12а-10;
а)
-2b-4 ∙4а-7b=24а-9b-3;
в) 6а
____
8
4a
б)
___ =32а2;
4b-2)=6а-1b6.
-2a-5b8
г) _____∙(-3а
(2а-2)3 ∙

12. 2) Представим каждое из этих чисел в виде степени числа 10:

Представьте выражение в виде
степени
1
2
4
( x3 a y)
1
y6

13.

Упростите
3 1 3 4 42
x 8 x 6
((xax b
)
: x)

14.

Представьте выражение x-12 в виде произведения двух
степеней с основанием x, если один множитель известен.
X-12
x-2
x5
x14
x
x-18

15.

Вычислите
10
2 3
5
12
32
(
7
)
2 2 :2
3 4 5
7
5 5
18
(0,2) 4

16.

Расположите в порядке убывания
0,2-6; 0,20; 0,2; (0,2)-4; 0,23

17. а) 3а-5 ∙ ___ =12а-10; б) (2а-2)3 ∙ ___ =32а2; в) ____ ∙4а-7b=24а-9b-3; г) _____∙(-3а4b-2)=6а-1b6.

При каких значениях х верно
равенство
1
1
x
21x x
27
8
,01
3 2 0100
10
16
xx
5 x 625

18. Представьте выражение в виде степени

19. Упростите

20. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен.

Корнем n – ой ст епени из числа а называет ся т акое
число, n – ая ст епень кот орого равна а.
n
a
подкоренное выражение
показатель корня

21. Вычислите

22. Расположите в порядке убывания

23. При каких значениях х верно равенство

24.

25.

26.

27.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно
выразить через арифметический корень.

28.

Свойства корней
ab a b
n
n
n
a
n
a
n
n
a
a
n ,b 0
b
b
n k
a
n k
a,k 0
n k
n
k
a ,k 0
k
a
n
k
0 a b, a b
n
n

29.

Покажем на примерах, как используются свойства корней и рациональных степеней в
вычислениях.
• Пример 1. Вычислить

30.

Решение. 1) Упростим сначала первую часть выражения.
n
n
n
Используя свойство ab a b , получим
.
Теперь применим свойстваn k a n k a , k 0 и n a n k a k , k 0 :
n
n
n
Применим теперь свойство ab a b :
В итоге мы получили:
2) По свойству
n
a n k a k , k 0 :
Подставим результаты вычислений из 1) и 2) в выражение
Здесь мы использовали свойства ab a b и a
арифметических корней.
n
Ответ: 2.
n
n
n
k
a
n
k

31.

32.

33.

34.

35. Свойства корней

36. Покажем на примерах, как используются свойства корней и рациональных степеней в вычислениях.

37.

Степень с основанием, равным нулю,
определяется только для положительного
дробного показателя:

38.

Для отрицательных оснований степень
с дробным показателем не рассматривается.

39.

Свойства степени с целым
показателем справедливы и для
степени
с любым рациональным показателем.

40.

41.

42.

Решение:
• Упростим выражение:
Ответ: 50.

43.

Решение:
• Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: